La teoria Gomila-Reggiani

La teoria sviluppata da Gomila e Reggiani [34] assume una conduzione diffusiva unipolare e un conduttore macroscopico omogeneo di lunghezza L À `<sub>i</sub>, dove `_i`e il cammino libero medio tra due urti anelastici, e area trasversale A sufficientemente grande da poter considerare il sistema unidimensionale. In base all’equazione di Langevin [101] possiamo scrivere

I(t)

A = qnµE + qDdn

dx +δI_x(t)

A (3.1)

dove n `e la concentrazione di portatori liberi, µ la mobilit`a e D il coefficiente di diffusione. I primi due termini al secondo membro dell’equazione rappresentano rispettivamente la corrente di deriva e di diffusione. L’ultimo termine δI_x(t) `e la sorgente di rumore che permette di tener conto della fluttuazione della corrente dovuta alla diffusione dei portatori alla coordinata x del conduttore. E’ assunta a valor medio nullo e incorrelata sia nello spazio che nel tempo.

Linearizzando l’equazione precedente e utilizzando condizioni al contorno che impongono una distribuzione uniforme della concentrazione dei portatori¹, si pu`o risolvere in forma chiusa ottenendo

S_I= S_I^ther+ S_I^ex (3.2)

dove S_I^ther`e l’usuale rumore termico, 4kT /R (R `e la resistenza del conduttore in equilibrio termico), e S_I^ex `e un rumore in eccesso pari a

S_I^ex= (λ²₂− λ²₁)(e^λ₁ − 1)(e^λ2− 1) 2λ²₂λ²₁(e^λ1 − e^λ2)²

h

λ₂(e^λ2 − 1)(e^λ1+ 1) − λ₁(e^λ1 − 1)(e^λ2+ 1) i

(3.3)

1Questo `e ottenuto imponendo che la concentrazione dei portatori liberi determinata dai contatti sia uguale a quella intrinseca del conduttore. La condizione implica l’assenza di fenomeni di conduzione limitata da carica spaziale e il conduttore ha una caratteristica I-V sempre lineare: in altre parole, il sistema si comporta da resistore ideale.

CAPITOLO 3 RUMORE SHOT NEI CONDUTTORI DIFFUSIVI MACROSCOPICI 3.2

Figura 3.1: Rumore di un conduttore omogeneo normalizzato al rumore termico 4kT /R in funzione della corrente normalizzata rispetto a IR= Vth/R. Le curve sono parametrizzate rispetto al rapporto L/LD. transito e τ_d= ²/qnµ il tempo di rilassamento del dielettrico. Il tempo di transito rappresenta il tempo medio impiegato da un portatore per andare da un elettrodo all’altro. Il tempo di rilassamento del dielettrico `e invece il tempo caratteristico con cui il conduttore neutralizza una carica aggiuntiva iniettata in esso. Per un resistore omogeneo pu`o essere anche calcolata come τ_d= RC, dove R `e la resistenza del dispositivo e C la sua capacit`a.

Le previsioni della teoria sono efficacemente riassunti nella figura 3.1. Sulle ordinate `e riportato il rumore previsto per un conduttore omogeneo rapportato al rumore termico pre-visto classicamente, 4kT /R. Sulle ascisse `e indicata il rapporto tra la corrente nel conduttore e la corrente che si ha quando si applica la tensione termica, I_R = V_th/R. Le curve sono parametrizzate rispetto al rapporto tra la lunghezza del dispositivo, L, e la lunghezza di De-bye, L_D = p

²V_th/qn. La lunghezza di Debye rappresenta la distanza al di l`a della quale le interazioni coulombiane sono rilevanti. Per distanze dal portatore minori di L<sub>D</sub> il campo elettrico `e dominato dal quello generato dal portatore stesso e possiamo analizzarlo indipen-dentemente dagli altri portatori; per distanze maggiori, il suo campo elettrico viene schermato dalla presenza degli altri portatori e si ha un effetto esterno dato dalla collettivit`a dei portatori.

Quando la tensione applicata al conduttore fornisce ad esso un’energia inferiore a quella termica, ossia quando V /V_th= I/I_R < 1, il conduttore rimane sostanzialmente in condizioni di equilibrio e il rumore `e quello termico normalmente previsto.

Quando l’energia fornita `e maggiore di quella termica (I/I<sub>R</sub> > 1) si hanno due casi di-stinti. Se la lunghezza del dispositivo `e minore di quella di Debye, `e previsto immediatamente l’insorgere di rumore shot, contrariamente a quanto comunemente supposto. In questa condi-zione, infatti, i portatori rimangono indipendenti tra loro perch´e il conduttore `e pi`u corto della distanza minima necessaria affinch´e le correlazioni coulombiane siano significative; in altri ter-mini, le linee di forza del campo elettrico prodotto da un portatore si chiudono interamente

verso gli elettrodi senza essere schermate dagli altri portatori. Agli elettrodi misureremo una corrente data dalla somma dei contributi dovuti ai singoli portatori e quindi un rumore shot.

Si noti che avremo rumore shot indipendentemente dalla statistica di iniezione dei portatori ai contatti. Il tempo di permanenza nel conduttore di un portatore, infatti, dipende dal numero casuale di urti che subisce nel suo percorso tra i due elettrodi. Questo porta alla fluttuazione casuale del numero dei portatori all’interno del conduttore, esattamente come nel caso classico di un diodo a vuoto (par. 1.3), indipendentemente da come sono iniettati i portatori. Si pu`o infine notare che nel caso L/L<sub>D</sub> < 1 il passaggio da rumore termico a rumore shot avviene con una transizione proporzionale a coth (qV /2kT ) come in tutti i dispositivi in cui `e presente rumore shot, siano essi classici [108] o quantistici [7, 57].

