Il Teorema di Eulero

L’applicazione del Teorema di Eulero rappresenta il metodo di stima formalmente più evoluto per i problemi di capital allocation e si basa sulle proprietà delle funzioni linearmente omogenee.

Definizione 7.3.2 (Funzione omogenea). Si definisce funzione omogenea di grado k la generica funzione f (x1, x2. . . xn) definita su un cono di Rn tale che ∀c, k ∈ R e

∀(x1, x2. . . xn) soddisfa la seguente uguaglianza:

f (cx1, cx2. . . cxn)= ckf (x1, x2. . . xn). (7.20)

Definizione 7.3.3(Funzione positivamente omogenea). Si definisce funzione positivamen- te omogenea di grado k la generica funzione f (x1, x2. . . xn) definita su un cono di Rn

tale che ∀c> 0, k ∈ R e ∀(x1, x2. . . xn) soddisfa la seguente uguaglianza:

f (cx1, cx2. . . cxn)= ckf (x1, x2. . . xn). (7.21)

Definizione 7.3.4(Funzione linearmente omogenea). Si definisce funzione linearmente omogenea una funzione positivamente omogenea di grado K= 1, ovvero la generica funzione f (x1, x2. . . xn) definita su un cono di Rntale che ∀k ∈ R, (x1, x2. . . xn) soddisfa

la seguente uguaglianza:

f (cx1, cx2. . . cxn)= c f (x1, x2. . . xn). (7.22)

Proposizione 7.3.1(Caratteristiche delle misure di rischio). Le misure di rischio adottate degli intermediari creditizi sono linearmente omogenee, poiché se così non fosse le misure di rischio sarebbero, ad esempio, sensibili alla valuta in cui è denominato il portafoglio.

A partire dalla Definizione7.3.4dalla Proposizione7.3.1, è possibile scrivere che:

VaR(cx)= cVaR(x), (7.23)

con x= x1, x2. . . xn.

Teorema 7.3.2(Teorema di Eulero). Se f (x1, x2. . . xn) : A −→ R è una funzione derivabile

su un cono aperto A ⊂ Rn, la funzione f (x1, x2. . . xn) è una funzione omogenea di

grado k in A se e solo se l’identità di Eulero è verificata:

n X i=1 ∂ f ∂xi xi = k f (x1, x2. . . xn), ∀xi ∈ A. (7.24)

7.3 Strumenti quantitativi per le decisioni di capital allocation 169

L’Equazione7.24, con k= 1, è riscrivibile più semplicemente come: f (x)= n X i=1 xif 0 xi(x). (7.25)

Conseguentemente, a partire dalle Equazioni 7.23 e 7.25, supponendo di poter determinare analiticamente le derivate parziale della funzione che determina il VaR, si ha che: ec= VaR(x) = n X i=1 xiVaR 0 (x), (7.26)

da cui è possibile ottenere la formulazione del capitale economico diversificato della i-esima unità di business, ovvero:

dec_i= x_iVaR0

i(x). (7.27)

Le Equazioni 7.26 e 7.27 scontano l’assunzione che ogni divisione dell’interme- diario gestisca un’unica posizione di rischio. Tali equazioni, tuttavia, possono essere agevolmente estese al caso in cui le unità di business gestiscano un sotto-portafoglio del portafoglio complessivo dell’intermediario. Secondo questo approccio più realistico, si ha che: ec= VaR(x) = n X i=1 m<n X j∈i x_i,jVaR0_j(x), (7.28) dec_i= m<n X j∈i x_i,jVaR0_j(x). (7.29)

La quantità deci definita dall’Equazione 7.29 è meglio nota come incremental-VaR

(I-Var)(cfr. Mina e Xsiao [78]). Quest’ultimo è approssimativamente pari al component- VaR e, in modo del tutto coerente con gli obiettivi della presente Sezione, rappresenta l’incremento di capitale economico dovuto all’effetto del sotto-portafoglio della i-esima unità di business.

