In questo paragrafo saranno evidenziate le problematiche e i principali criteri di progetto dell’amplificatore a transimpedenza a capacit`a commutate.
Una prima considerazione generale `e sulla banda richiesta ai circuiti integratori e derivatori.
La scarica periodica delle capacit`a provoca un transitorio di assestamento dei circuiti che deve essere di durata molto inferiore al periodo di commutazione TSW per permettere l’elaborazione corretta del segnale del DUT. Questo impone che la banda dell’integratore Bi e del derivatore Bd siano molto maggiore di
Bi, BdÀ 1
TSW = Ibias
(Voutmax− Vbias)Ci (5.2)
Per una realizzazione a componenti discreti in cui le bande ottenibili sono dell’ordine dei 10 MHz e le capacit`a di integrazione sono di qualche decina di pF, questa condizione limita la corrente di polarizzazione gestibile dallo strumento a qualche centinaia di µA. Nel seguito assumeremo una banda Bc dei canali compresa tra 1 MHz e 10 MHz.
La banda elevata deve essere mantenuta fino al campionatore che dovr`a quindi campionare con una frequenza di almeno 2·Bc. Infatti un qualsiasi filtro a banda pi`u limitata allargherebbe il disturbo generato dalla scarica dei condensatori su un tempo maggiore. Se la durata del disturbo diventasse maggiore di TSW/2 sarebbe impedita la ricostruzione corretta del segnale.
Valutiamo ora i principali criteri di proegetto delle singoli parti di un canale [14].
Integratore
Si pu`o mostrare che la banda dell’integratore `e data da:
Bi = GBW P · Ci
CDU T + Cp+ Ci (5.3)
dove si `e indicato con GBWP il prodotto guadagno-banda dell’operazionale, con CDU T la capacit`a del DUT e con Cp la capacit`a parassita presente al nodo di ingresso dell’integratore.
Scegliendo la capacit`a di integrazione di valore dominante rispetto alle altre in gioco possiamo ottenere facilmente tutta la banda ottenibile dall’operazionale, cio`e il suo prodotto guadagno-banda. La condizione sulla banda dell’integratore non costituisce quindi un fattore limitante.
La stabilit`a del circuito integratore `e sempre garantita se l’operazionale utilizzato `e stabile a guadagno unitario. Infatti, nel guadagno d’anello sono presenti due poli (quello dominante dell’operazionale e uno dovuto al nodo di ingresso) e uno zero nell’origine (in continua l’integra-tore non `e retroazionato) che assicura il taglio dell’asse a 0dB con una pendenza di 20 dB/dec e quindi la stabilit`a del circuito.
Questo permette di ottenere generalmente bande molto pi`u elevate rispetto a quelle rag-giungibili da un amplificatore a transimpedenza tradizionale, dove la stabilit`a limita spesso la banda ottenibile.
Derivatore
Il dimensionamento dello stadio derivatore si basa sui requisiti di banda e di stabilit`a. L’analisi di questi parametri `e del tutto analoga a quella realizzata per l’amplificatore a transimpedenza usato dallo strumento a correlazione (par. 2.4.3), avendo l’accortezza di assumere RD → ∞.
Infatti il circuito `e topologicamente lo stesso, cambia solo la modalit`a con cui viene fornito il segnale di ingresso (in questo caso la tensione sulla capacit`a Cd e non la corrente iniettata direttamente nella terra virtuale).
Si pu`o mostrare che questo porta alla condizione:
RfCd< GBW P
2πBd2Gmin (5.4)
dove Rf `e la resistenza di feedback dello stadio derivatore, Bd la banda del derivatore e Gmin il guadagno d’anello minimo richiesto a fine banda (per avere stabilit`a dobbiamo avere Gmin > 1).
La resistenza Rf `e anche soggetta al vincolo di dinamica dell’operazionale: in essa scorre la corrente di polarizzazione del DUT Ibias amplificata di Cd/Ci. Affinch´e l’operazionale non saturi dobbiamo richiedere
Rf < Voutmax
Ibias· Cd/Ci (5.5)
Ricordando l’eq. 5.1 l’ultima equazione pu`o essere riscritta come
RfCd< TSW (5.6)
CAPITOLO 5 DOPPIO AMPLIFICATORE A TRANSIMPEDENZA A CAPACIT `A COMMUTATE 5.3
In entrambi i casi abbiamo solo una limitazione sulla costante di tempo RfCd, lasciando un grado di libert`a che, come vedremo in seguito, sar`a fondamentale per abbattere il rumore complessivo dello strumento.
