Il sistema progettato e descritto sommariamente al paragrafo precedente `e stato realizzato e collaudato a temperatura ambiente e criogenica. Nella figura 6.7 sono riportati, a titolo d’e-sempio, i risultati preliminari ottenuti su un transistore p-MOS polarizzato in zona ohmica con una corrente di drain di 28.8 µA (|VGS| = 1.2 V, |VDS| = 0.4 V), mantenuto alla temperatura di 20 K. La potenza della microonda incidente sul transistore era di 40 mW con una frequenza ν = 9.5 GHz.
Nella figura sono rappresentati i valori medi dei tempi di cattura (a) e di emissione (b) al variare del campo magnetico applicato. La durata di una misura per ciascun valore di campo magnetico `e stato di tre minuti a cui corrispondono, per la trappola analizzata, circa 106 transizioni del rumore RTS. L’analisi dei dati ha richiesto anch’essa circa tre minuti. Le variazioni delle costanti di tempo al cambiare del campo magnetico, e quindi al passare del tempo, sono solo in parte attribuibili alla fluttuazione statistica della loro stima. E’ stato riscontrato, infatti, un problema accidentale con il contenitore di elio liquido utilizzato per il criostato che non ha permesso di mantenere perfettamente costante la temperatura durante il collaudo del sistema di misura realizzato (a temperatura ambiente il problema non era presente).
Questi primi esperimenti hanno comunque permesso di verificare il corretto funzionamento di tutta la parte elettronica e di elaborazione del segnale. I tempi ridotti necessari per acquisire ed analizzare un numero elevato di transizioni rende fattibile la ricerca dell’effetto della riso-nanza elettronica sui tempi caratteristici del rumore telegrafico del transistore MOS anche se l’effetto fosse cos`ı piccolo come previsto dal modello teorico semplice presentato al par. 6.3.2.
L’algoritmo di elaborazione in dettaglio
In questa appendice `e riportata un’analisi pi`u dettagliata dell’algoritmo di elaborazione uti-lizzato dall’anauti-lizzatore di spettro digitale a correlazione presentato al capitolo 2 e della sensibilit`a dello strumento in funzione del tempo di misura.
Se consideriamo un analizzatore di spettro a correlazione ideale, i segnali dei due canali dopo il campionamento possono essere espressi, indipendentemente dal front-end utilizzato, nella seguente forma:
v1(n) = s(n) + w1(n)
v2(n) = s(n) + w2(n) (A.1)
in cui s(n) `e il segnale proveniente dal DUT (a meno di un fattore di guadagno, ininfluente per l’analisi che svolgeremo) presente in entrambi i canali, w1(n) il rumore introdotto dal primo canale presente, idealmente, solo su di esso, e w2(n) l’analogo rumore del secondo canale. L’unica ipotesi richiesta `e l’incorrelazione tra queste tre grandezze. Per semplicit`a di notazione lavoreremo senza considerare il periodo di campionamento, Tc, per cui tutte le frequenze si intendono normalizzate tra 0 e 1, con f = 1 corrispondente alla frequenza di campionamento fc.
La densit`a spettrale di potenza di s(n), Ss, `e per definizione la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione, rs(τ ) [77]:
Ss(f ) = F {rs(τ )} =
+∞X
τ =−∞
rs(τ )e−j2πf τ (A.2)
La funzione di autocorrelazione del segnale s(n) pu`o essere facilmente ricavata dalla cross-correlazione tra v1 e v2, grazie all’incorrelazione tra i rumori e il segnale:
rv1v2(τ ) = E [v2(n)v1(n + τ )] = E [(s(n) + w2(n)) (s(n + τ ) + w1(n + τ ))] =
= rs(τ ) + ms(mw1+ mw2) + mw1mw2 (A.3) dove ms, mw1 e mw2 rappresentano, rispettivamente, i valori medi di s(n), w1(n) e w2(n). Ai fini del calcolo della densit`a spettrale di potenza il termine costante generato dai valori medi pu`o essere ignorato perch´e fornisce unicamente un contributo alla frequenza zero, nel nostro caso di nessun interesse. Nel seguito possiamo quindi assumere rs(τ ) = rv1v2(τ ) senza perdita di generalit`a.
