Principali fenomeni di alterazione dello scambio termico convettivo di una sostanza gassosa con una parete in presenza di campi acustic

Si prenda in considerazione la figura seguente:

In essa è raffigurata una sezione trasversale di in un recipiente adiabatico e rigido contenente del gas (ad esempio, aria), con parte della parete di destra riscaldata per effetto Joule, con potenza regolabile, e con parte della parete inferiore mantenuta mediante un’azione refrigerante esterna ad una temperatura costante (ad esempio, 20 °C). Nel recipiente è anche presente un trasduttore acustico, il quale può animarsi di un moto sinusoidale alternativo di diverse frequenze e diverse ampiezze.

I diversi concetti d’interesse saranno esposti esemplificandoli a questa particolare configurazione: essi possono essere comunque generalizzati a un qualsivoglia sistema che preveda scambi termici fra un gas e una parete, sia esso acusticamente e/o meccanicamente eccitato, aperto o chiuso, con pareti rigide e/o elastiche, diabatiche e/o adiabatiche ecc.

Specificato ciò, si supponga in prima istanza che trasduttore e piastra elettrica siano spenti: è evidente che l’aria si porta in una condizione di equilibrio termodinamico, risultando isoterma a 20 °C e ferma in ogni punto del recipiente.

Figura 10: Gas che scambia termicamente in assenza di campo acustico

Trasduttore acustico Parete riscaldata elettricamente con potenza regolabile Mezzo fluido gassoso Parete isoterma esternamente refrigerata Pareti rigide ed adiabatiche

Da questa condizione di equilibrio si proceda poi accendendo la piastra alla minima potenza disponibile, dissipando dunque una piccola potenza elettrica in energia interna della piastra stessa. Com’è noto dai corsi di Fisica Tecnica e di Trasmissione del Calore, la temperatura della piastra inizierà ad aumentare e, contestualmente a ciò, i vari fenomeni di scambio termico insorgeranno: la piastra riscaldata inizierà a scambiare calore radiante verso la parete isoterma, l’aria condurrà calore sempre dalla parete riscaldata verso quella isoterma, agevolata in ciò dai moti di convezione naturale che inizieranno ad instaurarsi in suo seno.

Tali fenomeni di scambio termico sono notoriamente tanto più intensi quanto più elevata è la temperatura della piastra riscaldata; per questa ragione, tale piastra si porterà al tendere di t→∞ ad un dato valore di temperatura per il quale la potenza elettrica dissipata eguaglierà esattamente il calore assorbito dalla piastra refrigerata.

In questa condizione le diverse variabili raggiungeranno un valore stazionario: l’aria, in virtù della relativamente piccola potenza elettrica dissipata, assumerà una certa configurazione stabile di

moto laminare, con definiti profili termici e dinamici; anche le pareti raggiungeranno una precisa

distribuzione termica e un conseguente scambio radiativo invariabili nel tempo. Poiché quanto sopra esposto discorsivamente si traduce matematicamente nella:

∀ψ ∧∀ ⃗x∈Ω →→→ ∂ψ (⃗x ,t) ∂t =0

si può asserire, per quanto detto a pag. 4, che il sistema si è portato in un nuovo stato di equilibrio (seppur con variabilità spaziale).

Raggiunto questo stato di equilibrio, si aumenti adesso di un poco la potenza dissipata nella piastra: il sistema percorrerà un nuovo transitorio, al termine del quale si raggiungerà un nuovo stato di equilibrio, con aria in moto più vivace rispetto al caso precedente, ma ancora in condizioni laminari.

Si prosegua con questa operazione, aumentando di volta in volta la potenza dissipata per effetto Joule: il sistema si poterà in stati di equilibrio con aria in moto vieppiù animato, fino al punto in cui le velocità saranno così elevate da rendere instabile il moto dell’aria nel recipiente: si raggiungerà così una condizione di moto turbolento.

Il moto turbolento, com’è noto, è caratterizzato da una fluttuazione temporale pseudo-casuale delle diverse variabili ψ, a causa dei vortici di diverse dimensioni che animano il flusso fluido.

Questa costante fluttuazione impedisce a tutti gli effetti al sistema di raggiungere una condizione esattamente stazionaria; in altre parole, esisteranno comunque delle variabili ψ per le quali varrà:

∂ψ (⃗x ,t) ∂t ≠0

Ci si può allora chiedere se lo stato di moto turbolento raggiunto dall’aria costituisca o meno uno stato di equilibrio, in quanto la definizione stessa di stato di equilibrio sembrerebbe essere contraddetta.

