Studio delle equazioni di Navier-Stokes linearizzate nell’intorno di uno stato di equilibrio di un fluido fermo, omogeneo e privo di effetti dissipativi: il modello

lineare a coefficienti costanti ideale

Il modello lineare a coefficienti costanti dissipativo consentiva di tener conto degli effetti di viscosità e conducibilità termica, in quanto la linearizzazione delle equazioni di Navier-Stokes conteneva i due termini rispettivamente nella seconda e nella terza equazione.

Tuttavia, si è visto che tale modello comporta comunque la non semplice risoluzione di un sistema di 6 equazioni in 6 incognite, operazione che vuole essere semplificata nel presente sottoparagrafo. Una via possibile per raggiungere tale scopo è quella di aggiungere al modello visto precedentemente una decima ed ultima ipotesi:

• nello stabilire la distribuzione dei diversi campi acustici, è possibile trascurare gli effetti della viscosità e della conducibilità termica.

In virtù dell’assenza dei fenomeni dissipativi e dunque della idealità del fluido preso in considerazione, è allora possibile definire il presente modello fenomenologico modello lineare a

coefficienti costanti ideale.

Si vuole adesso esporre come si modifica la procedura di applicazione del presente modello ai casi concreti.

Il primo e il terzo passaggio non subiscono alterazioni di sorta rispetto al modello a coefficienti costanti dissipativo.

Il secondo passaggio invece, come già annunciato, si modifica radicalmente, in quanto le equazioni linearizzate subiscono una importante semplificazione. Trascurare gli effetti dissipativi, infatti, si traduce matematicamente nell’assumere:

{

μ=ζ =0

k=0

Richiamando allora il sistema ottenuto precedentemente:

{

∂ρ ' ∂t +⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗v '=0 ⟨ρ ⟩ ∂⃗v ' ∂t =μ ∇ 2_{⃗v ' +(ζ +}1 3 μ)∇ [∇⋅⃗v ']−∇ P ' ⟨ρ ⟩⟨CP⟩ ∂ T ' ∂t =⟨T ⟩⟨β ⟩ ∂ P' ∂t +k ∇ 2 T '

e inserendo l’ipotesi di idealità del fluido, si ottiene finalmente il sistema differenziale nella forma più semplificata possibile:

{

∂ρ ' ∂t +⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗v '=0 ⟨ρ ⟩ ∂⃗_∂tv '=−∇ P' ⟨ρ ⟩⟨CP⟩ ∂ T ' ∂t =⟨T ⟩⟨β ⟩ ∂ P' ∂t ρ '= ∂ ρ ∂ P

|

⟨P⟩ ,⟨T ⟩ P '+ ∂ ρ ∂T

|

⟨ P⟩ ,⟨T⟩ T '

Questo sistema, che apparentemente sembra comunque essere un sistema differenziale di 6 equazioni in 6 incognite, può in realtà ricondursi ad una sola equazione.

Si prenda a tal riguardo in considerazione la terza equazione, quella dell’energia, e si porti dentro il segno di derivazione temporale i due coefficienti moltiplicativi tempo-invarianti:

∂[⟨ρ ⟩⟨CP⟩T ' ]

∂t = ∂[⟨

T⟩⟨β ⟩ P ' ] ∂t

e, portando a primo membro il termine di destra e inglobandolo nella stessa derivata, si ricava: ∂[⟨ρ ⟩⟨CP⟩T '−⟨T ⟩⟨β ⟩P ' ]

∂t =0

Poiché al tempo t=0 vale sia T '=0 che P '=0 e poiché la derivata temporale è nulla, si può dire che per ogni punto e per ogni tempo vale:

⟨ρ ⟩⟨CP⟩T '−⟨T ⟩⟨β ⟩ P '=0

Si è dunque trovato che l’equazione differenziale dell’energia si può ridurre ad una ben più semplice relazione algebrica fra le oscillazioni di temperatura e le oscillazioni di pressione:

T '= ⟨T⟩⟨β ⟩ ⟨ρ ⟩⟨CP⟩

P '

