Esame di Geometria ed Algebra
Laurea Ing. — 12 Aprile 2017 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si considerino i seguenti vettori di R3:
v1 = (k + 1, 0, −1), v2 = (k, −k, 2k), v3 = (−4, 0, 2k).
(a) Determinare per quali valori di k ∈ R i vettori v1, v2, v3 formano una base di R3;
(b) posto k = 0, nel caso in cui {v1, v2, v3} non formino una base di R3, si determini una base di R3 contenente due dei vettori v1, v2, v3.
2 Si consideri la seguente matrice:
Ak =
3 0 1 − k
2 k − 1 −1
0 −4 k
, dove k ∈ R.
(a) Determinare per quali valori di k ∈ R la matrice Ak `e invertibile;
(b) posto k = 1, determinare l’applicazione lineare F : R3 −→ R3 la cui matrice associata (rispetto alla base canonica) risulti A−11 .
3 Discutere, al variare di k ∈ R, il seguente sistema lineare:
x1− 2kx2 = 0 x1+ x2− kx3 = 0 2x2+ x3+ x4 = 0
kx3 = 0
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti P1 = (−2, 6, 3) e P2 = (0, 1, 0) e sia ` la retta passante per P1e P2. Sia π il piano passante per i punti (1, 0, 3/2), (0, 1, 3/2), (0, 0, 2) e sia Q il punto di incidenza tra la retta ` ed il piano π. Calcolare la distanza tra il punto P1 ed il punto Q.
5 Sia V un R–spazio vettoriale. Si dica quando un’applicazione da V × V in R si definisce prodotto scalare e se ne fornisca almeno un esempio.
6 Sia V un K–spazio vettoriale e sia F : V −→ V un endomorfismo.
(a) Dare la definizione di polinomio caratteristico di F ;
(b) dimostrare che λ ∈ K `e un autovalore di F se e solo se λ `e radice del polinomio caratteristico di F .
Traccia I — 1
