Studio delle equazioni di Navier-Stokes nell’intorno di uno stato di equilibrio mediante linearizzazione per un flusso monofase laminare: il modello lineare a

coefficienti variabili

Nel paragrafo precedente si sono esposti i cosiddetti modelli fisico-matematici, ovvero quei modelli che al costo di una elevatissima complessità matematica permettono una descrizione fisica fedele del sistema in esame.

L’applicazione dei modelli fisico-matematici si è vista essere attualmente molto costosa da un punto di vista computazionale, e sicuramente fuori dagli obiettivi del presente elaborato.

Una enorme semplificazione è operabile introducendo i cosiddetti modelli matematici fenomenologici, la cui struttura è fondamentalmente differente da quelli fisico-matematici. Difatti, un modello matematico fenomenologico procede secondo i seguenti passi:

• semplifica in maniera radicale le equazioni dei modelli fisico-matematici, eseguendo linearizzazioni e/o trascurando aprioristicamente alcuni termini delle equazioni: si ricavano così delle nuove equazioni che non sono più passibili di una reale interpretazione fisica, ma che sono generalmente di più semplice soluzione;

• risolve mediante un algoritmo numerico o, preferibilmente, ricavando la soluzione analitica l’insieme delle equazioni modificate, utilizzando opportune condizioni iniziali e al contorno;

Quanto appena detto può visivamente osservarsi con il seguente diagramma concettuale:

In questi termini, il modello fenomenologico può ritenersi valido nella misura in cui sia possibile utilizzarlo per ottenere previsioni quantitative sufficientemente precise, anche se limitate a determinate condizioni del sistema. Per questo motivo, il suo sviluppo deve condursi con l’intento di soddisfare istanze pragmatiche piuttosto che di carattere teorico-speculativo.

Preposti dunque i vantaggi ed i limiti dei modelli matematici fenomenologici, si procede all’esposizione del primo di essi, ovvero il modello lineare a coefficienti variabili.

Questo modello non prende più in considerazione l’intera fisica dello scambiatore di calore, ma tenta invece di valutare l’incremento del coefficiente di scambio termico convettivo sulle zone d’interesse delle pareti.

Figura 115: Struttura concettuale di un modello matematico fenomenologico

Valori di input Condizioni iniziali Condizioni al contorno

RISOLUZIONE,

NUMERICA O

ANALITICA, DEL

MODELLO MATEMATICO

FENOMENOLOGICO

Valori di output INTERPRETAZIONE

Si consideri infatti, a titolo di esempio per la successiva esposizione del modello, il seguente sistema, il quale per inciso potrebbe essere una porzione di uno scambiatore di calore a piastre eccitato acusticamente:

Il modello lineare a coefficienti variabili richiama tutte e sei le ipotesi già viste per il modello continuo del fluido:

1. lo scambiatore è eccitato acusticamente; 2. le pareti dello scambiatore sono rigide; 3. le pareti dello scambiatore sono ferme;

4. le pareti dello scambiatore sono prive di incrostazioni;

5. il mezzo elastico fluido non trasporta sostanze che possono depositarsi sulle pareti; 6. i mezzi elastici fluidi sono costituiti da una sostanza pura, priva di contaminanti disciolti; alle quali si aggiungono le tre importanti ipotesi di sotto:

Figura 116: Schema per l’esposizione del modello lineare a coefficienti variabili

Mezzo elastico fluido Trasduttore acustico

Pareti

Confini fluidi del mezzo elastico fluido

Le prime sei ipotesi sono già state discusse nel sottoparagrafo 2.1.2.

L’ipotesi 7 consente di non prendere in considerazione le dinamiche termiche conduttive interne alla parete, essendo come già detto d’interesse sostanzialmente la variazione del coefficiente di scambio convettivo;

L’ipotesi 8 permette invece di trascurare le condizioni all’interfaccia liquido-vapore, cosa assai importante poiché è già stato più volte detto che tali correlazioni sono sia in generale matematicamente complesse, sia piuttosto poco consolidate.

L’ipotesi 9 è invece il fulcro del presente modello in quanto, come si vedrà nel seguito dell’esposizione, consente la semplificazione mediante linearizzazione del modello continuo del fluido.

Giuste le ipotesi di cui sopra, si procede dunque alla descrizione del modello in esame, il quale si compone di tre passaggi.

Primo passaggio del modello lineare a coefficienti variabili – Determinazione dello stato di equilibrio antecedente la trasduzione

In riferimento alla figura 116, il primo passaggio per l’esecuzione del modello lineare a coefficienti variabili consiste nella risoluzione delle equazioni di Navier-Stokes per il regime fluidodinamico antecedente l’accensione del trasduttore.

In virtù dell’ottava ipotesi sopra esposta, tale regime è stazionario e laminare. Le equazioni di Navier-Stokes ammetteranno allora una soluzione stazionaria, con i diversi campi variabili spazialmente ma non più temporalmente.