Dopo questa prima semplificazione, il sistema differenziale si riduce adesso al seguente:

{

∂ρ ' ∂t +⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗v '=0 ⟨ρ ⟩ ∂⃗v ' ∂t =−∇ P' T '= ⟨T⟩⟨β ⟩ ⟨ρ ⟩⟨CP⟩ P ' ρ '= ∂ ρ ∂ P

|

⟨P⟩ ,⟨T ⟩ P '+ ∂ ρ ∂T

|

⟨ P⟩ ,⟨T⟩ T '

A questo punto, si può sostituire la terza equazione nella quarta in modo da eliminare dal sistema la variabile di oscillazione della temperatura:

ρ '=∂ρ ∂ P

|

⟨P ⟩,⟨T ⟩ P '+∂ρ ∂T

|

⟨P⟩ ,⟨T ⟩ ⟨T ⟩⟨β ⟩ ⟨ρ ⟩⟨CP⟩ P '=

[

∂ρ ∂ P

|

⟨ P⟩ ,⟨T ⟩+ ⟨T ⟩⟨β ⟩ ⟨ρ ⟩⟨CP⟩ ⋅∂ρ ∂T

|

⟨ P⟩, ⟨T ⟩

]

P '

Si vuole adesso dimostrare che la relazione ricavata fra le oscillazioni di densità e di pressione è quella di un’isoentropica linearizzata. In altri termini, si vuole dimostrare che il termine fra parentesi quadra coincide con il seguente:

∂ρ

∂ P

|

s ,⟨P ⟩,⟨T ⟩

dove con il pedice “s” si è indicato appunto la costanza dell’entropia nella derivazione.

A tal fine, si ricorda che uno dei risultati più importanti della termodinamica degli stati di equilibrio è quello di ricavare il differenziale (o, in altri termini, il piano tangente nello spazio degli stati) delle principali funzioni di stato (entropia, energia interna, entalpia ecc.) di un fluido omogeneo come espressioni delle coordinate termodinamiche naturali (densità, pressione, temperatura) e dei coefficienti calorimetrici (calore specifico a volume costante e calore specifico a pressione costante). Per maggiori chiarimenti, sopratutto sul contesto formale e sulla natura deduttiva dell’affermazione di cui sopra, si consultino ad esempio [54] e [55].

Nel caso dell’entropia di un fluido omogeneo, i suddetti differenziali sono noti in letteratura col nome di “relazioni del Tds”. La loro determinazione può ad esempio condursi come segue [56].

Si prenda innanzitutto in considerazione la relazione fondamentale della termodinamica degli stati di equilibrio:

du=Tds−Pdv e si espliciti il differenziale dell’entropia:

ds=du

T + P T dv

A questo punto, si riscrive il differenziale dell’energia interna in funzione dei differenziali delle coordinate termodinamiche naturali:

du=

(

∂u ∂T

)

v

dT+

(

∂u ∂ v

)

T

dv

e si inserisce nell’espressione del differenziale dell’entropia: ds=1 T

[

CVdT+

(

∂u_∂v

)

T dv

]

+P T dv= CV T dT+

[

1 T

(

∂u ∂ v

)

T +P T

]

dv

Nell’espressione appena ricavata compare la derivata dell’energia interna rispetto al volume specifico, derivata che non è dunque apparentemente una combinazione delle coordinate termodinamiche naturali e dei coefficienti calorimetrici. In realtà, essa può comunque riscriversi in tale forma, ricordando che l’entropia è una funzione di stato e che dunque un qualunque suo differenziale deve soddisfare le relazioni di Schwarz sulla derivazione mista:

C_V T dT+

[

1 T

(

∂u ∂v

)

T +P T

]

dv →→→ ∂∂v C_V T = ∂∂T

[

1 T

(

∂u ∂v

)

T +P T

]

Espandendo l’ultima uguaglianza ricavata: ∂ ∂v CV T = ∂∂T

[

1 T

(

∂u ∂v

)

T +P T

]

→→→ 1 T ∂CV ∂v =− 1 T2

(

∂u ∂ v

)

