Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 3 Luglio 2019 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si determinino una base B e la dimensione del sottospazio di R4 dato dall’insieme delle soluzioni del seguente sistema lineare omogeneo
2x − y + 3z − 4t = 0 4x − 2y − z + 5t = 0 4x − 2y + 4z − 2t = 0
.
Si completi B ad una base di R4.
2 Sia f : R3 −→ R3 l’applicazione cos`ı definita f (x, y, z) = (hx − y, z + h, x + z).
(a) Si determini il valore del parametro reale h per cui f `e un’applicazione lineare.
(b) Per il valore di h per cui f `e lineare si determinino Ker(f ) e Im(f ).
3 Sia S la seguente matrice ad elementi reali:
1 2 2 2 0 4 0 0 2
(a) Si determinino gli autovalori e gli autospazi di S.
(b) Si stabilisca se S `e diagonalizzabile ed in caso affermativo si determini una matrice diagonalizzante S.
4 Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette
r : hy + z = −2 x − hz = 1 , s :
y − z = 0 x + z = −1 (a) Si studi la posizione reciproca di r ed s al variare del parametro reale h.
(b) Scelto, se esiste, un valore di h in corrispondenza del quale r ed s sono incidenti, si calcoli il piano che le contiene.
5 Enunciare e dimostrare il teorema di caratterizzazione delle applicazioni lineari iniettive.
6 Nello spazio euclideo tridimensionale, si ricavi una condizione di perpendicolarit`a tra una retta ed un piano. Si descriva inoltre tale condizione mediante un esempio numerico.
Traccia I — 1