Interruttori
La realizzazione e la gestione accurata degli interruttori in parallelo alla capacit`a di integra-zione `e importante per il corretto funzionamento dello strumento. Nel momento di scarica della capacit`a, infatti, si possono avere dei disturbi sulla terra virtuale che attraverso il DUT iniettano un segnale di corrente nel canale su cui si stanno acquisendo i dati. Questo crea un disturbo periodico con componenti in frequenza a fSW e ai suoi multipli.
Nelle soluzioni attualmente studiate il disturbo sulla terra virtuale `e tipicamente di qualche milliVolt, per nulla trascurabile. Per eliminare l’effetto di questo disturbo `e possibile filtrare il segnale dopo averlo ricostruito con un filtraggio passa-basso con banda fSW. Questo permette di ottenere il segnale del DUT perfettamente ricostruito fino alla frequenza di commutazione fSW.
E’ importante sottolineare che se si filtrasse direttamente l’uscita di uno dei due canali si otterrebbe un segnale del DUT errato. Durante la scarica della capacit`a, infatti, il segnale proveniente dal DUT `e perso perch´e non viene integrato. Questa perdita di informazione non pu`o essere recuperata con nessun tipo di filtraggio. Viceversa, i disturbi introdotti da un canale nell’altro canale sono sovrapposti al segnale del DUT, disponibile con continuit`a nel tempo. Un normale filtraggio lineare, in questo caso passo basso, permette di ricostruire esattamente il segnale del DUT nella banda selezionata dal filtro.
5.3 Analisi di rumore
Per lo studio del rumore introdotto dal circuito consideriamo lo schema con le principali sorgenti di rumore riportato nella figura 5.3. Il DUT `e stato al solito schematizzato con la sua impedenza equivalente.
Si pu`o verificare con pochi passaggi che il rumore equivalente di corrente in ingresso al canale A nella banda di interesse `e:
i2eqA = i2nAi+ e2nAi
· 1
R2D + ω2(Cp+ CD+ Ci)2
¸ + e2nBi
µ 1
RD2 + ω2CD2
¶ +
+ 1
(Cd/Ci)2
"
i2nAd+4kT
Rf + e2nAd Ã
1
R2f + ω2Cd2
!#
(5.7) Il rumore equivalente del canale B `e del tutto analogo. Il rumore complessivo dello stru-mento `e dato per mezzo periodo di commutazione dal rumore del canale A e per il restante semiperiodo dal rumore del canale B. Indicando con q(t) un’onda quadra di ampiezza unitaria, di periodo pari a TSW e duty cycle del 50%, il rumore complessivo dello strumento pu`o essere espresso come:
ieq(t) = ieqA(t) · q(t) + ieqB· (1 − q(t)) (5.8) e la sua densit`a spettrale `e [40]
i2eq(f ) = i2eqA(f ) ∗ Sq(f ) + i2eqB∗ S1−q(f ) (5.9) dove Sq(f ) e S1−q(f ) sono le densit`a spettrali dei segnali ad onda quadra. In quanto spettri di segnali periodici, sono costituite da una successione di delta di Dirac alla frequenza di commutazione e ai suo multipli (dispari). L’operazione di composizione dei segnali provenienti
Figura 5.3: Schema dell’amplificatore a transimpedenza a capacit`a commutate con riportate le principali sorgenti di rumore che agiscono sul canale A.
dai due canali ha perci`o l’effetto di ripetere lo spettro dei rumori dei singoli canali attorno alla frequenza di commutazione e ai suo multipli (dispari).
I rumori presenti in egual misura nei due canali perch´e generati attraverso il DUT, non sono influenzati dall’operazione di composizione perch´e vengono ricostruiti con continuit`a nel tempo e saranno perci`o presenti in i2eq(f ) invariati.
Se consideriamo invece la componente bianca del rumore nel canale A non presente nel canale B, il suo contributo al rumore complessivo `e pari alla met`a della sua densit`a spettrale4. Infatti, la moltiplicazione per l’onda quadra fa s`ı che per met`a del tempo il suo contributo
`e nullo e quindi la potenza viene dimezzata. Analogamente, il rumore bianco del canale B contribuisce con met`a della sua potenza. Il rumore complessivo dopo la ricostruzione dovuto a queste componenti bianche `e quindi sostanzialmente lo stesso di quello a singolo canale.