T +1 T ∂2_u ∂T ∂ v+ 1 T

(

∂ P ∂T

)

v − P T2

Il secondo termine a secondo membro, a ben vedere, può essere riscritto ricordando ancora l’invertibilità delle derivate miste:

1 T ∂2 u ∂T ∂v= 1 T ∂2 u ∂ v ∂T= 1 T ∂CV ∂ v e può dunque semplificarsi col termine a primo membro:

0=− 1 T2

(

∂u ∂ v

)

T+ 1 T

(

∂ P ∂T

)

v− P T2

Moltiplicando ambo i membri per T2 _{ed isolando la derivata cercata si ottiene finalmente:}

(

∂u

∂ v

)

T=T

(

∂ P ∂T

)

v−P

A questo punto, si può inserire la derivata appena calcolata nel differenziale dell’entropia e moltiplicare tutto per T per ottenere finalmente la ricercata “prima relazione del Tds”:

ds=CV T dT+

[

1 T

(

∂u ∂v

)

T +P T

]

dv →→→ Tds=CVdT+T

(

∂ P_{∂ v}

)

T dv

Operando in maniera del tutto analoga a quella vista sopra sulla relazione fondamentale della termodinamica degli stati di equilibrio nella forma dell’entalpia:

dh=Tds+vdP si giunge alla “seconda relazione del TdS”:

Tds=CPdT−T

(

_∂T∂ v

)

P

dP

Questa seconda relazione può finalmente utilizzarsi per provare quanto prefissato sopra, ovvero dimostrare che la relazione fra densità e pressione sopra ricavata coincidono con quelle di un’isoentropica linearizzata. A tal fine si riscrive la relazione mettendo in evidenza il coefficiente di dilatazione cubica:

β =1_v

(

∂ v ∂T

)

P

→→→ Tds=CPdT−T vβ dP

si sostituisce il volume specifico con la densità (che ne è l’inverso):

Tds=CPdT− Tβ

ρ dP e si pone a zero il differenziale dell’entropia:

ds=0 →→→ CPdT= Tβ

ρ dP →→→ dT =_CTβ

Pρ

dP

Si è dunque ottenuto l’espressione locale di un’isoentropica di un fluido generico in termini di pressione e temperatura. Per scriverla invece in termini di pressione e densità, è sufficiente esplicitare il differenziale di quest’ultima:

dρ =

(

∂ρ ∂T

)

P

dT+

(

∂ρ ∂ P

)

T

dP

e ivi sostituire la relazione fra dT e dP:

dρ =

[(

∂ρ ∂T

)

P dT+

(

∂ρ ∂ P

)

T dP

]

=

[(

∂ρ ∂T

)

P Tβ C_Pρ dP+

(

∂ρ ∂ P

)

T dP

]

=

[(

∂ρ ∂ P

)

T+

(

∂ρ ∂T

)

P Tβ C_Pρ

]

dP Come si vede, finalmente, la forma ricavata della relazione locale tra densità e pressione su di un’isoentropica per un fluido omogeneo qualsiasi coincide effettivamente con quella ricavata nel modello lineare a coefficienti costanti ideale.

Si può allora scrivere la relazione fra oscillazioni di densità e di pressione nella forma succinta: ρ '= ∂ ρ

∂ P

|

s ,⟨P⟩ ,⟨T ⟩

P '

e ridurre il sistema di quattro equazioni nel seguente di tre:

{

∂ρ ' ∂t +⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗v '=0 ⟨ρ ⟩ ∂⃗v ' ∂t =−∇ P ' ρ '=∂ρ ∂ P

|

s ,⟨P⟩ ,⟨T ⟩ P'

Ponendo adesso la terza equazione del sistema di sopra nella prima, si può procedere con l’operazione riduzionistica e portare il sistema da tre a due equazioni:

{

∂ρ ∂ P

|

s ,⟨P ⟩,⟨T ⟩ ⋅∂P' ∂t +⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗v '=0 ⟨ρ ⟩ ∂⃗v ' ∂t =−∇ P '

Si vuole adesso provare che il sistema di sopra può finalmente ridursi ad una sola equazione differenziale alle derivate parziali. Per far ciò si segua il seguente ragionamento.

