Una misura diretta del rumore di corrente di un dispositivo elettronico ha non solo vantaggi in termini di semplicit`a di connessione e polarizzazione diretta attraverso lo strumento ma pu`o anche avere un notevole vantaggio in termini di sensibilit`a rispetto ad uno schema che misura direttamente il rumore di tensione.
Per confrontare la sensibilit`a delle misure in corrente e in tensione, consideriamo la tem-peratura equivalente di rumore dello strumento in funzione dell’impedenza del DUT riportata nella figura 2.15. Le linee tratteggiate indicano il limite di sensibilit`a quando si misurano dispositivi senza applicare polarizzazione. Per avere la migliore sensibilit`a, l’analizzatore di spettro a correlazione con il front-end di corrente dovrebbe essere scelto ogni qual volta la resistenza del DUT `e maggiore di circa 300 kΩ.
L’intervallo di applicabilit`a dello schema in corrente si estende ulteriormente a resistenze pi`u basse quando una polarizzazione `e applicata. Per esempio, le linee continue della figura 2.15 indicano le migliori prestazioni ottenibili dallo strumento nel caso di una rete di polarizzazione di 100 kΩ ed evidenziano che lo schema in corrente `e vantaggioso gi`a per resistenze del DUT di 10 kΩ.
Per chiarire l’effetto della polarizzazione sulle prestazioni dello strumento, supponiamo ad esempio di voler misurare il rumore della corrente di drain prodotto da un transistore MOSFET polarizzato con una corrente di ID = 100 µA. Nel caso dello schema in corrente (vedi fig.2.16a), il dispositivo pu`o semplicemente essere inserito tra le due terre virtuali che fissano direttamente la tensione drain-source. Per sfruttare appieno la sensibilit`a dello strumento la resistenza RF deve essere scelta la pi`u grande possibile, in questo caso circa 100 kΩ considerando una dinamica degli amplificatori di ingresso di circa 10 V. Il rumore equivalente dello strumento, dato dall’equazione 2.16 (pag. 22), uguagliato al rumore termico associabile alla resistenza del DUT alla temperatura TN, 4kTN/RD, e trascurando l’effetto delle capacit`a, fornisce la temperatura equivalente di rumore TN:
TN = 2 · e2n
to A/D
Figura 2.16: Misura del rumore della corrente di drain di un MOSFET con uno schema in corrente (a) e con uno schema in tensione (b).
La linea continua della figura 2.15 indicata con ‘correlazione corrente con polarizzazione’
rappresenta proprio la temperatura di rumore appena calcolata. Nel caso limite di RF → ∞, si ottiene la corrispondente linea tratteggiata della fig. 2.15.
Utilizzando l’analizzatore a correlazione con il front-end di tensione (vedi fig. 2.16b) e considerando tensioni di alimentazioni comparabili al caso precedente, la resistenza RP di polarizzazione posta tra il DUT e l’alimentazione sar`a ancora di circa 100 kΩ. Il rumore di corrente introdotto da RP, pari a 4kT /RP, e il rumore strumentale i2nproducono una tensione al nodo di ingresso completamente correlata sui due canali come calcolato al paragrafo 2.5 (eq. 2.18). Per ottenre la temperatura di rumore uguagliamo il rumore correlato riportato all’ingresso con il rumore termico associato al DUT:
vc2
(RPkRD)2 = 4kTN
RD (2.23)
ottenendo la temperatura equivalente di rumore pari ad TN = TRD
RP + i2nRD
4k (2.24)
dove T `e la temperatura a cui `e tenuta la resistenza di polarizzazione RP. L’espressione appena calcolata `e tracciata nella figura 2.15 e indicata con la scritta ‘correlazione tensione con polarizzazione’. Anche in questo caso, considerando il caso limite senza vincoli dovuti alla polarizzazione, RP → ∞, si ottiene la corrispondente curva tratteggiata.
Le prestazioni ottenibili con un analizzattore di spettro a singolo canale commerciale sono indicati nella figura 2.15 con i quadratini.
Si noti che il vantaggio dello schema in corrente diventa ancora pi`u marcato se si considera che la resistenza di polarizzazione RP dello schema di tensione presenter`a inevitabilmente del rumore in eccesso (tipicamente del tipo 1/f ) oltre a quello termico a causa della corrente circolante in esso. Questo rumore in eccesso aumenta il rumore correlato e quindi peggiora le prestazioni dello schema in tensione. Viceversa, il rumore in eccesso della resistenza di feedback RF dello schema in corrente costituisce rumore incorrelato e quindi viene eliminato dallo strumento7.
7La resistenza RF che compare nell’espressione della temperatura equivalente di rumore dello schema in corrente, eq. 2.22, deriva dal rumore di tensione degli amplificatori e non dal rumore di RF.
