La tecnica presentata in questo paragrafo si propone di studiare l’interazione spin-dipendente tra una singola trappola d’interfaccia Si−SiO2 e i portatori di un MOSFET a dimensioni sub-micrometriche. Questa tecnica si basa sulla spettroscopia EPR e utilizza il rumore telegrafico (RTS) del MOSFET come strumento di misura dei cambiamenti indotti dalla risonanza. Prima di entrare nel dettaglio della tecnica, `e utile richiamare i principali processi dipendenti dallo spin nei semiconduttori.
ET
EC
EV
Tripletto ET
EC
EV
Singoletto
a) b)
Figura 6.2: Rappresentazione schematica d’intrappolamento spin-dipendente: differenza dello stato di tripletto (a) rispetto a quella di singoletto (b).
6.3.1 I processi dipendenti dallo spin nei semiconduttori
Esistono dei processi elettronici che dipendono fortemente dallo spin del portatore e che per questo sono chiamati processi spin-dipendenti. Sono causati dall’interazione di almeno due spin elettronici: quello di un portatore, elettrone o lacuna, e quello di una seconda particella, sia esso un altro portatore od un centro paramagnetico prodotto da un difetto nel semicondut-tore. Quando i due spin sono sufficientemente vicini per interagire l’uno con l’altro, si forma una coppia di spin che evolver`a in modo differente a seconda dello stato in cui si trova, che pu`o essere o di singoletto (spin antiparalleli) o di tripletto (spin paralleli) La dinamica del processo spin-dipendente `e pertanto governata da una regola di selezione di spin stabilita dal principio di Pauli.
Un tipico processo condizionato dallo spin `e l’intrappolamento spin-dipendente, ossia la cattura di un portatore da parte di una trappola paramagnetica, mostrato nella fig. 6.2. Per il principio di Pauli, l’intrappolamento pu`o avvenire solo se gli spin della trappola e del portatore sono nello stato di singoletto. In questo caso, infatti, i due spin sono antiparalleli e possono occupare lo stesso orbitale elettronico. In caso contrario, la cattura `e impossibile poich´e nello stato di tripletto gli spin sono paralleli e si respingono sotto l’azione della forza di scambio.
Se questa trappola funge anche da centro di ricombinazione per una coppia elettrone-lacuna, la ricombinazione dei portatori dovr`a rispettare la regola di selezione di spin (o principio di Pauli). Si ha pertanto una ricombinazione spin-dipendente, che avviene solo a condizione che i due spin siano in singoletto.
Se poi l’intrappolamento di un portatore nel difetto avviene tramite tunneling, si parla di tunneling spin-dipendente, rappresentato nella fig. 6.3. In modo del tutto analogo ai casi precedenti, il principio d’esclusione di Pauli seleziona le coppie di spin a cui il tunneling
`e permesso. Poich´e, infatti, al termine della transizione di tunneling il portatore former`a un doppietto elettronico con l’elettrone spaiato del difetto paramagnetico, solo i singoletti potranno effettuare questo processo.
Lo stato di spin elettronico, tuttavia, pu`o modificare il moto del portatore anche senza causarne l’intrappolamento in un difetto o la ricombinazione. Alcuni studi sperimentali [31]
hanno confermato l’esistenza di scattering spin-dipendente dovuta alle impurit`a neutre del
Singoletto ET
EC
Tripletto
ET
EC
Figura 6.3: Rappresentazione schematica di tunneling spin-dipendente: il tunneling del portatore pu`o avvenire solamente nello stato di singoletto.
CAPITOLO 6 GLI EFFETTI DELLO SPIN ELETTRONICO SUL RUMORE TELEGRAFICO 6.3
a) b)
Figura 6.4: Rappresentazione schematica dello scattering spin-dipendente del portatore in prossimit`a di un’impurit`a neutra del silicio: il portatore devia in direzioni opposte determinate dal suo stato di spin, tripletto (a) o singoletto (b).
silicio. Se un portatore si trova in prossimit`a di un difetto di questo tipo, per effetto dell’inte-razione spin-spin tende in media a muoversi in direzioni diverse determinate dall’orientazione dello spin: devia nella direzione dell’impurit`a quando `e nello stato di singoletto, laddove nello stato di tripletto se ne allontana come schematizzato nella fig 6.4. In questo modo il principio di Pauli `e rispettato in entrambi i casi e la funzione d’onda del sistema portatore-impurit`a neutra risulta sempre antisimmetrica.
6.3.2 L’effetto dello spin sul rumore telegrafico
Tutti i meccanismi spin-dipendenti descritti nel paragrafo precedente influenzano in modo diretto il singolo portatore, ossia sono dominanti nel mondo microscopico. Affinch´e l’effetto di un processo spin-dipendente sia visibile anche nel macroscopico, `e necessario avere una grandezza sensibile alla variazione subita da un singolo portatore. Il rumore telegrafico `e causato dall’intrappolamento di un singolo portatore (vedi par. 1.4) ed `e quindi un ottimo candidato per questo tipo di misure. Valutiamo, con un modello molto semplice, l’effetto dei processi dipendenti dallo spin sul rumore telegrafico.
Consideriamo un MOSFET con una trappola d’interfaccia o nell’ossido interagente con un portatore nel canale. In assenza di campo magnetico (B = 0), la trappola e il portatore hanno la stessa probabilit`a di avere spin ‘up’ o spin ‘down’ (i livelli energetici corrispondenti sono degeneri). Ricordando che lo stato di tripletto `e tre volte degenere [18], la coppia trappola-portatore avr`a probabilit`a pS = 1/4 di essere in singoletto e probabilit`a pT = 3/4 di essere in tripletto.
