P RINCIPALI PROPRIETÀ APPLICATIVE DEI MODELLI FENOMENOLOGICI CON SEMPLIFICAZIONE DI PRIMO LIVELLO PROPOST
2.3 Un secondo livello di semplificazione dei modelli fisico matematici in modelli fenomenologic
2.3.1 Studio delle equazioni di Navier-Stokes linearizzate nell’intorno di uno stato di equilibrio di un fluido fermo ed omogeneo: il modello lineare a coefficient
costanti dissipativo
Nel paragrafo precedente si sono esposti e descritti i modelli fenomenologici con semplificazione di primo livello.
Questi modelli comportavano la risoluzione di equazioni alle derivate parziali lineari, circostanza che li rendeva di ben più semplice risoluzione rispetto ai modelli fisico-matematici.
Tuttavia, la presenza della variabilità spaziale dei coefficienti moltiplicativi delle incognite comportava comunque una certa complessità computazionale, complessità che vuole rimuoversi mediante l’introduzione dei modelli fenomenologici con semplificazione di secondo livello.
Si può da subito intuire come una successiva semplificazione delle equazioni debba interpretarsi alla luce della volontà di reperire modelli fenomenologici di più immediata applicazione, ma giocoforza meno precisi e meno generali: ancora una volta, sarà l’applicazione concreta dei modelli ai casi reali a convalidarne o meno l’efficacia.
Quanto sopra preposto, si procede dunque allo sviluppo del modello più semplice e meno generale proposto nel presente elaborato, ovvero il modello lineare a coefficienti costanti
Il modello lineare a coefficienti costanti dissipativo ha numerose affinità con quello a coefficienti variabili.
Innanzitutto, entrambi i modelli non cercano di valutare le dinamiche termiche della parete, bensì si limitano a stimare la variazione del coefficiente di scambio termico convettivo. Inoltre, i due modelli si applicano al medesimo tipo di geometria del sistema, motivo per cui si ripropone la medesima figura esemplificativa esposta per il modello a coefficienti variabili:
Infine, il modello lineare a coefficienti costanti dissipativo richiama le medesime sei ipotesi esposte per quello a coefficienti variabili:
1. lo scambiatore è eccitato acusticamente; 2. le pareti dello scambiatore sono rigide; 3. le pareti dello scambiatore sono ferme;
4. le pareti dello scambiatore sono prive di incrostazioni;
5. il mezzo elastico fluido non trasporta sostanze che possono depositarsi sulle pareti;
Figura 118: Schema per l’esposizione del modello lineare a coefficienti costanti ideale
Mezzo elastico fluido Trasduttore acustico
Pareti
Confini fluidi del mezzo elastico fluido
Tuttavia, a differenza di quest’ultimo, esso non ne richiama le ultime due, bensì le sostituisce con le seguenti tre:
7. la forza gravitazionale è trascurabile;
8. le disomogeneità termofluidodinamiche (in termini di campo di velocità e di campo di temperatura) nello stato di equilibrio antecedente la trasduzione sono trascurabili ai fini della struttura del campo acustico risultante. In altre parole, è possibile sostituire lo stato di equilibrio raggiunto nello scambiatore con uno che risulti completamente omogeneo: il fluido è fermo, isotermo e isobaro;
9. le pareti dello scambiatore hanno una temperatura costante e pari a quella del fluido isotermo in esse contenuto.
Le implicazioni delle prime sei ipotesi sono già state discusse.
La settima ipotesi conduce ad una piccola semplificazione dell’equazione della quantità di moto. L’ottava e la nona ipotesi introdotta, come si vedrà nell’esposizione di cui sotto, conducono invece a due notevolissime semplificazioni del processo di applicazione del presente modello ai casi concreti.
Primo passaggio del modello lineare a coefficienti costanti dissipativo – Imposizione dello stato di equilibrio antecedente la trasduzione
La prima importante semplificazione testé annunciata appare qua in maniera evidente: non si devono più risolvere le equazioni di Navier-Stokes stazionarie e non si hanno più limiti sulla laminarità del flusso.
Il primo passaggio di questo modello fenomenologico si limita dunque solamente a scegliere lo stato termodinamico del fluido nello stato attorno al quale eseguire la linearizzazione.
Le due vie più semplici proponibili sono le seguenti:
• il fluido si trova a una temperatura e a una pressione costanti e pari alle relative medie nella sua sezione d’ingresso, e anche la parete è isoterma e a tale temperatura;
• il fluido è isotermo e alla temperatura della parete, mentre la sua pressione è pari alla relativa media nella sezione d’ingresso.
Un’altra via, forse più precisa, consiste invece nell’assumere pressione del fluido e temperatura del fluido e della parete pari alle medie aritmetiche dei relativi valori nelle sezioni d’ingresso e di uscita.