La risposta a questa domanda si può trovare nella cosiddetta teoria statistica della turbolenza, sviluppata da Kolmogorov ed altri nella prima metà del secolo passato. Secondo questa teoria, le diverse variabili di un flusso turbolento stazionario possono vedersi come la somma di un valore medio ψ , costante nel tempo per una data posizione, e di un valore statisticamente fluttuante ~¯ ψ :

ψ (⃗x ,t )=¯ψ (⃗x)+~ψ (⃗x ,t)

Si può allora dire che l’aria raggiunge effettivamente uno stato di equilibrio, se si considerano i valori medi ψ delle diverse variabili in gioco. In termini matematici, si può estendere ai moti¯ turbolenti la nozione di stato di equilibrio esposta a pag. 4, definendola come:

∀ψ ∧∀ ⃗x∈Ω →→→ ∂ ¯ψ (⃗x ,t) ∂t =0

Chiarito il concetto che l’accensione della piastra porta il sistema in stati di equilibrio con variabilità spaziali, si procede adesso esponendo le modificazioni al campo termofluidodinamico che vengono introdotte con l’accensione del trasduttore acustico.

A tal fine si riprenda in considerazione il sistema di figura 10, e si supponga che tale sistema abbia raggiunto, a seguito dell’accensione della piastra elettrica, uno stato di equilibrio caratterizzato da un moto laminare. Si immagini adesso di eccitare per un tempo illimitato il trasduttore acustico, originando così nell’aria un campo acustico:

Figura 12: Gas che scambia termicamente in presenza di un campo acustico

Trasduttore acustico Parete riscaldata elettricamente con potenza regolabile Mezzo fluido gassoso oscillante Parete isoterma esternamente refrigerata Pareti rigide ed adiabatiche

La generica variabile ψ seguirà un andamento qualitativo analogo a quello riportato nella figura che segue:

Si osservi che, oltre alla tipica oscillazione periodica propria dei campi acustici, il secondo importante effetto è quello della possibile variazione del valore medio dell’oscillazione rispetto al precedente valore di equilibrio.

Figura 13: Accensione del trasduttore in caso di moto laminare

ACCENSIONE TRASDUTTORE

ARRIVO PERTURBAZIONE

VALORE DEL PRECEDENTE STATO DI EQUILIBRIO NUOVO VALORE MEDIO

Supponendo invece di eccitare per un tempo illimitato il trasduttore acustico in un sistema che abbia raggiunto uno stato di equilibrio caratterizzato da aria in moto turbolento, l’andamento qualitativo della generica variabile ψ non esibirà più una periodicità esatta, ma sarà sporcato dalle fluttuazioni turbolente che comunque si manifesteranno a regime:

Si sottolinea dunque che l’eccitazione acustica di un mezzo animato di moto turbolento non conduce ad uno stato stazionario che soddisfi pienamente la condizione di periodicità insita nella definizione di campo acustico fornita a pag. 7; è possibile comunque osservare soddisfatta tale periodicità una volta che l’andamento di ψ venga depurato della sua componente stocastica turbolenta. Anche nel caso di moto turbolento, il valore medio di ψ nel corso della sua oscillazione può variare sensibilmente rispetto al valore di equilibrio precedentemente raggiunto.

E’ altrettanto importante osservare come l’interazione fra eccitazione acustica e turbolenza sia un argomento estremamente complesso nella sua modellazione analitica ed interpretazione, motivo per cui essa risulta ad oggi un terreno in gran parte inesplorato. Infatti, se da un lato il campo acustico originato dal trasduttore può modificare entità e natura delle fluttuazioni turbolente, dall’altro queste stesse fluttuazioni possono originare ulteriori perturbazioni acustiche e campi acustici con frequenza anche molto diversa da quella di eccitazione.

Figura 14: Accensione del trasduttore in caso di moto turbolento

ACCENSIONE TRASDUTTORE

ARRIVO PERTURBAZIONE

NUOVO VALORE MEDIO (IN CAMPO ACUSTICO)

I due tipi di modificazione appena esposti consentono finalmente di interpretare i vari fenomeni di alterazione dello scambio termico da parte dei campi acustici, generalmente richiamati dalla letteratura sull’argomento e riconosciuti da essa come principali.; nel caso di scambio termico fra una parete ed una sostanza gassosa, essi sono tre.

Il primo di essi prende il nome di dissipazione viscosa del campo acustico (in inglese, heating), ed è legata al primo tipo di modificazione, in particolare all’insorgenza dell’oscillazione del campo di velocità nel sistema. Infatti, questo movimento periodico causa a sua volta l’originarsi dei vari fenomeni dissipativi meccanici legati alla viscosità del mezzo gassoso e, in misura generalmente minore, delle eventuali pareti non rigide; il risultato di questo processo è una perpetua degradazione del lavoro meccanico fornito dal trasduttore in energia interna del gas e delle pareti elastiche.

Nella figura che segue, si riporta l’andamento qualitativo del flusso di potenza meccanica introdotta con la trasduzione verso le zone di dissipazione viscosa nel caso esemplificato nel presente capitolo:

In questo caso, la semplice applicazione del primo principio della termodinamica mostra come la totalità della potenza meccanica introdotta dal trasduttore esca dal sistema sotto forma di calore dalla parete esternamente refrigerata, evidenziando come la dissipazione viscosa sia spesso il destino ultimo dell’energia di trasduzione.