Detta allora ⟨ϕ ⟩=⟨ϕ ⟩(⃗x) la distribuzione tempo-invariante del generico campo ϕ , si dovranno risolvere le seguenti equazioni differenziali alle derivate parziali stazionarie:

1. Bilancio di massa stazionario

∇⋅(⟨ρ ⟩⟨⃗v⟩)=0 2. Bilancio di quantità di moto:

⟨ρ ⟩(⟨⃗v⟩⋅∇ ⟨⃗v⟩)=μ ∇2_{⟨⃗v ⟩+(ζ +}1 3μ)∇ (∇⋅⟨⃗v ⟩)−∇ ⟨P⟩+⟨ρ ⟩⃗g 3. Bilancio di energia: ⟨ρ ⟩⟨CP⟩(⟨⃗v ⟩⋅∇ ⟨T ⟩)=⟨T ⟩⟨β ⟩(⟨⃗v⟩⋅∇ ⟨ P⟩)+k ∇2⟨T ⟩+⟨τ ⟩ : ∇ ⃗⟨v⟩ nella quale: ⟨τ ⟩≝μ (∇ ⟨⃗v ⟩+∇ ⟨⃗v⟩T_{)+(ζ −}2 3μ)∇⋅⟨⃗v ⟩ I

4. Equazione di stato e relazioni calorimetriche derivabili dai potenziali termodinamici della termodinamica degli stati di equilibrio:

u=u(s, v) →→→

{

⟨⟨β ⟩=⟨β ⟩(⟨P⟩ ,⟨T ⟩)ρ ⟩=⟨ρ ⟩(⟨ P⟩,⟨T ⟩) ⟨CP⟩=⟨CP⟩(⟨P⟩,⟨T ⟩)

Queste equazioni differenziali debbono essere corredate dalle opportune condizioni al contorno: 1. al confine con le pareti, dal punto di vista dinamico mediante la condizione di non

scorrimento, mentre dal punto di vista termico imponendo una distribuzione di flusso termico o di temperatura;

2. all’ingresso e all’uscita dello scambiatore, mediante condizioni di pressione e/o di velocità; 3. al confine con il trasduttore acustico, dal punto di vista dinamico mediante la condizione di

non scorrimento e dal punto di vista termico mediante la condizione di assenza di flusso termico

E’ evidente che la soluzione di questo sistema debba condursi per via numerica. Il costo computazionale di questa operazione è tuttavia di alcuni ordini di grandezza inferiore rispetto a quelle associate ai due modelli fisico-matematici prima visti, in quanto si tratta di determinare un solo stato stazionario.

Secondo passaggio del modello lineare a coefficienti variabili – Determinazione dell’entità del campo acustico (e, dunque, dell’oscillazione delle diverse variabili)

S’immagini che, una volta raggiunto il suddetto stato di equilibrio caratterizzato da un flusso laminare, il trasduttore acustico presente nel sistema venga eccitato.

Il voler considerare rigorosamente tutte le dinamiche termofluidodinamiche che prendono origine comporterebbe utilizzare in toto le equazioni di Navier-Stokes nella loro forma generale. Si è visto che questo processo tuttavia comporta dei costi computazionali elevati, costi che sono tipicamente associati ai modelli fisico-matematici.

Una interessante via per ridurre drasticamente il costo computazionale è la linearizzazione del sistema di equazioni (per una esposizione dettagliata di questo procedimento, con applicazioni nell’ambito soprattutto della meteorologia, si consulti [47]). Al fine di chiarire come tale operazione possa condursi sulle equazioni di Navier-Stokes, si propone il seguente ragionamento.

S’immagini un iper-piano nel quale si vogliano riportare le traiettorie che i tre campi scalari e il campo vettoriale in gioco nelle equazioni di Navier-Stokes compiono:

Di passaggio, si osservi che la rappresentazione dell’evoluzione dei campi termofluidodinamici sopra riportata è puramente concettuale, in quanto è ovviamente impossibile rappresentare su un grafico come sei campi scalari tridimensionali evolvono. In ogni caso la rappresentazione appena riportata è utile per chiarire il ragionamento che segue.

Infatti, a ben vedere, le equazioni di Navier-Stokes possono interpretarsi come dei vincoli che le traiettorie soluzioni debbono avere su tale iper-piano, sia in termini di forma sia in termini di parametrizzazione temporale.