Nella pratica, possiamo trattare con una singola realizzazione dei processi casuali che governano i segnali v1(n) e v2(n), e non `e quindi possibile conoscere esattamente la loro
APPENDICE A L’ALGORITMO DI ELABORAZIONE IN DETTAGLIO A.0
funzione di cross-correlazione. Possiamo per`o stimarla sostituendo all’operatore di media statistica, E [·], la media temporale sugli N campioni in nostro possesso:
˜
La corrispondente stima della densit`a spettrale di potenza `e perci`o S˜s(f ) = F {˜rv1v2(τ )} =
Le trasformate V1(f ) e V2(f ) sono calcolate a partire da un numero finito di campioni, per cui possono essere sostituite dalle corrispondenti DFT. Otteniamo cos`ı la stima in una forma algoritmicamente efficiente:
S˜s(fk) = 1
NV1(fk)V2∗(fk) (A.6)
dove fk= k/N rappresenta la frequenza discreta in cui si calcolano le DFT.
L’espressione cos`ı ottenuta `e semplicemente una modifica del ben conosciuto metodo del periodogramma [77, 78] che stima la densit`a spettrale di potenza di un segnale x mediante il modulo quadro della sua trasformata, |X|2= XX∗.
Siccome ˜Ss(f ) `e stata ottenuta indirettamente mediante una stima della funzione di auto-correlazione, `e importante assicurarci che questa procedura fornisca una stima corretta della densit`a spettrale di potenza del DUT. A questo scopo possiamo calcolarne il valore medio, sostituendo a V1(f ) e V2(f ) le trasformate che si ottengono dall’equazione A.1:
S˜s(f ) = 1 Calcolandone il valore medio si ha:
E L’unico termine non nullo `e il primo, tutti gli altri sono nulli (per f 6= 0) grazie all’incorrela-zione tra S, W1 e W21.
Il primo termine `e il valore medio del periodogramma del segnale s(n) che si pu`o dimo-strare [77] essere pari a: Non deve stupire la modulazione che subisce Ss perch´e `e frutto solamente del fatto che stiamo trattando sequenze di campioni di lunghezza finita. Avendo infatti a disposizione il segnale per un tempo finito N T , `e intuitivo che risulta impossibile, in generale, poter estrarre informazione su andamenti di durata pi`u lunga di N T . Questa limitazione produce una
1Si ricorda che se i segnali nel tempo s(t), w1(t) e w2(t) sono incorrelati, allora anche le loro trasformate lo sono in quanto semplici combinazioni lineari dei rispettivi segnali. Inoltre, anche se i segnali nel tempo sono a media non nulla, i valori della DFT rimangono a media nulla per f 6= 0; la trasformata per f = 0 non la considereremo mai perch´e racchiude in s´e solamente l’informazione sulla continua che risulta influenzata dagli offset dei front-end.
sorta di sfuocamento dello spettro che impedisce di apprezzare i dettagli con una risoluzione in frequenza migliore di 1/N T . Matematicamente ci`o si traduce appunto nella convoluzione dello spettro vero con un seno cardinale al quadrato (periodico perch´e stiamo trattando segnali campionati).
Al crescere del numero di campioni usati, N , il seno cardinale si avvicina sempre pi`u a una delta di Dirac, la cui convoluzione lascia inalterato lo spettro. Possiamo quindi considerare l’eq. A.6 una stima corretta perch´e permette di ottenere lo spettro ricercato quando si hanno a disposizione infiniti campioni.
La stima ˜Ss `e in generale un quantit`a complessa, e ci si pu`o chiedere se sia meglio pren-derne la parte reale o il modulo per renderla reale, come ovviamente deve essere una densit`a spettrale di potenza. Se consideriamo l’espressione della stima scritta nell’eq. A.7 `e immediato constatare che la parte che interessa, |S|2, `e puramente reale. Viceversa, i termini incorrelati restanti, dovuti ai rumori strumentali, sono il prodotto di numeri complessi senza nessuna relazione tra loro e perci`o, in generale, saranno ancora complessi. E’ quindi conveniente pren-dere la sola parte reale della stima ˜Ss in maniera tale da eliminare completamente la parte immaginaria che a priori sappiamo non contenere informazione utile sullo spettro del segnale proveniente dal DUT.