Innanzitutto, si osservi che risolvere il sistema di sopra significa trovare quel campo vettoriale

v(⃗x ,t) e quel campo scalare P(⃗x ,t) tali per cui entrambe le equazioni risultino soddisfatte in ogni punto e per ogni tempo, così come le condizioni iniziali e le condizioni al contorno. E’ possibile provare sotto ipotesi abbastanza generali che tali campi soluzione esistono e sono unici.

Allora, se tali campi soddisfano alla prima equazione, essi devono anche soddisfare quella equazione ottenibile eseguendo la derivata temporale di ambo i membri:

∂ρ ∂ P

|

s ,⟨P ⟩,⟨T ⟩⋅ ∂ P' ∂t +⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗v '=0 →→→ ∂∂t⋅

[

∂ρ ∂ P

|

s ,⟨P ⟩,⟨T ⟩⋅ ∂ P ' ∂t +⟨ρ ⟩∇⋅⃗v '

]

= ∂∂t [0]=0 che, sviluppata, diviene la seguente:

∂ρ ∂ P

|

s ,⟨P ⟩,⟨T ⟩ ⋅ ∂2P' ∂t2 +⟨ρ ⟩ ∇⋅∂⃗ v ' ∂t =0

Analogamente, se tali campi soddisfano alla seconda equazione, essi devono anche soddisfare quella equazione ottenibile eseguendo la divergenza di ambo i membri:

⟨ρ ⟩ ∂⃗_∂tv '=−∇ P ' →→→ ∇⋅

[

⟨ρ ⟩ ∂⃗_∂tv '

]

=∇⋅

[

−∇ P'

]

che, sviluppata, diviene invece la seguente:

⟨ρ ⟩ ∇⋅∂ ⃗v ' ∂ t =−∇

2 P '

Infine, se entrambe le equazioni appena ricavate sono soddisfatte, deve pure essere rispettata quella equazione ricavabile eseguendo la differenza fra le due:

{

∂ρ ∂ P

|

s ,⟨P ⟩,⟨T ⟩ ⋅ ∂2P' ∂t2 +⟨ρ ⟩ ∇⋅∂⃗ v ' ∂t =0 ⟨ρ ⟩ ∇⋅∂⃗v ' ∂ t =−∇ 2 P ' →→→ ∂ ρ ∂ P

|

s ,⟨ P⟩ ,⟨T ⟩ ⋅∂2P ' ∂t2 =∇ 2 P '

la quale può riscriversi come segue: ∂2 P ' ∂t2 = 1 ∂ρ ∂ P

|

s ,⟨P ⟩, ⟨T ⟩ ∇2 P '

L’equazione appena ricavata è ben nota nell’ambito della fisica-matematica col nome di

equazione delle onde (o anche equazione di D’Alembert), ed è una delle poche equazioni

differenziali alle derivate parziali che possono essere risolte in forma chiusa per molte configurazioni d’interesse pratico [52].

Inoltre, e questo fatto è molto importante perché è grazie ad esso che è possibile effettuare quest’ultima riduzione, anche questa equazione ammette una ed una sola soluzione: è allora evidente che questa unica soluzione deve coincidere con quella del sistema originario di due equazioni, cosicché ricavare il campo di pressione soluzione dell’equazione delle onde equivale a ricavare il campo di pressione soluzione del sistema di due equazioni.

L’equazione delle onde è ricavata e studiata in dettaglio in tutti i testi di acustica (si consultino ad esempio [45], [57] e [58]). Senza entrare nei particolari fisico-matematici di tale equazione, si può comunque asserire che essa è un’equazione iperbolica, ovvero un’equazione che descrive un sistema fisico nel quale le eventuali perturbazioni ad esso apportate si propagano con una velocità finita. In particolare, si può mostrare che tale velocità (indicata generalmente con il simbolo “c”) corrisponde alla radice del coefficiente moltiplicativo del laplaciano a secondo

e, in virtù delle relazioni matematiche sull’inverso della derivata parziale:

c=

√

∂ P_∂ρ

|

s ,⟨P ⟩,⟨T ⟩

Con questa notazione, l’equazione delle onde può finalmente riscriversi nella forma finale: ∂2P '

∂t2 =c 2

∇2 P '

Il risultato ottenuto è molto rilevante, in quanto pare del tutto pacifico riconoscere l’estrema semplificazione che si è riusciti ad ottenere riducendo un sistema di 6 equazioni lineari in 6 incognite ad una sola equazione lineare.

