Le correlazioni

Le affermazioni riportate nella Sezione5.2.3.1, sono valide per le posizioni di rischio singolarmente considerate. Infatti, qualora si voglia ragionare in termini di portafo- glio di esposizioni creditizie, è necessario porsi il problema di stimare la struttura delle correlazioni tra i il merito creditizio dell controparti. In generale, per quanto riguarda tale aspetto, si pongono una serie di problematiche relative al numero di coefficienti da stimare e al metodo da adottare per la stima. Tali aspetti sono senza dubbio connessi poiché esigenze relative alla disponibilità di capacità di calcolo richiedono, per quan- to possibile, il contenimento dello sforzo computazionale, mentre esigenze connesse

9_{Alcuni approcci e modelli di stima del recovery rate, e quindi della loss given default, sono stati presentati}

nella Sezione3.3.

10_{Si ricordi che la distribuzione normale è completamente descritta dai primi due momenti. Conse-}

guentemente, rigettare l’ipotesi di normalità, in generale, implica che la conoscenza della media e della varianza del fenomeno oggetto di studio non sia un’informazione sufficiente.

5.2 Il modello CreditMetrics™ 123 all’applicazione e all’utilizzo del modello richiedono stime il più possibile accurate, anche in considerazione dell’elevata sensibilità di CreditMetrics™ alla struttura delle correlazioni tra le controparti. Tali questioni sono già state approfondite in termini generali nelle precedenti Sezioni4.2.2.1e4.2.2.2a cui si rimanda.

Prima di entrare nel merito del metodo utilizzato in CreditMetrics™ per la stima delle correlazioni, è necessario soffermarsi sulla natura di queste ultime. Ebbene, è evidente che, dal punto di vista teorico, possano assumere rilevanza almeno tre tipologie di correlazioni, ovvero:

a) la correlazione tra merito creditizio delle controparti in portafoglio poiché, ac- canto a fattori firm-specific che concorrono a determinare la capacità restitutiva della singola controparte, è possibile osservare anche fattori, come l’andamento economico generale e l’andamento del settore specifico di attività, che impattano congiuntamente, seppur in diversa misura, rispettivamente sui meriti creditizi di tutte le controparti e di quelle attive in un dato settore economico;

b) la correlazione tra recovery rate e merito creditizio della stessa controparte poiché è ragionevole ritenere che al deterioramento del merito creditizio della contro- parte segua anche una diminuzione del recovery rate dovuta sia a fattori specifici connessi alla diminuzione del patrimonio aziendale, sia a fattori sistemici legati alla diminuzione del valore e della qualità delle garanzie prestate in situazioni economiche o settoriali sfavorevoli;

c) la correlazione tra exposure at default e merito creditizio della medesima contro- parte in quanto è possibile sostenere che, come conseguenza del peggioramento del merito creditizio della controparte, l’indebitamento di quest’ultima tende ad aumentare, aggravando ulteriormente il rischio connesso all’esposizione11. Ritornando all’approccio alle correlazioni previsto in CreditMetrics™ , tale modello si occupa di stimare solamente le correlazioni tra meriti creditizi delle controparte e as- sume implicitamente che vi sia almeno incorrelazione (se non indipendenza) tra tasso di recupero e merito di credito della stessa controparte. Con specifico riferimento alla stima delle correlazioni sub a), in CreditMetrics™ le relative stime sono ottenute attra- verso modelli multifattoriali. Tale approccio è già stato introdotto nella Sezione4.2.2

a cui si rinvia. Sul punto, ciò che rilava di più in questa sede, riguarda le variabili esogene e la specificazione del modello. Infatti, come anticipato, al fine di stimare le

11_{Nell’ambito del presente lavoro, si è deciso, per semplificazione, di trattare come deterministica}

l’exposure at default. Per ciò che riguarda la presente Sezione, anche CreditMetrics™ introduce la medesima semplificazione anzi, in verità, attualmente la ricerca scientifica non è stata ancora in grado di sviluppare metodologie condivise che consentano la trattazione dell’esposizione al momento dell’insolvenza come una componente di natura stocastica che contribuisca ad incrementare il rischio delle esposizioni e del portafoglio. Per una trattazione sintetica della questione si rimanda alla Sezione3.2.

124 5. Modelli di portafoglio

correlazioni tra le controparti, CreditMetrics™ utilizza indici azionari e settoriali. Tale modo di procede sottende un’ulteriore semplificazione di modello che si sostanzia nell’assunzione che tali indici rappresentino effettivamente delle proxy per il valore di mercato delle attività delle controparti che, come evidenziato nella Sezione3.1.1.2, non è un dato empiricamente osservabile. Più in particolare, CreditMetrics™ dapprima stima le correlazioni tra i rendimenti del capitale azionario delle controparti e poi, a partire da queste ultime, deriva le correlazioni tra le variazioni delle classi di rating delle controparti (migrazioni).