Questo `e intuitivo perch´e il rumore bianco `e caratterizzato dall’assenza di correlazione tra istanti temporali differenti e perci`o la commutazione dal rumore bianco di un canale a quello dell’altro canale non ha nessun effetto e il segnale ricostruito `e ancora un rumore bianco con la stessa potenza.
Diverso `e l’effetto sulle componenti di rumore che dipendono dalla frequenza, e in partico-lare per quelle dipendenti da f2che nascono per effetto del rumore di tensione e2nsulle capacit`a parassite Cp. Questi rumori sono dotati di una correlazione temporale tra istanti differenti che viene persa a causa della continua commutazione da un canale all’altro. Questa perdita di coerenza temporale si manifesta, a livello spettrale, con una ridistribuzione in frequenza della potenza del segnale che porta alla nascita di una componente bianca. La figura 5.4 schematizza l’insorgere della componente bianca causata dalle repliche spettrali alle frequenze multiple dispari di quella di commutazione. Si pu`o mostrare [14] che un rumore su un canale
4I pesi delle delta di Dirac di Sq sono pi`u piccoli di uno e la loro somma `e uguale a 1/2 [14].
CAPITOLO 5 DOPPIO AMPLIFICATORE A TRANSIMPEDENZA A CAPACIT `A COMMUTATE 5.3
Figura 5.4: Effetto della composizione dei segnali su un rumore del tipo k · f2 con banda B presente in un solo canale. (a) Spettro di rumore di partenza; (b) spettro dopo la ricostruzione (per chiarezza le repliche spettrali non sono in scala).
con densit`a spettrale di valore kf2 d`a origine nel segnale ricostruito combinando i due canale ad un rumore con densit`a spettrale pari a
µ1
dove h > 4 e B indica la banda del strumento. Nel seguito assumeremo il caso peggiore con h = 4.
Anche i rumori 1/f di e2n e della resistenza Rf subiscono una ridistribuzione in frequenza della loro potenza causato dalla commutazione dei casi. Il loro effetto `e per`o trascurabile perch´e le loro repliche ai multipli delle frequenze di commutazione hanno banda limitata. Se consideriamo per esempio una noise corner del rumore 1/f pari a fnc= 1 kHz, l’operazione di composizione dei segnali dei due canali genera delle componenti di rumore nell’intorno della frequenza di commutazione di banda al pi`u pari a 2fnc ¿ fSW.
In base a queste considerazioni e assumendo per semplicit`a i rumori equivalenti di tutti gli operazionali di uguale valore, il rumore equivalente del segnale ricostruito componendo i due canali `e dato da:
Possiamo ora confrontare le prestazioni di rumore del doppio amplificatore a transim-pedenza a capacit`a commutate con quanto ottenibile da un amplificatore a transimtransim-pedenza tradizionale, indicato nell’eq. 2.4 e riportata di seguito per comodit`a
i2eq= i2n+ e2n
Per chiarezza, si `e indicata con RF,trad il valore della resistenza di feedback della struttura tradizionale.
Il termine i2n, dovuto al rumore di corrente degli operazionali, `e presente in ugual misura nei due casi ma `e spessissimo trascurabile utilizzando operazionali con ingressi a FET.
Il rumore introdotto dal generatore equivalente di rumore di tensione degli operazionali `e invece peggiorato a causa del rumore bianco introdotto dalla composizione dei segnali dei due
canali. Trascurando la capacit`a parassita di connessione, come per esempio avviene nel caso di realizzazione integrata, possiamo confrontare questo nuovo termine di rumore con quello dominante nella struttura tradizionale e dovuto alla resistenza di retroazione:
4kT /RF,trad 8e2nfSWB · 2Ci2
∼= 4kT Ibias/Voutmax
16e2nfSWB (Ibias/VoutmaxfSW)2 = kT 4e2n ·fSW
B ·Voutmax
Ibias (5.13) Con valori tipici di e2n= (4.5 nV)2/ Hz, B = 10 · fSW e Voutmax= 10 V si ha un fattore di miglioramento rispetto al caso tradizionale di 50 µA/Ibias. Il miglioramento pu`o essere ancora pi`u marcato qualora la RF,trad del caso tradizionale fosse limitata dalla stabilit`a anzich´e dalla dinamica.
