Come conseguenza dei recenti miglioramenti della tecnologia microelettronica, `e ora possibile produrre facilmente dispositivi elettronici con un volume attivo cos`ı piccolo da contenere solo un limitato numero di portatori (poche centinaia o anche meno). In questi casi, l’alternanza casuale tra la cattura e il rilascio dei portatori in un singolo difetto genera un corrispondente effetto macroscopico sulla resistenza del dispositivo, e quindi sulla corrente circolante, chiamato random telegraph signal (RTS). Nella fig. 1.3 `e riportato un esempio di rumore telegrafico misurato come variazione della corrente di drain di un transistore MOS di dimensioni W ×L = 0.28µm × 0.18µm. Affinch´e il rumore RTS sia riconoscibile come tale, `e necessario che i centri di intrappolamento attivi siano pochi. Questa condizione `e favorita non solo dalle ridotte dimensione del dispositivo ma anche dal fatto che le trappole attive sono solo quelle che distano in energia pochi kT dal livello di Fermi. Il rumore, infatti, `e una misura dell’incertezza e la fluttuazione sar`a larga solo se la trappola ha approssimativamente la stessa probabilit`a di trovarsi piena o vuota e da qui di spendere quasi lo stesso tempo in ciascuno stato. Questo significa che le trappole attive dal punto di vista del rumore sono solamente quelle con energie prossime a quella del livello di Fermi o di quasi Fermi. Questo ha portato alla misura di rumore telegrafico anche in transistori JFET con dimensioni di decine di µm [49, 50].
Lo studio del rumore RTS ha fornito un potente mezzo per investigare la cinetica di cattura
CAPITOLO 1 INVESTIGARE I DISPOSITIVI ELETTRONICI TRAMITE IL LORO RUMORE 1.4
ed emissione dei portatori, l’origine microscopica del rumore 1/f (vedi par. 1.6) e la natura dei singoli difetti in particolar modo all’interfaccia Si − SiO2. Nel caso dei MOS, a cui nel seguito fare riferimento, mediante la dipendenza dalla temperatura e dalla tensione di gate del rumore RTS, `e possibile estrarre tutti i principali parametri del difetto: la sua posizione all’interno dell’ossido, la cross-section di cattura, il suo livello energetico, l’energia di attivazione per la cattura e per l’emissione e l’entropia del difetto [2]. Analizziamo brevemente come ricavare questi parametri.
Riferendoci alla gi`a citata fig. 1.3, possiamo individuare tre parametri caratteristici del rumore telegrafico: la variazione ∆I della corrente di drain dovuto al fenomeno di cat-tura/rilascio, e i tempi medi necessari per una transizione da ‘basso’ ad ‘alto’, τ0 =< t0 >, e da ’alto’ a ‘basso’, τ1 =< t1 >. Questi parametri caratterizzano completamente anche la densit`a spettrale di potenza del rumore telegrafico. Si pu`o infatti mostrare [65] che lo spettro assume un andamento Lorentziano:
S(f ) = 4∆I2τ2 τ0+ τ1
1
1 + (2πf τ )2 (1.9)
dove si `e posto
τ = 1
1/τ0+ 1/τ1 (1.10)
Lo spettro non permette per`o di ricavare i tre parametri caratteristici del rumore RTS ma solo delle loro combinazioni. Per questo, normalmente, il rumore telegrafico `e analizzato nel tempo e non nelle frequenze.
L’ampiezza ∆I del rumore RTS `e determinata da due fattori. La cattura di un elettrone da parte della trappola riduce di un’unit`a il numero Nc di portatori liberi nel canale. Se il transistore lavora in condizione di forte inversione questo porta a ∆I/ID = −1/Nc 1. Un secondo effetto che agisce sull’ampiezza ∆I `e la variazione di mobilit`a µ dei portatori nel canale causato dall’intrappolamento. Quando la trappola ha una carica netta non nulla, l’interazione coulombiana tra trappola e portatori liberi nel canale porta ad una diminuzione della mobilit`a (la trappola carica `e un centro di scattering).
Le fluttuazioni normalizzate della corrente di drain, causate dalla cattura di un portatore, possono allora essere calcolate come somma di questi due fattori:
∆I
ID = ∆N Nc ±∆µ
µ = − 1 Nc ± α
W Lµ (1.11)
dove W e L sono le dimensioni del canale e α il coefficiente di scattering. Il segno del cambiamento della mobilit`a dipende dal tipo di trappola: positivo se di tipo donore (neutra dopo la cattura del portatore), negativo se di tipo accettore (neutra dopo l’emissione). Quando il transistore lavora in zona ohmica `e possibile stimare il numero Nc di portatori nel canale dalla misura della corrente di drain e dall’ampiezza del rumore telegrafico stimare il coefficiente di scattering α della trappola.
Molte pi`u informazioni si possono ottenere dallo studio dei tempi caratteristici τ0 e τ1 perch´e questi sono strettamente legati alla posizione energetica e spaziale della trappola. Rife-rendoci al caso di un n-MOS, il diagramma delle bande di energia alla posizione della trappola
`e schematizzato nella fig. 1.4a. Diminuendo la tensione di gate di ∆VG, aumenta il livello ener-getico della trappola rispetto al livello di Fermi. Detto in altri termini, la trappola rimarr`a in media per meno tempo con il portatore catturato. Osservando come cambiano i tempi medi τ0 e τ1 al variare della tensione di gate possiamo individuare perci`o a quale livello della corrente
1Quando il transistore lavora in debole inversione (sottosoglia) il calcolo della riduzione effettiva del numero di portatori `e pi`u complicato perch´e le linee di forza del campo elettrico della carica intrappolata si chiudono anche verso la regione svuotata.
qVg > 0
Figura 1.4: (a) Diagramma dei livelli energetici all’interfaccia Si − SiO2 di un n-MOS; ET denota il livello energetico della trappola, ∆ECT la posizione energetica della trappola rispetto alla banda di conduzione, ψs`e il potenziale all’interfaccia (band bending); gli altri simboli hanno il significato usuale.