Da questo punto di vista, come ormai risulterà evidente, CreditMetrics™ si basa sul lavoro di Merton [75] dai cui, tra l’altro, eredita alcune assunzioni. Tra queste ultime è possibile annoverare l’assunzione relativa al dgp del valore di mercato degli attivi aziendali che evolvono secondo un moto browniano geometrico (cfr. Equazione3.18) e si distribuiscono in modo log-normale con media e varianza note. Visto che si è fatto riferimenti ai rendimenti dell’equity, ciò che rileva ancora di più in questo frangente non è tanto l’ipotesi distributiva sui prezzi azionari, ma piuttosto l’ipotesi sui rendi- menti logaritmici che si distribuiscono in modo normale con media e varianza noti (cfr. Equazione3.20). In teoria, un ulteriore conseguenza, come accade nel modello di Merton originario, dovrebbe essere quella di assumere che le controparti siano fi- nanziate unicamente attraverso capitale di rischio e uno zero-coupon bond. In verità, CreditMetrics™ , come si vedrà nel seguito della presente Sezione, utilizza i rendimenti azionari come proxy del valore di mercato degli attivi (Market Value of Assets - mva) poiché questi ultimi non sono direttamente osservabili con la conseguenza di assume- re implicitamente che le controparti siano finanziate unicamente attraverso capitale di rischio.

Tuttavia, in CreditMetrics™ si estende il modello di Merton allo scopo di catturare anche il rischio di migrazione, e non soltanto il rischio di default (cfr. Figura 5.2 e Tabella5.3)12. Brevemente, tale estensione prevede la suddivisione della distribuzione dei rendimenti azionari in masse di probabilità e nei relativi percentili in modo tale che, operando un campionamento casuale da tale distribuzione, si producano gli stessi tassi di default e di migrazione riportati nella transition matrix (cfr. Figura5.2).

Con riferimento alla Tabella 5.3, i valori riportati nella seconda colonna sono i medesimi di quelli contenuti nella Tabella4.1in corrispondenza della riga che contiene le probabilità di migrazione ed insolvenza per le controparti con giudizio di rating

12_{Si è visto, infatti, che il modello di Merton, così come originariamente proposto, è insensibile al rischio}

di migrazione, ovvero al rischio di deterioramento del merito creditizio fintanto che questo non porti al default (cfr. Sezione3.1.1.2).

5.2 Il modello CreditMetrics™ 125

Figura 5.2: Generalization of the Merton model to include rating changes (fonte: Crouhy, Galai e Mark [33])

iniziale pari a BB. In questo modo si ha che, ad esempio, la probabilità di migrazione di una controparte con rating BB verso la classe BBB (upgrade di un notch) sia pari a:

P(BB → BBB) =P(AVRt< ZA/s) − P(AVRt< ZBBB/s)

=P(ZBBB/s < AVRt < ZA/s)

in cui AVR= (dSd t)/Strappresenta gli asset value return standardizzati approssimati

dagli equity return (cfr. Equazione3.17) e ZA/s, ZBBB/s i percentili di una distribuzione

normale standard che individuano rispettivamente la soglia di migrazione alla classe di rating A e BBB o, più precisamente, i valori che rispettivamente identificato le pro- babilità cumulate che la controparte si trovi nella classe di rating BBB o inferiore e nella classe BB o inferiore (compreso lo stato di insolvenza).

Conseguentemente, assumendo un periodo temporale di riferimento pari ad un anno, visto che i prezzi azionari evolvono secondo l’Equazione3.18, ovvero:

S1= S0e  µ−σ2 2  +σ _{ ∼ N(0, 1),} (5.1) il cui valore atteso è dato da:

126 5. Modelli di portafoglio

Rating class at year-end

Transition probability from the transition

matrix (%)

Probability according to the asset value model

Z-threshold(s)

AAA 0.03 1 − F(ZAAA/s) ZAAA/s = 3.43

AA 0.14 F(ZAAA/s) − F(ZAA/s) ZAA/s = 2.93 A 0.67 F(ZAA/s) − F(ZA/s) ZA/s = 2.39 BBB 7.73 F(ZA/s) − F(ZBBB/s) ZBBB/s = 1.37 BB 80.53 F(ZBBB/s) − F(ZBB/s) ZBB/s = −1.23 B 8.84 F(ZBB/s) − F(ZB/s) ZB/s = −2.04 CCC 1.00 F(ZB/s) − F(ZCCC/s) ZCCC/s = −2.30 Default 1.06 F(ZCCC/s) -

Tabella 5.3: Calculation of the transition probabilities from BB

e che i rendimenti azionari si distribuiscono come indicato dall’Equazione 3.20

secondo una distribuzione normale come media e varianza pari a:

log S1 S0 ! ∼N  µ −σ2 2  ;σ2 ! , (5.3)

la probabilità che una controparte con rating BB sia in default dopo un anno, è data da:

pd_One−year≡ P(BB → De f )_T=1 = P(AVRStd

T=1 < ZCCC). (5.4)