Infine, abbiamo l’ultimo termine costituito dal rumore termico della resistenza di feedback.
E’ questo contributo, normalmente dominante, che pu`o essere notevolmente ridotto utilizzando la struttura a capacit`a commutate. Infatti, come visto nel paragrafo precedente, i vincoli di stabilit`a, banda e dinamica sul derivatore impongono un vincolo solo sul prodotto RfCd. Scelta allora la capacit`a di integrazione Ci in base alla corrente di polarizzazione del DUT e alla frequenza di commutazione di lavoro, il rumore di Rf pu`o essere reso arbitrariamente piccolo aumentando il valore di Cd. Per esempio, nel caso in cui la scelta delle resistenze di feedback di entrambi i sistemi `e determinata da considerazioni di dinamica abbiamo che il rapporto tra il rumore del caso tradizionale e quello dovuto alla Rf della struttura proposta vale
4kT /RF,trad
4kT /Rf(Cd/Ci)2 = RfCd· Cd/Ci2
RF,trad ∼= TSWCd/Ci2
Voutmax/Ibias = Voutmax
Ibias fSWCd (5.14) Con valori tipici di Voutmax = 10 V, fSW = 100 kHz e Cd = 1 nF si ottiene un fattore di miglioramento di 1 mA/Ibias. Il contributo della Rf `e perci`o trascurabile rispetto al rumore in-trodotto dall’operazionale valutato precedentemente. Lo strumento proposto permette quindi di migliorare le prestazioni di un amplificatori tradizionale, sia in termini di rumore che di banda, in tutte le applicazioni che richiedono la misura di correnti inferiori a qualche decina di µA ed `e possibile contenere l’entit`a delle capacit`a parassite.
Le equazioni 5.14 e 5.13 forniscono i miglioramenti ottenibili nel caso, come detto, di Cp= 0. La presenza di una capacit`a parassita riduce il miglioramento in accordo alle espressioni del rumore equivalente date dalle eq. 5.11 e 5.12. A titolo d’esempio, nella figura 5.5 `e riportato il rapporto tra il rumore di un amplificatore tradizionale e il rumore della struttura proposta al variare della capacit`a parassita presente al nodo di ingresso. La corrente `e stata posta a 1 µA, la capacit`a del DUT a 0.1 pF, il prodotto guadagno banda dell’operazionale a 16 MHz (quest’ultimi due parametri sono necessari per calcolare la RF,trad in base a considerazioni di stabilit`a) e gli altri parametri sono quelli tipici utilizzati nei casi precedenti.
Per valori di capacit`a minori di un pF le prestazioni ottenibili sono quelle fornite dal-l’eq. 5.13. Per valori maggiori il rumore `e degradato notevolmente fino a vanificare ogni vantaggio della nuova struttura per valori pi`u grandi di qualche decina di pF. E’ da notare che qualora l’amplificatore a capacit`a commutate fosse integrato sullo stesso chip del DUT le capacit`a parassite non costituirebbero un problema e si avrebbero quindi i massimi fattori di miglioramento dati dall’eq. 5.13.
Un ultimo commento sul rumore introdotto dagli interruttori. Se vengono per esempio realizzati con transistori MOSFET il loro contributo di rumore `e trascurabile quando sono spenti (interruttori aperti) perch´e dovuto solo alle piccolissime correnti di leakage. Quando il transistore `e acceso (interruttore chiuso) si comporta come una resistenza di basso valore in parallelo alla capacit`a di integrazione. In questa condizione la tensione ai capi della Ci non sar`a nulla ma fluttuer`a attorno allo zero a causa del rumore termico della resistenza. Quando il transistore viene nuovamente spento la capacit`a avr`a un offset di tensione costante non nullo
CAPITOLO 5 DOPPIO AMPLIFICATORE A TRANSIMPEDENZA A CAPACIT `A COMMUTATE 5.4
1f 10f 100f 1p 10p 100p
0.1 1 10 100
Fattore di miglioramento
Capacità parassita [F]
Figura 5.5: Rapporto tra il rumore di un amplificatore tradizionale e quello dell’amplificatore a capacit`a commutate al variare della capacit`a parassita del nodo di ingresso. La corrente di polarizzazione `e fissata a 1 µA.
che per`o viene eliminato dal successivo stadio derivatore. Possiamo perci`o concludere che gli interruttori non contribuiscono al rumore dell’intero strumento.