La dimensione dei portafogli

Il problema della gestione della struttura di dipendenza per portafogli di grandi dimensioni sussisteva già con l’applicazione di Markowitz. Per superare tale proble- ma, è possibile adottare un certo numero di approcci alternativi; tuttavia, la prassi

4.2 Approccio default mode 95

certamente più utilizzata consiste nell’adottare un approccio di tipo fattoriale6 che consente una drastica riduzione del numero di parametri da stimare. Infatti, ciò è pos- sibile se, oltre ad introdurre la rappresentazione biunivoca in termini continui delle variabili bernoulliane, si identifica un modello fattoriale per ogni singola distribuzione dei rendimenti univariata. Analiticamente:

y = xβ +   ∼ iid WN0, σ2In



con

E[] = 0,

Var()= E[0]= σ2In= Σ.

Praticamente, procedendo in questo modo, si riesce ad aggirare il problema del numero di coefficienti da stimare e delle dimensioni eccessive assunte dalla matrice di correlazione. Infatti, poiché le variabili Yidipendono dal medesimo fattore sistematico

X, non è più necessario porsi il problema di procedere alla stima della matrice di corre- lazione. Ciò che si rende realmente necessaria è la stima di n modelli fattoriali, ovvero quei modelli che fanno dipendere i rendimenti delle controparti in funzione k fattori sistematici. In questo modo si può conoscere la correlazione tra le variabili endogene Yiosservando il modo con cui rispondo a variazioni delle variabili esogene X del mo-

dello. Procedendo secondo tali modalità, è possibile ridurre i parametri da n(n − 1)/2 valori a solamente n × k dati, ovvero iβi,jdi ogni controparte. Più in particolare, se i

β sono dello stesso segno, le controparti risultano correlate positivamente; contraria- mente, qualora essi siano di segno opposto, le controparti risulteranno negativamente correlate. L’intensità della struttura di dipendenza, ovvero l’entità della correlazione, dipende dalla volatilità del fattore idiosincraticoi: maggiore è tale volatilità, più le

caratteristiche peculiari della singola controparte influiscono sul movimento determi- nato dal fattore congiunto. Infatti, è possibile che l’effetto della stima dei parametri βiX

del modello sia completamente alterata dall’influenza della componente idiosincratica i. L’approccio fattoriale, oltre ad avere il vantaggio di rendere stimabile e applicabile

il modello, permette anche di rendere meglio interpretabile la natura e le cause della dipendenza. Operativamente, è possibile procedere nel seguente modo:

a) si osserva la realizzazione dei fattori X ottenendo così una realizzazioneβ_i,jXiper

ogni Yj;

b) si aggiunge aβi,jXila realizzazione della componente idiosincraticaj.

6_{Il modello fattoriale più semplice e più noto è il capm (cfr. Sharpe [93]), in cui la variabile endogena}

è rappresentata dal rendimento di un asset. Le variabili esogene del modello sono invece rappresentate da: il risk free rate, ilβi, il rendimento di mercato e il termine di errorei. Nella formulazione del modello

ri= αi+βiX+idi particolare interesse è il termine di erroreiche rappresenta la componente idiosincratica

del modello, ovvero la variabile che spiega le variazioni di rinon spiegate daβiX, che rappresentano la

96 4. Esposizione individuale e di portafoglio

Posto che il segno della correlazione è data dal segno dei coefficienti stimati ˆβi,j, se la

varianza della componente idiosicratica è ridotta, è possibile inferire una correlazione elevata poiché vi è uno scostamento ridotto dalla realizzazione del fattore sistematico. Da ciò se ne deduce che, in caso di realizzazioni positive, tendenzialmente tutte le controparti rimarranno solventi; mentre, in caso di realizzazioni negative, le stesse si riveleranno tendenzialmente insolventi all’unisono. Contrariamente, in caso di elevati valori dii, le controparti tenderanno ad essere scarsamente correlate.

Dunque, si è detto che i meriti creditizi delle controparti sono tra loro dipendenti e che la natura di tale dipendenza è spiegata da uno o più fattori comuni. Qualora tale fattore sia rappresentato dal mercato di riferimento, nei periodi di recessione sarà più probabile ottenere realizzazioni diβiX

∗

negative; viceversa, nei periodi di espan- sione, sarà più probabile ottenere realizzazioni positive. Se, invece, le controparti dovessero appartenere a settori diversificati, si assisterà a realizzazioni di Yi = ˆβiXi e

ad una di Y∗_m = ˆβmX∗m. Tale aspetto è particolarmente rilevante qualora si osservino

le conseguenze dell’inserimento di controparti attive in settori di mercato anticiclici in un portafoglio di esposizioni verso controparti operanti in settori ciclici: l’effetto complessivo è quello di diminuire la volatilità del portafoglio che, in questo modo, può assorbire una quantità inferiore di capitale.