Proseguendo oltre, assumendo che le unità di business detengano un solo asset rischioso, sulla base dei risultati ottenuti nella Sezione 2.2 e nell’Appendice A (ed, in particolar modo, con l’Equazione A.6), sotto l’assunzione di perdite distribuite normalmente, è possibile scrivere che:

VaR(x)= σLΦ−1(α) =

q 

x0Σx Φ−1_{(α). (7.30)}

170 7. Capital allocation VaR(x) si ottiene: VaR0_i(x)= Φ−1(α) 1 2σ2 m X j xjσi,j. (7.31)

Inoltre, poiché la quantità xiPmj xjσi,jè la covarianza tra perdite della i-esima unità

di business e le perdite complessive (L), l’Equazione7.31diventa:

VaR0_i(x)= Φ−1(α)ρi,L xi σi,

(7.32) da cui, vista anche l’Equazione 7.27, è possibile ottenere la formulazione del ca- pitale economico diversificato marginale sotto l’ipotesi di perdite distribuite in modo normale:

dec_i = x_iVaR0

i(x)= Φ−1(α)ρi,Lσi. (7.33)

Procedendo per sostituzione dell’EquazioneA.6, infine, si ha che:

dec_i= x_iVaR0

i(x)= eciρi,L, (7.34)

in cui eciè il capitale economico stand-alone assorbito dall’i-esima unità di business.

Quest’ultimo risultato, ribadendo l’ipotesi di normalità distributiva sulle perdite, è il medesimo di quello ottenuto attraverso il metodo basato sulle correlazioni (cfr. Equa- zione7.9), purchéκ = κi = Φ−1(α), ∀i.

Infine, con riferimento alle modalità di impiego di tale approccio, è possibile avan- zare le medesime conclusioni riportate con riferimento al metodo basato sulle corre- lazioni poiché si è visto che quest’ultimo rappresenta un caso generale del metodo qui oggetto di analisi. L’unica differenza riguarda il requisito della subadditività. Si è visto, infatti, che il metodo basato sulle correlazioni rispetta tale requisito solamente attraverso l’artificio di cui si è detto; il metodo basato sull’applicazione del Teorema di Eulero, invece, assicura la subadditività senza ulteriori aggiustamenti. A conferma di conclusione, è sufficiente osservare le Equazioni7.26e7.27da cui si evince che:

VaRi(x)= n

X

i=1

Capitolo 8

Credit Risk Mitigation - crm

8.1

Aspetti generali

Il rischio di credito è il rischio a cui è dovuta il maggior assorbimento di capitale regolamentare in banca. Ne deriva che alla possibilità di mitigare tale rischio consegue una maggior capacità della banca di erogare credito a parità di requisito patrimoniale, nonché di porre in essere un’attività di pianificazione strategica che possa indirizzare il business della banca verso obiettivi oggettivamente praticabili e auspicabili non solo dal punto di vista gestionale, ma anche regolamentare (cfr. processo icaap-srep). In altri termini, è possibile affermare che una corretta gestione e misurazione del rischio di credito attuale e prospettico costituisce una delle maggiori obiettivi per le banca commerciali.

Le tecniche di mitigazione del rischio di credito (Credit Risk Mitigation - crm) sono state introdotte da Basile II e indicano le tecniche (strumenti o garanzie) considerati dalla normativa regolamentare idonei al presidio del rischio di credito1_{. Da questo} punto di vista la norma ricopre un ruolo di assoluto rilievo poiché definisce le carat- teristiche ed i requisiti che tali strumenti devono soddisfare per poter rientrare nella categoria delle Credit Risk Mitigation e, quindi, abbattere il requisito patrimoniale mi- nimo richiesto dalla normativa di vigilanza. Da un altro punto di vista, le crm sono contratti accessori al credito o altri strumenti che determinano una riduzione del ri- schio di credito dell’intermediario, riconosciuta nel calcolo del requisito di vigilanza.

Occorre, tuttavia precisare che le crm non riducono il rischio di credito in quanto tale ma, piuttosto, riducono l’esposizione al rischio per il creditore. In altri termini, le

1_{I riferimenti normativi sono rappresentati dalla Parte II, Capitolo 5, Circ. n. 285/2013 "disposizioni di}

vigilanza per le banche" (cfr. Banca d’Italia [18]) che rinvia alle fonti normative che regolano la materia, tra cui la Parte tre, Titolo II, Capo 4, Reg. (ue) n. 575/2013 in materia di "requisiti prudenziali per gli enti creditizi e le imprese di investimento" (cfr. Parlamento europeo [86]).