Capitolo 3
Rumore shot nei conduttori diffusivi macroscopici
3.1 Rumore shot nei resistori?
Per conduttore diffusivo macroscopico si intende un dispositivo omogeneo in cui la conduzione
`e dominata dai fenomeni di scattering (elastico e anelastico) con il reticolo. Questa definizione di conduzione include quindi sia il trasporto dei portatori per deriva che per diffusione. Il termine diffusivo `e utilizzato in contrapposizione al caso di moto balistico caratterizzato dal-l’assenza di urti, come pu`o avvenire nei conduttori di dimensione nanometrica a bassissima temperatura. Un conduttore diffusivo presenta inoltre dei contatti ohmici con gli elettrodi esterni. Questo significa che la corrente fornibile dai contatti (per esempio per emissione termoionica) `e molto maggiore di quella che effettivamente fluisce nel conduttore. In questo modo, la caduta di tensione ai contatti `e trascurabile e le caratteristiche elettriche misurate agli elettrodi dipendono unicamente dalle caratteristiche del conduttore e non dai contatti.
Tipici esempi di conduttori diffusivi macroscopici sono i comuni resistori utilizzati nei cir-cuiti elettronici. Come ricordato nel capitolo 1 ogni resistore R all’equilibrio termico presenta un rumore, 4kT /R, dipendente unicamente dal valore del resistore stesso e dalla sua tempera-tura. Quando si applica una tensione di polarizzazione cos`ı da avere un flusso di corrente in R, possono insorgere altri tipi di rumore in eccesso al solo termico, tipicamente sotto forma di ru-more 1/f e di ruru-more di generazione-ricombinazione. E’ per`o comunemente accettato che non si presenta rumore shot e, inoltre, che l’espressione precedente del rumore termico sia ancora valida. Questa affermazione `e facilmente verificata sperimentalmente su ogni resistore dispo-nibile in un comune laboratorio di elettronica. Tuttavia manca ancora, sorprendentemente, una sua giustificazione teorica accettata unanimemente.
Il problema teorico dell’assenza di rumore shot nei comuni resistori e, pi`u in generale, in un conduttore diffusivo macroscopico, `e diventato ancora pi`u intrigante alla luce dei risultati ottenuti sui conduttori mesoscopici. Per conduttore mesoscopico si intende, per i nostri scopi, un conduttore con una lunghezza L minore del cammino libero medio `i tra due urti anela-stici. L’analisi teorica e sperimentale [7] di questi dispositivi ha mostrato che in presenza di corrente si manifesta rumore shot, eventualmente soppresso rispetto al valore classico (eq. 1.8, pag. 4), tipicamente di un fattore 1/3. Per spiegare la riduzione del rumore shot al cre-scere della lunghezza del conduttore fino alla sua completa soppressione nel caso macroscopico (L À `i), `e stata evidenziato il possibile ruolo della dissipazione di energia causata dagli urti anelastici [63, 91]: questi riducono la casualit`a della distribuzione d’energia degli elettroni rendendola uniforme a quella termica; questa minore casualit`a rispetto al caso mesoscopico di soli urti elastici porterebbe a una riduzione delle fluttuazioni della corrente e alla soppressione del rumore shot. E’ stata inoltre sottolineata l’importanza della correlazione tra gli elettroni causata dal principio di esclusione Pauli [62, 64]. Dopo un urto anelastico, infatti, lo stato
dell’elettrone non `e completamente casuale ma deve tenere in considerazione la presenza degli altri elettroni per soddisfare il principio di Pauli. Questa correlazione tra i portatori porte-rebbe alla soppressione del rumore shot, lasciando il solo termico. I modelli teorici attualmente proposti sembrano quindi portare alla conclusione che in presenza di urti anelastici, come nel caso di un conduttore macroscopico, non `e possibile avere rumore shot.
In contraddizione al quadro teorico attuale, recentemente `e stato proposto una nuova teoria [34], supportata da simulazioni Monte-Carlo [33], che prevede l’insorgere di rumore shot ogni qual volta le correlazioni tra i portatori dovute all’interazione coulombiana `e resa trascurabile. Questa condizione `e indipendente dalla presenza o meno degli urti anelastici e pu`o essere quindi soddisfatta anche da sistemi macroscopici purch´e abbiano una concentrazione di portatori liberi molto bassa (e quindi elevata resistenza) in modo da limitare l’interazione coulombiana tra essi.
I valori di resistenza molto elevati richiesti dalla teoria per misurare la transizione da rumore termico a shot rendono la verifica sperimentale ben al di l`a delle possibilit`a degli stru-menti tradizionali. L’analizzatore di spettro a correlazione presentato nel capitolo 2, tuttavia, grazie alla sua elevatissima sensibilit`a apre la possibilit`a di realizzare tale verifica. E’ stata perci`o avviata una collaborazione tra gli autori della nuova teoria, G. Gomila (Universitat de Barcelona) e L. Reggiani (INFM-Universit`a di Lecce), e il nostro laboratorio per studiare sperimentalmente la presenza o meno del rumore shot nei conduttori diffusivi macroscopici.
Nel paragrafo 3.2 `e presentata sinteticamente la teoria di Gomila e Reggiani, nel par. 3.3
`e descritto il dispositivo utilizzato per le misure, e successivamente sono presentati i risultati delle misure (par. 3.4) e il loro confronto con la teoria (par. 3.5).