Secondo passaggio del modello lineare a coefficienti costanti dissipativo – Determinazione dell’entità del campo acustico (e dunque, dell’oscillazione delle diverse variabili)
Il secondo passaggio, analogamente a quanto visto per il modello a coefficienti variabili, consiste nella linearizzazione delle equazioni di Navier-Stokes nell’intorno dello stato di equilibrio imposto al primo passaggio.
Visto che tale stato di equilibrio è uno stato di equilibrio caratterizzato da moto laminare (essendo il fluido fermo) si possono riproporre le medesime equazioni differenziali linearizzate ricavate in precedenza, nelle quali si può però introdurre la seconda importante semplificazione prima annunciata: i gradienti dei diversi campi stazionari sono tutti nulli. In particolare, varranno:
{
∇ ⟨T ⟩=∇ ⟨P⟩=⃗0 ⟨⃗v⟩=∇ ⟨⃗v ⟩=⃗0 Inoltre, in virtù dell’ottava ipotesi, varrà anche:⃗g=⃗0
L’equazione di conservazione della massa linearizzata precedentemente ricavata: ∂ρ '
∂t +∇ ⋅[ρ ' ⟨⃗v ⟩+⟨ρ ⟩⃗v ' ]=0 si semplifica ora nella seguente:
∂ρ '
∂t +⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗v '=0
L’equazione di conservazione della quantità di moto linearizzata: ⟨ρ ⟩ ∂⃗v ' ∂t +⟨ρ ⟩⟨⃗v ⟩⋅∇ ⃗v '+⟨ρ ⟩⃗v '⋅∇ ⟨⃗v ⟩+ρ ' ⟨⃗v⟩⋅∇ ⟨⃗v ⟩=μ ∇ 2 ⃗v ' +(ζ +13μ) ∇ [∇⋅⃗v ' ]−∇ P '+ρ ' ⃗g diviene adesso: ⟨ρ ⟩ ∂⃗v ' ∂t =μ ∇ 2 ⃗v '+(ζ +1 3μ)∇ [∇⋅⃗v ' ]−∇ P'
La lunga equazione di conservazione dell’energia linearizzata: ⟨⃗v⟩⋅∇ ⟨T ⟩[ρ ' ⟨CP⟩+⟨ρ ⟩CP']+⟨ρ ⟩⟨CP⟩
[
∂T '∂t +⟨⃗v ⟩⋅∇ T ' +⃗v ' ⋅∇ ⟨T ⟩]
= =⟨⃗v ⟩⋅∇ ⟨P⟩[T ' ⟨β ⟩+⟨T ⟩ β ' ]+⟨T ⟩⟨ β ⟩[
∂ P ' ∂ t +⟨⃗v ⟩⋅∇ P '+⃗v '⋅∇ ⟨P⟩]
+ +k∇2 T '+τ ' : ∇ ⟨⃗v⟩+⟨τ ⟩ : ∇ ⃗v 'diviene adesso la ben più compatta: ⟨ρ ⟩⟨CP⟩ ∂ T ' ∂t =⟨T ⟩⟨β ⟩ ∂ P ' ∂t +k ∇ 2T '
valendo anche ⟨τ ⟩=0 come può vedersi dalla sua definizione.
In virtù delle incognite delle equazioni di sopra, l’unica equazione d’interesse derivabile dalla linearizzazione delle equazioni della termodinamica degli stati di equilibrio rimane quella di stato, che peraltro non subisce alterazioni:
ρ '= ∂ ρ ∂ P
|
⟨P ⟩,⟨T ⟩P '+ ∂ ρ ∂T
|
⟨P⟩ ,⟨T ⟩T '
Riunendo tutto quanto ricavato, si ottiene in conclusione il seguente sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali:
{
∂ρ ' ∂t +⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗v'=0 ⟨ρ ⟩ ∂⃗∂tv '=μ ∇2 ⃗v ' +(ζ +13 μ)∇ [∇⋅⃗v ' ]−∇ P ' ⟨ρ ⟩⟨CP⟩ ∂ T ' ∂t =⟨T ⟩ ⟨β ⟩ ∂ P' ∂t +k ∇ 2T ' ρ '= ∂ ρ ∂ P|
⟨P⟩ ,⟨T ⟩ P '+ ∂ ρ ∂T|
⟨ P⟩ ,⟨T ⟩ T 'il quale deve risolversi con le opportune condizioni al contorno, ovvero:
• oscillazioni di temperatura e di velocità e/o pressione nulle sui confini fluidi; • oscillazioni di temperatura e velocità nulle sulle pareti;
• oscillazioni di temperatura nulle e oscillazioni di velocità imposte sui confini del trasduttore acustico.