Tuttavia, l’equazione ricavata è di limitata utilità pratica, in quanto non si riescono in generale ad assegnare le condizioni al contorno sulle oscillazioni di pressione. In altri termini, risulta apparentemente impossibile preventivare quali siano l’entità delle oscillazioni di pressione sulle pareti solide dello scambiatore, essendo peraltro esse spesso le incognite desiderate dei vari modelli matematici fenomenologici.

Ci si chiede allora se sia o meno possibile ottenere una riduzione del sistema differenziale ad una sola equazione, equazione che coinvolga tuttavia esclusivamente variabili cinetiche (come spostamenti o velocità) di semplice assegnazione sui contorni.

Tale riduzione è effettivamente possibile, e può condursi ad esempio operando il procedimento che segue [57]. Si riprenda in considerazione il sistema di due equazioni in due incognite da voler ridurre:

{

1 c2 ∂ P' ∂t +⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗v '=0 ⟨ρ ⟩ ∂⃗v ' ∂t =−∇ P '

Se i campi soluzione di velocità e di pressione soddisfano alla seconda equazione, essi debbono pure soddisfare a quella equazione ottenibile eseguendone il rotore di ambo i membri:

∇×

[

⟨ρ ⟩ ∂⃗_∂tv '

]

=∇ ×

[

−∇ P '

]

Sviluppando l’equazione mediante le note relazioni dell’Analisi Matematica si ricava: ⟨ρ ⟩ ∂

Sempre dall’Analisi Matematica è pure noto che il rotore del gradiente di una qualsiasi funzione scalare è nullo. In virtù di ciò, l’equazione di sopra si riduce alla seguente:

∂

∂t

[

∇ ×⃗v '

]

=⃗0

Ricordando adesso che il modello lineare a coefficienti costanti opera una linearizzazione del sistema delle equazioni di Navier-Stokes attorno allo stato termofluidodinamico del fluido fermo ed omogeneo, se ne deduce che lo stato iniziale del campo di scostamento di velocità ⃗v ' sia ovunque

nullo. Varrà così:

⃗v ' (⃗x,0)=⃗0 →→→ ∇×⃗v ' (⃗x ,0)=⃗0

In conclusione, se il rotore dello scostamento di velocità è inizialmente nullo e se la sua derivata temporale è sempre nulla, si può asserire che tale rotore è sempre nullo:

∇×⃗v ' (⃗x ,t)=⃗0

Dimostrato ciò, si può utilmente richiamare quel teorema matematico che asserisce che un qualsiasi campo vettoriale irrotazionale può essere espresso come gradiente di un opportuno campo scalare. Nel caso specifico, varrà allora:

⃗v '=∇φ

nella quale il campo scalare φ è detto potenziale di velocità.

Si osservi sin da subito che, a ben vedere, il potenziale di velocità non è unico, ma anzi vi sono infiniti potenziali di velocità che danno origine al medesimo campo vettoriale di velocità. In particolare, un qualsiasi potenziale φ ' legato al potenziale φ dalla relazione:

φ '=φ +g(t)

nella quale g(t) è una qualsivoglia funzione del tempo, assolve alla medesima funzione in termini di campo di velocità collegato. Questa ambiguità, come si vedrà poco sotto, si traduce in una parallela ambiguità nell’equazione delle onde in termini di potenziale.