All’aumentare del rapporto L/L_D > 1 il rumore shot si manifesta via via a correnti mag-giori. In questa condizione, infatti, a basse polarizzazioni le correlazioni coulombiane hanno la possibilit`a di manifestarsi, il campo elettrico prodotto agli elettrodi `e conseguenza dell’in-terazione collettiva dei portatori e il rumore shot `e completamente soppresso. In altri termini, il moto del singolo portatore provoca una riconfigurazione (rilassamento) delle altre cariche presenti nel conduttore per schermare i suoi effetti e mantenere la neutralit`a (locale) di carica:

`e evidente che in questo caso il campo elettrico agli elettrodi non `e pi`u associabile al moto del singolo portatore. Il tempo necessario al conduttore per riconfigurare la sua carica `e fissato dal tempo di rilassamento del dielettrico. Possiamo quindi intuire quando ritorneremo ad avere ancora rumore shot: aumentando la tensione applicata si diminuisce il tempo di transito dei portatori e se questo diventa minore del tempo di rilassamento del dielettrico, le correlazioni coulombiane sebbene abbiano lo spazio per manifestarsi non hanno pi`u il tempo per realizzarsi.

E’ perci`o da aspettarsi rumore shot quando τ_tr < τ_d ⇒ L²

µV < ²

qnµ ⇒ V > qnL²

² (3.5)

che pu`o essere riscritta come

I I_R >

µ L L_D

¶₂

(3.6) Si noti che siccome il passaggio allo shot avviene solo per correnti maggiori di I_R(siamo nel caso L/L_D > 1) `e da attendersi una transizione anomala con una dipendenza della corrente pi`u che lineare che permetta di ‘recuperare’ lo shot.

La figura 3.1 e un’analisi dettagliata dell’eq. 3.3 confermano quanto esposto. Pi`u precisa-mente, essa prevede un distacco dal rumore termico per una corrente

I₁ ≥ (L/L_D)^4/3I_R (3.7)

e una transizione al rumore shot con una dipendenza cubica dalla corrente. Per correnti che soddisfano la precedente eq. 3.6 si in regime di rumore shot. E’ da notare che la transizione anomala superlineare `e un tratto caratteristico molto importante perch´e, a nostra conoscenza, non `e prevista da altre teorie.

Nella figura 3.2 `e indicato per una resistenza da 1 MΩ posta a temperatura ambiente il tipo di rumore misurabile (termico, shot o nella regione di transizione) in funzione del rapporto L/L<sub>D</sub> e della corrente di polarizzazione. Per correnti inferiori a V<sub>th</sub>/R = 50 nA si ha sempre rumore termico. Per correnti maggiori si pu`o avere rumore in shot solo con rapporti L/L_D sufficientemente piccoli. Per esempio, con un fattore L/L_D = 200 la corrente nel resistore per misurare rumore shot deve essere maggiore di 2 mA corrispondente a tensioni maggiori di 2000 V. Nelle resistenze normalmente utilizzate il rapporto L/L_D `e spesso dell’ordine di qualche migliaia e il rumore shot si manifesta solamente a correnti e campi elettrici cos`ı elevati da essere spesso inaccessibili sperimentalmente.

CAPITOLO 3 RUMORE SHOT NEI CONDUTTORI DIFFUSIVI MACROSCOPICI 3.3

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

10n 100n 1µ 10µ 100µ 1m 10m

Transizionecubica

Rumore Shot

Rumore Termico

Corren te [ A ]

L/L

Figura 3.2: Il grafico mostra per una resistenza da 1 MΩ (T = 300 K) il tipo di rumore misurato in funzione del rapporto L/LDe della corrente circolante in essa.

E’ utile considerare qualche altro esempio numerico. Con una resistenza di silicio drogato n = 10¹⁶cm⁻³e di lunghezza di 10 µm, si ottiene una lunghezza di Debye di 40 nm e un L/L_D di 253. Il valore di campo elettrico per cui si ha uno scostamento dal rumore termico `e di circa 40 kV/cm. Per valori cos`ı elevati di campo vengono introdotti altri effetti (saturazione della velocit`a, elettroni caldi e in genere una forte componente di rumore 1/f ) che possono impedire la misura sperimentale del rumore shot. E’ per`o sufficiente considerare materiali meno drogati per ottenere condizioni sperimentali accessibili. Per esempio con n = 10¹³cm⁻³ si ottiene un rapporto L/L_D di 8 e un rumore shot non soppresso per campi elettrici maggiori di 1.6 kV/cm, decisamente accessibile sperimentalmente.

La teoria appena presentata `e stata recentemente estesa [32] al caso di contatti iniettanti che determinano una concentrazione n<sub>c</sub>di portatori al contatto maggiore della concentrazione N<sub>b</sub> di bulk del conduttore. L’analisi diventa molto pi`u complicata e non si pu`o risolvere analiticamente in forma chiusa. La caratteristica I-V presenta ora un primo tratto lineare, poi una regione in cui la corrente mostra una dipendenza quadratica dalla tensione applicata (legge di Mott-Gurney [56]) per poi ritornare lineare ad alte tensioni. Anche l’andamento del rumore al variare della corrente diventa pi`u complesso ma vengono confermate tutte le peculiari caratteristiche presentate per il caso pi`u semplice: rumore shot ad alte correnti e una transizione superlineare da termico a shot.

E’ infine da sottolineare che l’insorgere del rumore shot previsto dalla teoria presentata

`e dovuto solamente al moto diffusivo dei portatori all’interno del conduttore, mostrando la natura fondamentale di questo tipo di rumore nei dispositivi elettronici.