Analogamente a quanto fatto per il modello a coefficienti variabili, si può qua esporre il perché questo modello fenomenologico sia stato designato col nome di modello lineare a coefficienti costanti dissipativo.
A tal fine, si riconsideri a puro titolo di esempio (visto che per le altre equazioni valgono considerazioni analoghe) l’equazione di conservazione della massa in forma esplicitata:
∂ρ ' ∂t +⟨ρ ⟩
(
∂ v 'x ∂ x + ∂v 'y ∂ y + ∂v 'z ∂ z)
=0Come si vede, l’equazione è in ogni punto del dominio una combinazione lineare delle incognite (riportate in blu): in virtù della terminologia relativa alle equazioni differenziali alle derivate parziali, quanto detto basta a giustificare il suffisso “lineare” [52].
In questo caso, a differenza del caso precedente, tutte le disomogeneità sono state volontariamente rimosse, cosicché il valore del prefisso moltiplicativo (riportato in rosso) è costante in ogni punto del dominio: questa circostanza giustifica dunque il suffisso di “a coefficienti costanti”.
Infine, la presenza del suffisso “dissipativo” deve invece ricercarsi nella presenza dei termini di viscosità e di conducibilità termica rispettivamente nella seconda e nella terza equazione riportate.
Terzo passaggio del modello lineare a coefficienti costanti dissipativo – Correlazioni fenomenologiche fra la soluzione ricavata e l’alterazione dello scambio termico convettivo
Analogamente a quanto visto per i modelli fenomenologici precedenti, si correlano i campi acustici stimati nel secondo passaggio all’incremento del coefficiente di scambio termico convettivo sui diversi punti della parete in esame.
Queste correlazioni fenomenologiche, si ripete, dovrebbero ben interpolare i risultati sperimentali disponibili, pur mantenendo una possibile interpretazione fisica di base delle relazioni in esse contenute.
Si osservi che questo modello fenomenologico può anche, nel caso di mezzo elastico fluido liquido, tener conto della cavitazione acustica vaporosa, utilizzando correlazioni che tengano di conto di quanto lo stato termodinamico entri nel campo del vapore in prossimità delle pareti di scambio. Tuttavia, come già più volte sottolineato, la comparsa di zone di vapore causa il drastico cambiamento delle equazioni di conservazione e dell’equazione di stato, con conseguente loro allontanamento dalla forma linearizzata e aumento dell’incertezza di previsione: la sua validazione
A conclusione del presene sottoparagrafo, si vogliono esporre alcune considerazioni riguardo il modello lineare a coefficienti costanti dissipativo.
Come si è visto, questo modello sostanzialmente:
• trascura l’influenza del campo di velocità dello stato antecedente la trasduzione (anche nel caso in cui tale campo fosse turbolento);
• trascura le disomogeneità termiche e di pressione di tale stato;
• sostituisce alle equazioni di Navier-Stokes il loro iper-piano tangente alla soluzione di flusso fermo ed omogeneo.
E’ facile allora intuire come il modello consenta una stima corretta dei campi acustici solamente in quei flussi a bassa velocità, con bassi salti di temperatura, con piccole perdite di carico e con trasduzioni di piccola entità, mentre in caso contrario gli effetti di disomogeneità spaziale e/o di non linearità tendono a divenire rilevanti e ad alterare la correttezza della previsione svolta.
Si osservi inoltre che in questo caso il numero di incognite (e di equazioni) è sceso da 8 a 6, essendo scomparsi rispetto al modello a coefficienti variabili sia β ' che CP' : questa circostanza è
un ulteriore indice della semplificazione matematica più volte messa in evidenza.
Come già annunciato per il modello lineare a coefficienti variabili e come esemplificato nel seguito dell’elaborato, anche in questo caso è possibile procedere utilizzando il metodo fasoriale, il quale consente di ricavare la soluzione stazionaria di campi acustici derivanti da sollecitazioni sinusoidali tagliando fuori la componente temporale.
Sebbene questo modello consenta il tener conto (sempre nell’ambito delle equazioni linearizzate) dei diversi fenomeni dissipativi, non si procederà fornendone applicazioni concrete, vista comunque la necessità di risolvere un non banale sistema di 6 equazioni in 6 incognite.
Come si vedrà nei prossimi sottoparagrafi, l’ultima semplificazione operabile sulle equazioni di Navier-Stokes, ovvero la rimozione degli effetti dissipativi, consente la riduzione di tutto il sistema ad una sola equazione di campo, equazione che può eventualmente essere leggermente modificata per tener conto in maniera fenomenologica degli effetti dissipativi.
Queste ultime due equazioni, finalmente, sono passibili di risoluzione analitica, motivo per cui sarà possibile reperire risultati quantitativi senza dover procedere allo sviluppo di opportuni codici di calcolo, operazione che, come già più volte detto, esula dagli scopi dell’elaborato.