Ritornando al sistema da ridurre, si può usare il potenziale di velocità per ivi sostituirvi il vettore di velocità:

{

1 c2 ∂ P ' ∂t +⟨ρ ⟩ ∇⋅

[

∇φ

]

=0 ⟨ρ ⟩ ∂ ∂t

[

∇φ

]

=−∇ P '

e, mediante la relazione che lega il gradiente di una somma di campi scalari alla somma del gradiente dei singoli campi scalari, si pone nella seguente forma:

∇

[

⟨ρ ⟩ ∂φ

∂t +P'

]

=0

Si è così ottenuto il seguente importante risultato: la funzione fra parentesi quadra della formula di cui sopra deve essere, istante per istante, spazio-invariante. In termini matematici:

⟨ρ ⟩ ∂φ

∂t +P'=f (t )

A questo punto è possibile isolare l’oscillazione di pressione nella formula di sopra:

P '=f (t )−⟨ρ ⟩ ∂φ ∂t

ed inserirla nella prima equazione del sistema di sopra per ricavare: 1

c2

∂

∂t

[

f(t )−⟨ρ ⟩ ∂φ∂t

]

+⟨ρ ⟩ ∇⋅

[

∇φ

]

=0 e dunque, sviluppando i vari termini:

⟨ρ ⟩ 1 c2 ∂2_φ ∂t2 − ⟨ρ ⟩ ∇ 2 φ = ∂_∂tf

Come si vede, si è finalmente giunti ad una equazione delle onde in termini del potenziale che, a differenza dell’equazione delle onde in termini della pressione, ha una disomogeneità a secondo membro in termini di una funzione dipendente solo dal tempo, funzione che non è nota a priori ma è anzi assolutamente arbitraria.

Questa ambiguità non deve sorprendere poiché, come già annunciato, rispecchia la parallela ambiguità già vista nella scelta del potenziale in termini di somma di una funzione del solo tempo.

La questione può dunque essere risolta come segue: visto per ogni funzione f(t) si ottiene comunque un potenziale che soddisfa alla richiesta di fornire il corretto campo di velocità, è conveniente scegliere la funzione più semplice, che non può che essere:

f(t)=0

Operando questa scelta il vantaggio è duplice. In primis, l’equazione in termini del potenziale da risolvere si riduce ad una equazione delle onde omogenea del tutto analoga a quella vista per la pressione:

∂2_φ

∂t2=c 2

∇2_φ

nella quale adesso le condizioni al contorno sui confini solidi sono facilmente esprimibili annullando i corrispondenza di essi la derivata direzionale del potenziale normale al confine stesso.

In secundis, una volta noto il potenziale di velocità, il campo di pressione è facilmente ricavabile mediante derivazione temporale:

P '=−⟨ρ ⟩ ∂φ ∂t

cosicché tutte le incognite d’interesse sono note se noto è tale potenziale.

Le ultime due forme dell’equazione delle onde che si vogliono ricavare sono quelle in termini della velocità e dello spostamento. Come si vedrà nel capitolo successivo, queste saranno preferite nell’applicazione ai problemi monodimensionali.

Per ricavare queste forme, si riprenda in considerazione il sistema di due equazioni in due incognite:

{

1 c2 ∂ P' ∂t +⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗v '=0 ⟨ρ ⟩ ∂⃗v ' ∂t =−∇ P ' e si esegua il gradiente della prima equazione:

∇

[

1

c2⋅∂ P '

∂t +⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗v '

]

=∇ [0]=⃗0 Riarrangiando un poco l’equazione si giunge alla:

1

c2

∂

∂t

[

∇ P '

]

+⟨ρ ⟩ ∇ (∇⋅⃗v ')=⃗0

A questo punto, si può richiamare richiamare la seguente relazione fra gli operatori differenziali valida per il generico campo vettoriale ⃗b :

∇

(

∇⋅⃗b

)

=∇×

(

∇ ×⃗b

)

+∇2_⃗b

la quale, applicata al campo ⃗v ' che si è già dimostrato essere irrotazionale, si riduce alla seguente: ∇× ⃗v ' →→→ ∇ (∇⋅⃗v ')=∇2

⃗v '

L’equazione ottenuta eseguendo il gradiente della prima equazione del sistema può dunque riscriversi come segue:

1 _∂

_[

_{∇ P '}

_]