(b) Spostamento dei livelli energetici dovuto a un decremento ∆VGdella tensione di gate, ET0 `e il nuovo livello energetico della trappola; xT `e la distanza della trappola dall’interfaccia.
corrisponde lo stato con portatore intrappolato e quale a quello di trappola vuota. Questo, a sua volta, permette di individuare il tipo di trappola: se la condizione di portatore intrap-polato corrisponde al livello basso di corrente, significa che in questa situazione la trappola `e carica, cio`e `e di tipo accettore; nel caso opposto la trappola `e di tipo donore.
Per rendere la trattazione successiva indipendente dal tipo di trappola `e utile a questo punto introdurre una nuova notazione. Indicheremo con τcil tempo medio necessario a cattu-rare un portatore (1/τc`e quindi la probabilit`a di cattura) e con τeil tempo medio di emissione.
Imponendo che il tempo medio di occupazione della trappola sia dettato dalla statistica di Fermi-Dirac, `e immediato verificare che deve valere la relazione
τc dove g `e il fattore di degenerazione, normalmente uguale a 1 (come supporremo nel seguito).
Prendendo il logaritmo dell’espressione precedente e derivando rispetto alla tensione di gate si ha:
Osservando che la tensione di gate all’interno dell’ossido produce un campo elettrico constante, con l’aiuto della fig. 1.4b si ricava da considerazioni geometriche che
(ET0 − EF) − (ET − EF) = q∆ψS+ xT
tox(q∆VG− q∆ψS) (1.14) in cui ET0 − EF rappresenta la nuova posizione energetica della trappola dopo uno spo-stamento negativo ∆VG della tensione di gate; q∆ψS `e invece il piegamento delle banda di valenza e di conduzione del silicio causato dal cambiamento di tensione di gate. Combinando le ultime due equazioni, si ricava la posizione xT della trappola all’interno dell’ossido:
kT d
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Il piegamento delle bande ψS pu`o essere stimato da un’analisi standard del MOS [98]. Se si lavora in condizione di forte inversione la sua variazione con la tensione di gate `e peraltro tra-scurabile e la posizione della trappola nell’ossido si pu`o ricavare direttamente dall’andamento dei tempi medi di emissione e di cattura.
Dall’andamento in temperatura dei tempi τce τesi pu`o inoltre avere una caratterizzazione energetica completa della trappola. Basandoci infatti sulla statistica di Shockley-Read-Hall, la probabilit`a di cattura 1/τc pu`o essere espressa in termini della densit`a di portatori n (per unit`a di volume) nel canale, la velocit`a media dei portatori v (sostanzialmente la velocit`a termica) e la cross-section σ della trappola:
1
τc = nvσ (1.16)
La cross-section `e un processo termicamente attivato [52] e pu`o essere espressa con una barriera di energia ∆EB e un prefattore σ0:
σ = σ0exp(−∆EB/kT ) (1.17)
La densit`a di portatori n nel canale pu`o essere ricavata dalla corrente di drain nel caso in cui il transistore lavori in zona ohmica: I = nqµVDStW/L, dove t rappresenta lo spessore dello strato di inversione del canale. Assumendo gli abituali andamenti in temperatura per la mobilit`a (T−3/2) e lo spessore del canale (T ) e combinando le ultime due equazioni scritte, otteniamo infine:
IT τc= exp (∆EB/kT )
σ0χ (1.18)
in cui χ `e una costante indipendente dalla temperatura. Valutando la corrente e il tempo medio per la cattura τc al variare della temperatura possiamo perci`o calcolare la barriera di energia che deve superare da un portatore nel canale per essere intrappolato.
Ricordando che la densit`a dei portatori `e anche pari a n = NCexp [−(EC− EF)/kT ] (NC ∝ T3/2 `e la densit`a efficace di stati nella banda di conduzione) e utilizzando le equa-zioni 1.12 e 1.16 si ricava inoltre
T2τe= exp [(∆EB+ (EC− ET))/kT
σ0gη (1.19)
che permette mediante un diagramma di Arrhenius di ricavare la posizione energetica della trappola rispetto alla banda di conduzione del silicio (η `e una costante indipendente dalla temperatura). Con una stima dello spessore del canale t `e possibile inoltre valutare σ0. Sperimentalmente dall’ultima equazione si ottiene una stima di EC− ET sistematicamente sovrastimata. Questa discrepanza `e risolta [52] se si considera EC− ET come energia libera di Gibbs e quindi divisa in una componente entalpica e in una entroprica [19]:
EC − ET = ∆HCT − T ∆S (1.20)
La componente entropica `e dovuta alla differente entropia del sistema nei casi di portatore intrappolato e di portatore nel canale. Con questa interpretazione l’eq. 1.19 si modifica in
T2τe= exp (∆S/k) exp [(∆EB+ ∆HCT)/kT ]
σ0gη (1.21)
Dall’andamento in temperatura del tempo medio di emissione τe possiamo perci`o ricavare sia il contributo entropico (indipendente dalla temperatura) ed entalpico della trappola.
In conclusione, da questa veloce discussione sul rumore telegrafico `e evidente la sua straor-dinaria efficacia nel permettere l’indagine della dinamica di singoli difetti e, al diminuire delle dimensioni permesse dalla tecnologia, non stupisce il crescente interesse di cui gode.