Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 18 Aprile 2018 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si consideri il seguente il sottoinsieme di M2(R):
S = x y z t
∈ M2(R) | x + z − 2t = 0
. (a) Dimostrare che S `e un sottospazio vettoriale di M2(R).
(b) Determinare una base B di S.
(c) Completare la base trovata B ad una base di M2(R).
2 Si determini il valore del parametro reale h per cui l’applicazione F definita come segue F : (x, y, z) ∈ R3 7−→ (x + hy, y − z + h, x + z) ∈ R3
risulta lineare. Inoltre per tale valore di h:
(a) Determinare una base e la dimensione del nucleo e dell’immagine di F e stabilire se l’applicazione F `e suriettiva e/o iniettiva.
(b) Determinare se l’endomorfismo F `e diagonalizzabile ed in caso affermativo trovare una base di R3 diagonalizzante per F .
3 Discutere, al variare del parametro h ∈ R, il seguente sistema lineare:
x + 2y + 2z = 0 2x + 4y + z = h 3x + 6y + hz = 0
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto A = (−1, 1, 1) e la retta
` : x + y − z = 1 y − 2z = 0 .
(a) Determinare l’equazione cartesiana del piano π passante per A e contenente la retta `.
(b) Determinare i punti sulla retta x = 0
z = 0 a distanza √
11 dal piano π.
5 Enunciare la definizione di matrici simili e dimostrare che matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.
6 Enunciare le definizioni di autovalore e autovettore di un endomorfismo G : V −→ V , dove V `e uno spazio vettoriale sul campo K. Dimostrare che l’insieme degli autovettori di G relativi ad un autovalore, munito del vettore nullo, `e un sottospazio vettoriale di V .
Traccia I — 1