_{+⟨ρ ⟩ ∇}2

A questo punto, si esegua invece la derivata temporale della seconda equazione del sistema: ∂

∂t

[

⟨ρ ⟩ ∂⃗

v '

∂ t

]

= ∂∂t

[

−∇ P'

]

e si sviluppi un poco l’espressione ottenuta:

⟨ρ ⟩ ∂2⃗v '

∂t2 =− ∂_∂t

[

∇ P'

]

Moltiplicando infine la prima equazione per c2 _{e sottraendone quella appena ottenuta si ricava:}

{

∂ ∂t

[

∇ P '

]

+c 2 ⟨ρ ⟩ ∇2 ⃗v '=⃗0 ⟨ρ ⟩ ∂2⃗v ' ∂t2 =− ∂_∂t

[

∇ P '

]

→→→ c2 ⟨ρ ⟩ ∇2 ⃗v '−⟨ρ ⟩ ∂2⃗v ' ∂t2 =⃗0

e, in conclusione, dividendo ambo i membri per la densità: ∂2 ⃗v ' ∂t2 =c 2 ∇2 ⃗v '

Come si vede, anche il campo degli scostamenti di velocità soddisfa ad una equazione delle onde simile a quelle ricavate in precedenza, ma da essa diversa in quanto espressa in termini di un’incognita vettoriale e non scalare. In altri termini, essa è in realtà un sistema di tre equazioni in tre incognite, equazioni che, una volta esplicitate, mostrano come le tre componenti cartesiane della velocità soddisfino ciascuna all’equazione delle onde.

L’equazione delle onde in termini dello spostamento può invece ricavarsi mediante il seguente ragionamento. Riprendendo in considerazione il sistema delle due equazioni in due incognite:

{

1 c2 ∂ P' ∂t +⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗v '=0 ⟨ρ ⟩ ∂v '⃗ ∂t =−∇ P ' e ivi sostituendo la relazione che lega spostamenti a velocità:

⃗v '=∂⃗u ' ∂ t si giunge al seguente sistema:

{

1 c2 ∂ P ' ∂t +⟨ρ ⟩ ∇⋅

[

∂⃗u ' ∂t

]

=0 ⟨ρ ⟩ ∂ ∂t

[

∂⃗u'∂t

]

=−∇ P'

Prendendo in considerazione la prima equazione e riarrangiandola leggermente si ricava: ∂

∂t

[

P '

c2+⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗u'

]

=0

e poiché, si ripete, le equazioni in esame derivano dalla linearizzazione delle equazioni di Navier- Stokes per un fluido che sia fermo ed omogeneo (e per il quale dunque tutti gli scostamenti sono nulli), deve pure valere:

[

P '

c2+⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗u'

]

(⃗x ,0)=0

Ancora una volta: se il termine fra parentesi quadre è inizialmente nullo in ogni punto, e se in ogni punto e in ogni istante la derivata temporale è nulla, non si può che concludere che tale termine è in ogni punto e in ogni istante nullo. In termini matematici:

P'

c2 +⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗u '=0

E’ cosi allora possibile esprimere lo scostamento della pressione dal valore di equilibrio in termini del campo di spostamento:

P '=−c2

⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗u'

e dunque sostituire tale espressione nella seconda equazione del sistema: ⟨ρ ⟩ ∂_∂t

[

∂⃗u '_∂t

]

=−∇

[

−c2

⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗u'

]

Sviluppando entrambi i membri si può scrivere, semplificando la densità e ricordando la relazione già vista per il gradiente della divergenza si giunge alla:

∂2

⃗u ' ∂t2 =c

2

[

∇2_{⃗u ' +∇×(∇ ×⃗u ' )}

]

A questo punto, al fine di ridurre l’equazione ad un’equazione delle onde, si vuole dimostrare che il rotore del campo di spostamento è nullo in ogni punto e in ogni istante. Questa operazione può condursi ad esempio eseguendo il rotore della seconda equazione del sistema con gli spostamenti:

∇×

[

⟨ρ ⟩ ∂2⃗u'

∂t2

]