172 8. Credit Risk Mitigation

crmnon impattano sulla default probability della controparte, ma sono idonee ad au- mentare il recovery rate, ovvero l’ammontare recuperabile di una posizione di rischio in default. Conseguentemente, tale risultato non può che impattare sulla stima della lgd e sulla distribuzione delle perdite, a partire dalla quale si determinano poi le Expected Losses e le Unexpected Losses. Ne consegue che le crm rappresentino degli elementi rilevanti nella stima della lgd, dell’assorbimento patrimoniale per l’intermediario il quale, alla fine, impatta sulla risk-taking capacity, ovvero sulla capacità della banca di assumere posizioni di rischio ulteriori2. Pertanto, gli intermediari non dovrebbero va- lutare una determinata esposizione prevalentemente sulla base delle garanzie fornite dalla controparte. Infatti, la valutazione del merito creditizio deve considerarsi impre- scindibile e dovrebbe rappresentare l’analisi che pesa maggiormente sulle decisioni di affidamento. A parere di chi scrive, infatti, dare un peso eccessivo alle crm nel proces- so di affidamento aumenta la componente di rischio sistematico cui l’intermediario si espone, ovvero il rischio di diminuzione del valore delle garanzie con la conseguenza di aumentare l’esposizione nei confronti della totalità delle posizioni assistite dallo stesso strumento o garanzia.

Ritornando alle crm, è possibile affermare che esse siano composte da garanzie eligibili, così come definite dal Regolamento crr, fungono da tecniche di mitigazione del rischio. Ne deriva che una garanzia che non rispetta i requisiti prudenziali per essere considerata una crm non rilevi ai fini di vigilanza, ovvero non consenta di ab- battere il requisito patrimoniale. Tuttavia, non può dirsi che una garanzia non eligibile non abbia alcun valore nell’ambito del processo di affidamento. Infatti, pur se non rilevante a fini di vigilanza, una garanzia ha comunque degli effetti per il creditore che, dal punto di vista giuridico, non possono essere ignorati e possono concorrere alla formulazione di una decisione di affidamento. Chiaramente, però, la non eligibilità della garanzia comporta un maggior assorbimento patrimoniale rispetto ad una ga- ranzia eligibile ripercuotendosi sulle decisioni di pricing e di convenienza economica per l’intermediario creditizio3.

Per le diverse tecniche di crm sono previsti requisiti di ammissibilità di carattere sia generale sia specifico; essi devono essere posseduti al momento di costituzione della garanzia e per tutta la durata della stessa. I requisiti generali, diretti ad assicurare la certezza giuridica e l’effettività delle garanzie, sono regolati a norma dell’Art. 194 Reg. (ue) n. 575/2013 e riguardano:

a) il carattere vincolante dell’impegno giuridico tra le parti e l’azionabilità in giu- dizio;

2_{Per maggiori approfondimenti vedere Sezione7.2.} 3_{Per maggiori approfondimenti vedere Capitolo6.}

8.1 Aspetti generali 173

b) la documentabilità a fini probatori;

c) l’opponibilità dello strumento ai terzi in tutte le giurisdizioni rilevanti ai fini della costituzione e dell’escussione;

d) la liquidità, ovvero la tempestività di realizzo in caso di inadempimento della controparte;

e) la trasparenza informativa.

Come risulta evidente, si tratta di requisiti finalizzati a garantire che le garan- zie prestate siano prontamente liquidabili in caso di insolvenza della controparte e, contemporaneamente, a ridurre per quanto possibile l’lgd salvaguardando l’integrità economica, patrimoniale e finanziaria dell’intermediario.

Specifici requisiti sono dettati per le singole forme di crm in relazione alle caratte- ristiche delle stesse e sono finalizzati ad assicurare un elevato livello di effettività della protezione del credito.

L’adozione delle tecniche di crm è consentita indistintamente a tutte le banche, indipendentemente dal metodo per il calcolo dei requisiti patrimoniali adottato per il rischio di credito. Le tecniche riconosciute sono suddivise in due categorie generali:

a) la protezione del credito di tipo reale rappresentate da diritti reali su beni di terzi (cfr. Sezione8.2),

b) la protezione del credito di tipo personale (cfr. Sezione8.3).

Le modalità di calcolo variano in ragione dello strumento utilizzato e del metodo seguito dalla banca per il calcolo dei requisiti patrimoniali. Nel corso della trattazio- ne, si farà sempre riferimento alla metodologia richiesta dal metodo standardizzato che, in linea di principio, prevede il calcolo di un fattore di ponderazione sulla base delle caratteristiche della garanzia da applicare al valore dell’esposizione al fine di determinare il Risk-Weighted Asset (rwa), il quale rappresenta la base di calcolo per il requisito patrimoniale richiesto a fronte dell’esposizione. In modo più formale, il metodo standardizzato può essere così rappresentato:

Requisito patrimoniale richiesto= ($iVei) · 8%= rwa · 8% (8.1)

in cui $i è il coefficiente ponderale dell’esposizione i-esima e Vei il valore della

174 8. Credit Risk Mitigation