Quindi, viste le Equazioni 5.1 e 5.3, nonché sulla base dei risultati di cui alle Equazioni3.37e3.38, l’Equazione5.4può essere riscritta come:

P(BB → De f ) =P "_ln(S De f/S0) − (µ − σ2/2) σ < ZCCC # =P "_ln(S De f) − ln(S0) − (µ − σ2/2) σ < ZCCC # =P "_−[ln(S 0) − ln(SDe f)] − (µ − σ2/2) σ < ZCCC # =P " −ln(S0/SDe f)+ (µ − σ 2_/2) σ < ZCCC # = N(−d2)T=1 (5.5)

in cui ZCCC è il percentile della distribuzione normale standard che corrisponde

alla probabilità cumulata che la controparte sia in default, [ln(S0/SDe f)+ (µ − σ2/2)]/σ

identifica i rendimenti standardizzati (AVRStd_T=1) eN(−d2)T=1 rappresenta il medesimo

5.2 Il modello CreditMetrics™ 127 In verità, per essere precisi, è possibile affermare che CreditMetrics™ , nell’Equa- zione5.5non utilizzi i tassi risk-free come accade per il modello di Merton originario, ma piuttosto il valore atteso dei rendimenti durante il periodo campionario. Conse- guentemente, la stima della pd ottenuta tramite l’applicazione del modello oggetto di analisi non è neutrale verso il rischio, ma bensì si tratta della stima della probabilità di insolvenza reale (cfr. Commento3.1.2).

Per quanto riguarda il valore-soglia ZCCC che separa lo stato di default dagli stati

rappresentati da tutte le classi di rating, direttamente dall’Equazione5.5si ha che:

ZCCC = −d2, (5.6)

in cui

d2=

ln(S0/SDe f)+ (µ − σ2/2)

σ (5.7)

rappresenta la c.d. "distance-to-default" e ha un’interpretazione analoga a quanto si è visto nella Sezione3.1.1.3.

Tutto ciò, pur introducendo imitazioni nel modello in esame, consente la stima di ZCCCattraverso la conoscenza del valore atteso (µ) e della varianza (σ2) dei rendimenti

azionari.

A questo punto, è bene evidenziare come astrattamente si potrebbe procedere alla stima delle correlazioni tra i meriti creditizi delle controparti in portafoglio attraverso:

a) la stima della matrice di correlazioni tra i rendimenti azionari standardizzati, b) la stima delle probabilità di migrazione e di congiunte attraverso una distribuzio-

ne normale multivariata.

Tale approccio potrebbe, evidentemente, dirsi "analitico" poiché non sarebbe ri- chiesta alcuna simulazione per ottenere le relative stime. Tuttavia, nella pratica, non si tratta di una via percorribile per via del numero dei coefficienti da stimare e per la complessità dei calcoli richiesti dall’utilizzo di una distribuzione multivariata in presenza di portafoglio composti da un numero elevato di controparti (cfr. Sezione

4.2.2).

Come già anticipato, per aggirare tale problematica in CreditMetrics™ viene imple- mentato un metodo basato su una simulazione Montecarlo al fine ultimo di stimare l’intera distribuzione complessiva del valore del portafoglio assumendo un’orizzonte temporale di riferimento di un anno.

128 5. Modelli di portafoglio

Tale approccio è efficacemente descritto da Crouhy, Galai e Mark [33] e prevede le seguenti fasi:

a) stima dei percentili della distribuzione normale standard che identificano le probabilità di transizione e di default associate ad ogni classe di rating;

b) stima del coefficiente di correlazione dei rendimenti per ogni coppia di contro- parti;

c) simulazione di un elevato numero di scenari ipotetici a partire dalle distribu- zioni di probabilità dei rendimenti congiunte, ognuno dei quali composto da n distribuzioni dei rendimenti standardizzate, una per ogni controparte in por- tafoglio (le relative distribuzioni normali correlate devono essere sono ottenute attraverso la scomposizione di Cholesky13_);

d) singolarmente per ogni simulazione e per ogni controparte, mapping dei rendi- menti standardizzati sulle classi di rating attraverso i percentili della distribuzio- ne normale standard individuati sub a) (cfr. Figura5.2e Tabella5.3);

e) calcolo del valore del portafoglio come somma del valore delle singole posizioni di rischio, a sua volta determinato attualizzando a tassi forward i flussi di cassa ad esse connessi per ogni scenario precedentemente simulato;

f) ripetere il procedimento per un numero elevato di volte per ottenere una serie di valori del portafoglio da cui è possibile stimare la distribuzione empirica, g) calcolo del percentile della distribuzione di valore di portafoglio associato al suo

valore futuro, delle relative misure di rischio (cfr. Capitolo 2) e delle perdite attese e inattese (cfr. Sezione4.2.1).