=∇ ×

[

−∇ P '

]

Inoltre, come già visto, il campo iniziale degli spostamenti è un campo vettoriale nullo e dunque: ⃗u ' (⃗x ,0)=⃗0 →→→ ∇×⃗u '(⃗x , 0)=⃗0

Infine, il campo di velocità iniziale è anch’esso un campo nullo: ⃗v ' (⃗x ,0)=⃗0 →→→ ∂⃗u '

∂t (⃗x ,0)=⃗0

e dunque, eseguendo il rotore di ambo i membri dell’ultima equazione di sopra si ricava: ∇×

[

∂⃗u'

∂t

]

(⃗x ,0)=⃗0 →→→ ∂∂t

[

∇×⃗u'

]

(⃗x , 0)=⃗0 In conclusione, si sono ricavate le tre seguenti relazioni:

{

∇×⃗u' (⃗x ,0)=⃗0 ∂

∂t

[

∇×⃗u '

]

(⃗x ,0)=⃗0 ∂2

∂t2

[

∇×⃗u '

]

=⃗0

Allora, se in ogni punto il rotore è inizialmente nullo e con derivata prima rispetto al tempo nulla e se la derivata seconda rispetto al tempo è per ogni tempo nulla non si può che concludere che il rotore del campo degli spostamenti è sempre e ovunque nullo:

∇×⃗u'=⃗0

Ponendo quanto ricavato nell’equazione agli spostamenti si ricava: ∂2 ⃗u ' ∂t2 =c 2 ∇2 ⃗u ' equazione che finalmente è proprio un’equazione delle onde.

Analogamente a quanto detto per l’equazione delle onde in termini di velocità, anche questa equazione è in realtà un sistema di tre equazioni in tre incognite scalari, e la sua esplicitazione mostra come le tre componenti dello spostamento soddisfino ciascuna all’equazione delle onde.

In conclusione del presente sottoparagrafo si vogliono esporre alcune considerazioni finali. Il lungo procedimento matematico condotto sopra ha consentito di ridurre il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali apparentemente molto complesso da risolvere in forma chiusa in una sola equazione differenziale, peraltro molto nota nell’ambito della fisica-matematica e designata col nome di equazione delle onde in virtù della sua iperbolicità.

Questa equazione ammette soluzioni in forma chiusa in molte configurazioni d’interesse applicativo, e consente addirittura di valutare non solo i campi acustici finali, ma anche come la perturbazione acustica si propaga nel sistema nei primi istanti di trasduzione.

Nonostante queste ottime proprietà ai fini applicativi, tale equazione soffre di un’importante limitazione che ne mina seriamente l’applicabilità concreta: per determinate frequenze, dette

frequenze di risonanza del sistema, una qualsiasi trasduzione anche di piccolissima entità causa il

divergere all’infinito di tutti i campi acustici.

Questa circostanza è in effetti tipica di tutti i sistemi oscillanti ideali, nei quali i termini dissipativi sono stati volontariamente portati a zero. Come noto rispettivamente dai corsi di Elettrotecnica e di Meccanica Applicata, esempi semplici e noti di sistemi che esibiscono questo tipo di divergenza possono essere un circuito RCL con resistenza nulla od un sistema massa-molla senza dissipazioni viscose.

Come può ricordarsi sempre da tali corsi, l’introduzione anche di piccoli effetti dissipativi consente di evitare questo comportamento innaturale.

In maniera del tutto analoga, si vuole tentare di ricavare un’unica equazione differenziale lineare che riproduca il comportamento del sistema e che tenga conto (seppur approssimativamente) degli effetti dissipativi, in modo da evitare divergenze del sistema e fornire dunque valori quantitativi finiti per ogni intervallo desiderato di frequenze ed ampiezze di oscillazione. Questo tentativo verrà condotto nel successivo sottoparagrafo.

2.3.3 Un tentativo di comprendere fenomenologicamente nelle equazioni del

Nel documento Analisi dell'influenza dei campi acustici sullo scambio termico per convezione e possibili applicazioni agli scambiatori di calore (pagine 180-195)