Applicando un campo magnetico (B 6= 0), gli spin del sistema tendono ad orientarsi paralleli ed equiversi alla direzione del campo. Il sistema `e in equilibrio termico per cui possiamo valutare il numero di portatori con spin ‘up’ e spin ‘down’ utilizzando la distribuzione di Boltzmann:
n↑= cne+gpµBB/2kT
n↓= cne−gpµBB/2kT (6.3)
dove n `e il numero totale di portatori, c `e una costante di proporzionalit`a fissata da n = n↑+ n↓ e gp `e il fattore orbitale dei portatori liberi. La polarizzazione di spin indotta dal campo magnetico `e definita come
Pp = n↑− n↓
n ∼= gpµBB/2kT (6.4)
EC
EF
B = 0
EC
EF
B z 0
a) b)
Figura 6.5: Effetto del campo magnetico esterno sul meccanismo spin-dipendente di cattura dei porta-tori in banda di conduzione: (a) in assenza di campo; (b) in presenza di campo diminuisce la probabilit`a dello stato di singoletto trappola-portatore e con essa anche la probabilit`a di cattura del portatore.
L’approssimazione finale `e valida per gpµBB ¿ 2kT come normalmente accade. Analoga espressione vale per la polarizzazione della trappola Pt.
L’effetto delle due polarizzazioni di spin `e quello di avere pi`u spin allineati con la direzione del campo magnetico applicato, diminuendo la probabilit`a di singoletto (spin antiparalleli) a favore della condizione di tripletto. Utilizzando la meccanica quantistica, si ricava il valore della probabilit`a di singoletto pS in presenza di campo magnetico [51]:
pS= 1
4(1 − PpPt) (6.5)
Per quanto detto riguardo ai processi spin-dipendenti, la diminuzione della probabilit`a di stato di singoletto si traduce in una variazione della probabilit`a di cattura del portatore nel canale, come schematizzato nella fig. 6.5.
In condizione di risonanza, la microonda assorbita promuove gli spin dal livello inferiore a quello superiore fino, per potenze della microonda molto elevate, a distruggere la polarizza-zione di spin e a riportare il sistema allo stato antecedente l’applicapolarizza-zione del campo magnetico statico. La riconversione dell’eccesso di tripletti provocato dal campo magnetico in singoletti porta all’aumento della probabilit`a di cattura dei portatori. Nel caso di misura di rumore te-legrafico, ci attendiamo allora una diminuzione del tempo medio di cattura τcnella condizione di risonanza. Infatti, τc`e inversamente proporzionale alla cross-section σ della trappola (vedi par. 1.4, eq. 1.16). Poich´e la cross section rappresenta la probabilit`a di cattura della trappola, segue dalla eq. 6.5 che
σ = σ0(1 − PpPt) (6.6)
dove σ0 `e la cross section in assenza di campo magnetico che coincide con quella in risonanza. La variazione massima relativa della cross section alla risonanza `e dunque:
σ0− σ
σ = PpPt (6.7)
e la corrispondente variazione del tempo medio di cattura `e:
τ0− τ
τ = −σ0− σ
σ = −PpPt (6.8)
Secondo questo modello, sicuramente semplicistico, in corrispondenza della risonanza `e previsto un decremento relativo della costante di tempo di cattura τc del rumore telegrafico, al massimo pari al prodotto delle due polarizzazione di spin. Se questo modello fosse corretto, ci aspetteremmo inoltre di misurare la stessa variazione, ma di segno contrario, passando dalla situazione senza campo magnetico esterno a quella con campo.
CAPITOLO 6 GLI EFFETTI DELLO SPIN ELETTRONICO SUL RUMORE TELEGRAFICO 6.4
Utilizzando l’espressione trovata `e possibile quindi dare una stima di massima della va-riazione della costante di tempo. Con un tradizionale spettrometro EPR in banda X (ν = 9.5 GHz), il prodotto delle due polarizzazioni di spin alla temperatura T = 300 K `e dell’ordine di 10−7, difficilissimo da ottenere su un parametro statistico come `e τc. Questo valore aumenta per`o diminuendo la temperatura di lavoro. In particolare, per T = 10 K la variazione relativa massima diventa un pi`u abbordabile 10−4.
Occorre, tuttavia, osservare che i risultati sperimentali delle tecniche EPR basate sulla misura delle variazioni conducibilit`a non hanno confermato il semplice modello teorico pre-sentato. In particolare, le variazioni delle caratteristiche elettriche sono maggiori di quelle previste dal modello anche di alcuni ordini di grandezza. La ragione di questa discrepanza non `e ancora chiara [95]. Esistono altri modelli che tentano di spiegare i risultati sperimentali ipotizzando che la trappola ed il portatore prima della transizione spin-dipendente siano in uno stato intermedio fortemente ‘accoppiato’ [51]. Siccome le coppie in uno stato di singoletto possono ricombinarsi mentre quelle di tripletto no, avremo un surplus di tripletti rispetto a quanto calcolato precedentemente, con e senza campo magnetico applicato1. L’effetto della risonanza di commutare tripletti in singoletti pu`o cos`ı agire su una popolazione maggiore e giustificare i dati sperimentali. La valutazione quantitativa di questa teoria richiede per`o la conoscenza di parametri difficilmente ricavabili sperimentalmente. Qui ci accontentiamo delle previsioni fornite dal modello semplicistico della tecnica proposta e di rilevare che la teoria delle misure di risonanza per lo studio dei processi spin-dipendenti non `e ancora chiara. E questo, dunque, `e un motivo in pi`u per condurre nuovi esperimenti sull’argomento.