Visto in altro modo, `e possibile associare alla parte reale della stima ˜Ss l’informazione sulle componenti in fase di v1 e v2 mentre alla parte immaginaria `e attribuibile le componenti in quadratura (si pensi, per esempio, al caso in cui su v1 `e presente una sinusoide e su v2 la stessa sinusoide in quadratura; `e facile rendersi conto che in questo caso il loro cross-spettro `e puramente immaginario); siccome il segnale s(n) `e in fase nei due canali dobbiamo prendere la sola parte reale dell’eq. A.6.
La stima ˜Ss utilizza gli N campioni disponibili per ottenere la massima risoluzione in frequenza ma non esegue alcunch´e per ridurre i contributi incorrelati. A questo scopo, per migliorare la stima in termini di varianza si deve ripetere lo stesso procedimento su blocchi differenti di campioni e poi mediare, frequenza per frequenza, le differenti stime cos`ı ottenute.
Questo riduce l’effetto dei termini incorrelati perch´e questi sono a media nulla.
Avendo a disposizione Nb blocchi di N campioni la densit`a spettrale di potenza pu`o dunque essere meglio stimata come segue: dove V1,i e V2,isono le trasformate dei due canali per l’i − esimo blocco di campioni acquisito.
A.1 Interpretazione vettoriale
La stima della densit`a spettrale di potenza fornita dalla parte reale dell’eq. A.6, pu`o essere riscritta mettendo in evidenza il modulo e la fase delle trasformate V1(f ) e V2(f ):
S˜s(fk) = 1 E’ interessante reinterpretare la formula ottenuta in termini di vettori. Possiamo infatti asso-ciare ai numeri complessi V1(fk) e V2(fk) due vettori nel piano di Gauss che rappresentano i fasori delle sinusoidi di frequenza fk che compongono i segnali v1(t) e v2(t)2.
Nella figura A.1 `e rappresentato schematicamente, mediante i vettori, il funzionamento dello strumento.
2Il fasore corretto `e V (fk)/N ma possiamo per`o ignorare il fattore N perch´e costante e uguale per tutti i fasori.
APPENDICE A L’ALGORITMO DI ELABORAZIONE IN DETTAGLIO A.2
a) b) c)
Figura A.1: Rappresentazione schematica dei vettori che rappresentano il segnale sul canale 1 (a), sul canale 2 (b) e dopo la loro moltiplicazione (c).
In a e b sono rappresentati i fasori di V1 e V2 scomposti nella somma del segnale con il rumore strumentale; in c sono riportati i vettori dopo aver applicato l’eq. A.6. Il vettore S, essendo presente in entrambi i canali con la medesima fase, fornisce un vettore puramente reale pari a |S|2; i rumori incorrelati, al contrario, producono vettori di fase completamente casuale.
Quando sommiamo i vettori ottenuti dalle Nbstime per eseguirne la media (eq. A.10), la parte composta da |S|2`e di fase costante (nulla) e si rafforza mediante questo processo (il suo valore medio aumenta di Nb), mentre la seconda parte del vettore, data dai rumori incorrelati, si sommano con fase casuale, in modo meno efficiente (il modulo cresce solo con la radice di Nb, come vedremo in seguito); dividendo la somma per Nb per farne la media abbiamo che i rumori incorrelati diminuiscono con un fattore √
Nb.
E’ interessante osservare che l’eq. A.11 rappresenta il prodotto scalare tra i due fasori associati ai canali dello strumento. L’interpretazione vettoriale evidenzia bene le due categorie di segnali che si elidono grazie alla correlazione. La prima, utilizzata fino a questo momento, `e rappresentata dai rumori presenti in un unico canale e indipendenti da quelli presenti nell’altro canale; questi termini sono annullati o, meglio, ridotti dal processo di media.
La seconda categoria, `e costituita dai segnali presenti in entrambi i canali ma con fasi differenti di ±90◦. Applicando il prodotto scalare tra questi fasori ortogonali otteniamo un risultato identicamente nullo anche se questi segnali hanno un’origine fisica comune.
Si pu`o infine osservare che se si prendesse il modulo dall’eq. A.6 anzich´e la parte reale, non potremmo pi`u parlare di prodotto scalare tra i vettori perch´e perdiamo l’informazione sulla differenza di fase; come conseguenza la seconda categoria di segnali non sarebbe pi`u eliminata.
Inoltre, la stima sarebbe affetta da una incertezza maggiore perch´e il vettore rappresentante lo spettro del DUT si confronterebbe con il modulo del vettore dei rumori incorrelati anzich´e con la sola sua proiezione sull’asse reale.