Con riferimento alle controparti quotate, è possibile stimare i modelli fattoriali a partire dai dati relativi agli indici di Borsa settoriali. Anche in questo caso la forma della dipendenza deve accompagnarsi al problema della dimensione dei portafogli e del numero di parametri da stimare. Da questo punto di vista si è detto che l’ap- proccio fattoriale rappresenta una delle possibili soluzioni al problema. Come visto in precedenza, dal momento che non ci si limita ad esplicitare correlazioni tra le distribu- zioni dei rendimenti, è possibile individuare la metodologia che consente di risolvere i problemi di stima relativi alle controparti non quotate. Per quanto riguarda i dati disponibili, per queste ultime controparti si conoscono i fattori sistematici. Quest’ulti- mi, infatti, possono essere rappresentati da indicatori prodotti dall’istat e dalla Banca d’Italia che permettono di applicare la stessa metodologia originariamente prevista per le sole controparti quotate.

E’ bene ricordare che il fine che ci si è posti è quello di determinare analiticamente la distribuzione di perdita a livello di portafoglio. Per fare ciò, è necessario partire dal presupposto che ogni istituzione finanziaria intrattiene rapporti con un numero estremamente alto di controparti attraverso un numero molto elevato di strumenti. Ciò significa che la struttura della distribuzione di portafoglio non può che essere molto complessa e, di fatto, non stimabile. Per tale ragione l’approccio analitico che si adotta

4.2 Approccio default mode 97

è rappresentato dalle simulazioni Montecarlo, ovvero un processo di campionamento eseguito da un calcolatore applicabile quando non si conoscono formulazioni analitiche della variabile casuale di interesse. In altri termini, procedendo nel modo descritto, si ottiene empiricamente la distribuzione della variabile oggetto di studio attraverso un campionamento casuale da tutte le variabili che concorrono a determinare la v.c. P&L di portafoglio. Più in particolare, assumendo di avere un prodotto per ogni controparte, il processo si articola come segue:

a) Si identifica il vettore dei fattori comuni X.

b) Si stima la struttura di dipendenza del portafoglio attraverso modelli fattoriali. c) Si stima la pd di tutte le controparti attraverso i modelli già discussi. Più in

particolare, per costruire la distribuzione congiunta dei meriti creditizi si opera un campionamento casuale dal vettore X ottenendo un vettore di realizzazioni di X e si simulano le componenti idiosincratiche; ciò permette, non solo di generare una realizzazione di Yi, ma anche di verificare la solvibilità di ogni controparte

sulla base del valore-soglia S.

d) Attraverso le tecniche di mixture si combinano le tre componenti del rischio di credito al fine di ottenere una distribuzione di perdita. Tale processo viene svolto attraverso la simulazione Montecarlo e si articola in due fasi:

i. simulazione della v.c. bernoulliana in modo tale che, se si simula l’evento 0, si avrà una perdita pari a 0 e, se si simula l’evento 1, la controparte è in default e occorre procedere a simulare il Recovery Rate;

ii. simulazione del Recovery Rate ottenendo, mediante la formula lgd = (1 − rr) · ead (cfr. Equazione4.1), la corrispondente realizzazione della perdita della singola esposizione.

Dunque, si è definita la struttura della loss distribution individuali e, ora, è possibi- le ottenere la distribuzione di portafoglio semplicemente come sommatoria delle loss distribution di ogni singola esposizione. Reiterando tale procedimento per un nume- ro molto elevato di volte, si ottiene una serie di realizzazioni della distribuzione di perdita a livello di portafoglio. A questo punto è possibile analizzare unicamente le perdite registrate poiché, l’approccio fattoriale, consente di tenere conto della strut- tura di dipendenza che sussiste tra le esposizioni. Dalla loss distribution ottenuta è possibile calcolare le Expected Loss di portafoglio come sommatoria delle Expected Loss marginali. nonché il valore delle Unexpected Loss complessive. Dai dati così determi- nati, in aggiunta, è possibile determinare la quantità di capitale economico assorbito a livello di portafoglio, nonché le misure di contributo al rischio. Ciò, da ultimo, permet- te di determinare il costo del capitale e di calcolare le misure di rendimento risk adjusted.

98 4. Esposizione individuale e di portafoglio

Non essendo data la possibilità di esplicitare la forma distributiva, risulta di fatto impossibile procedere alla determinazione in forma chiusa delle loss distribution in- dividuali e di portafoglio: ciò spiega la ragione per la quale si procede attraverso la simulazione Montecarlo che, appunto, rappresenta un modo di affrontare il problema in termini numerici. Infine, data la sommatoria delle distribuzioni di perdita indi- viduali, ovvero la distribuzione di perdita di portafoglio, è possibile interpretare in termini di contributo al rischio rischio l’Unexpected Loss al fine ultimo di prezzare in termini risk adjusted gli strumenti che compongono il portafoglio.