Figura 15: Concetto di dissipazione viscosa del campo acustico

Trasduttore acustico Parete riscaldata elettricamente con potenza regolabile Mezzo fluido gassoso oscillante Parete isoterma esternamente refrigerata Pareti rigide ed adiabatiche

=

Contestualmente, si osservi anche la forte analogia fra la fenomenologia della dissipazione viscosa del campo acustico e i fenomeni di assorbimento ottico che si osserverebbero iniettando radiazione luminosa nel medesimo sistema.

Il secondo fenomeno di alterazione dello scambio termico è designato come corrente acustica (in inglese, acoustic streaming), ed è invece connesso al secondo tipo di modificazione, in particolare alla variazione della media temporale del vettore di velocità del mezzo elastico fluido.

Gli effetti dissipativi dell’energia di oscillazione immessa con il trasduttore infatti, oltre a produrre il sopra esposto fenomeno di heating, generano una serie di disomogeneità degli sforzi meccanici in seno al fluido, le quali a loro volta danno origine ad un movimento macroscopico del mezzo elastico gassoso; il risultato di questo processo è una iniziale trasformazione dell’energia meccanica di oscillazione in energia cinetica del mezzo elastico gassoso, la quale viene comunque trasformata in energia interna del gas mediante successivi fenomeni viscosi.

Si riporta nella figura seguente una riproduzione qualitativa di una possibile corrente acustica che si origina sopra un trasduttore acustico immerso in un semi-spazio illimitato:

Trasduttore acustico eccitato Mezzo elastico fluido illimitato Parete rigida (orizzontalmente illimitata) Corrente acustica (acoustic streaming)

Nel particolare caso di figura 16 l’effetto della corrente acustica è evidente: nello stato di equilibrio precedente l’eccitazione il valore medio di velocità era nullo, in quello successivo sono presenti precise traiettorie chiuse.

Il cambiamento della media temporale del vettore di velocità può contribuire sia ad incentivare i diversi fenomeni convettivi, sia ad assottigliare gli strati limite sulle pareti di scambio termico, favorendovi così i processi di conduzione del calore.

Tale incremento è particolarmente evidente nei casi in cui il moto convettivo del precedente stato di equilibrio fosse blando: in questi casi, una vigorosa trasduzione può originare un moto macroscopico che altera sensibilmente lo scambio termico.

Viceversa, nel caso in cui il precedente moto convettivo fosse rilevante, la variazione del moto medio è in genere meno importante e può addirittura andare sia a favorire che a sfavorire lo scambio di calore. Ritornando ancora una volta all’esempio dell’aria contenuta nel recipiente rigido, la corrente acustica può infatti favorire un rafforzamento o un indebolimento del moto di convezione naturale precedentemente instauratosi:

Riferendoci alla figura, nella quale il moto di convezione del precedente stato di equilibrio era caratterizzato da una rotazione antioraria del fluido in prossimità della zona di scambio termico, si avrebbe un rafforzamento della convezione con una variazione in senso antiorario del flusso medio e viceversa con una variazione in senso orario.

Figura 17: Possibili effetti di rafforzamento o di indebolimento del moto convettivo

Trasduttore acustico Parete riscaldata elettricamente con potenza regolabile Mezzo fluido gassoso oscillante Parete isoterma esternamente refrigerata Pareti rigide ed adiabatiche Moto convettivo antecedente la trasduzione

Variazioni dovute alla corrente acustica

Il terzo ed ultimo meccanismo di scambio termico prende invece il nome di modificazione

acustica dello strato limite termico (in inglese, acoustic modification of thermal boundary layer), ed

è collegato al primo tipo di modificazione, in particolare all’oscillazione della componente normale della velocità relativa fra fluido e parete nella zona dello strato limite termico.

Com’è difatti noto dai corsi di Trasmissione del Calore, in prossimità di una parete soggetta ad uno scambio termico con un gas che la lambisce si origina una zona di flusso detta strato limite termico, nella quale il moto si mantiene laminare e nella quale lo scambio termico è di natura sostanzialmente conduttiva.

In generale, in un mezzo elastico gassoso soggetto ad un campo acustico le particelle di fluido dello strato limite termico subiscono un’oscillazione normale alla parete, così come la parete stessa può oscillare in questa direzione se non è rigida e ferma:

Com’è intuitivo che sia, nella posizione di minima distanza relativa lo scambio termico risulta maggiorato rispetto alla posizione media, mentre nella posizione di massima distanza esso risulta decrementato. Le due fasi non sono tuttavia esattamente bilanciate: il calore scambiato in più nella fase di ravvicinamento è in generale maggiore di quello scambiato in meno nella fase di

Figura 18: Concetto di modificazione acustica dello strato limite termico

Oscillazione dello strato limite termico

Oscillazione relativa

Oscillazione della parete

1.1.4 Principali fenomeni di alterazione dello scambio termico convettivo di una