Questi vincoli sono espressi matematicamente mediante relazioni funzionali tra i vari campi e le relative derivate spaziali e temporali. Così, a titolo di esempio, l’equazione di conservazione della massa, espressa sopra in notazione compatta mediante gli operatori differenziali, può essere esplicitata come segue:

∂ρ

∂t +∇⋅(ρ ⃗v)=0 →→→ ∂ ρ∂t + ∇ρ ⋅⃗v+ρ ∇⋅⃗v=0

Figura 117: Orbite ristrette intorno ad un punto di equilibrio e concetto della linearizzazione

C a m p o d i v e lo ci tà Campi termodinamici Stato di equilibrio antecedente

la trasduzione (regime laminare)

Orbita ampia

e dunque: ∂ρ ∂t + ∂ ρ∂ x vx+ ∂ ρ_{∂ y} vy+∂ ρ_{∂ z} vz+ρ

(

∂ vx ∂ x + ∂vy ∂ y + ∂vz ∂ z

)

=0

Si è allora provato come l’equazione di conservazione della massa, che in teoria dei campi viene succintamente indicata come:

L(ρ ,⃗v)=0

asserendo che L è un generico operatore differenziale, può essere esplicitata in una forma più estesa, ma concettualmente più semplice:

Σ

(

ρ ,vx, vy, vz, ∂ ρ_∂t , ∂ ρ_{∂ x} , ∂ ρ_{∂ y} , ∂ ρ_{∂ z} , ∂ vx ∂ x , ∂vy ∂ y , ∂ vz ∂ z

)

=0

nella quale Σ non è un operatore differenziale, bensì un’ordinaria funzione in più variabili (non necessariamente lineare).

L’idea alla base del modello lineare a coefficienti variabili è allora la seguente: se l’orbita dei campi termofluidodinamici rimane sufficientemente vicina allo stato di equilibrio, è possibile confondere la funzione Σ con una sua linearizzazione locale.

L’affermazione appena riportata si basa sostanzialmente sulla continuità della funzione Σ ed è interpretabile sul grafico di figura 117 nei termini che seguono: se l’orbita rimane vicina al punto di equilibrio, la funzione Σ è localmente ben approssimata dal suo iper-piano tangente, mentre quando tale orbita si allontana le non linearità divengono importanti e la funzione si discosta molto dal suddetto iper-piano tangente.

Ulteriori chiarimenti sulla continuità e sulla linearizzazione delle funzioni di più variabili possono reperirsi sui vari testi di Analisi Matematica, ad esempio su [48], [49], [50] e su [51].

Questo modello matematico prevede dunque in questa fase la sostituzione delle equazioni di Navier-Stokes con altre equazioni che, anche se derivate dalle prime, sono pur sempre differenti.

E’ evidente allora che se le equazioni sono diverse non possono più esprimere il soddisfacimento esatto dei bilanci: le soluzioni ricavate comporteranno dunque, anche se di piccola entità, distruzione o creazione di massa, di quantità di moto e di energia.

Questo non deve sorprendere, in quanto è stato più volte riconosciuto questo modello come un modello fenomenologico, il quale appunto privilegia la semplicità di calcolo alla esatta correttezza fisica dei suoi risultati.

A difesa di questo modello si può comunque dire che in generale le potenze in gioco con la trasduzione sono decisamente inferiori a quelle cinetiche, cosicché effettivamente le orbite sono relativamente vicine al punto di equilibrio iniziale. Del resto, questa assunzione aprioristica è la base fondante dell’acustica lineare, la quale mostra notoriamente una buona efficacia applicativa.

Preposta questa importante esposizione concettuale sulla linearizzazione, si procede ad effettuare concretamente questa operazione sulle equazioni di Navier-Stokes. Vengono proposti due metodi: un primo, formale e rigoroso, che si rifà ai dettami dell’Analisi Matematica classica, e un secondo meno rigoroso e più euristico, ma di più rapida applicazione. Le funzioni linearizzate ottenute, ovviamente, sono le medesime.

Si prenda in considerazione l’equazione di conservazione della massa nella forma estesa appena ricavata e si indichi con ψj il generico termine di tale equazione:

Σ(ψj)=∂ ρ_∂t +∂ ρ_{∂ x} vx+ ∂ ρ_{∂ y} vy+ ∂ ρ_{∂ z} vz+ρ

(

∂ vx ∂ x+ ∂ vy ∂ y + ∂ vz ∂ z

)

=0

Il primo metodo di linearizzazione consiste nell’eseguire una vera e propria espansione in serie di Taylor al primo ordine della relazione funzionale intorno allo stato di equilibrio. Indicando allora con ⟨ψh⟩ il suddetto stato di equilibrio, si avrà dunque la sostituzione dell’equazione differenziale

non lineare originaria con la seguente [51]: ΣL

(ψj)=Σ(⟨ψ ⟩)+ ∂ Σ_∂ψ

j

|

⟨ψj⟩

(

ψj−⟨ψj⟩

)

=Σ(⟨ψ ⟩)+ ∂ Σ∂ψj

|

⟨ψj⟩ψj'=0

nella quale si è indicato con ψj' lo scostamento della soluzione linearizzata dai valori di equilibrio.

Applicando tale procedimento all’equazione in esame si ottiene: ΣL_(ψ j)=0+ ∂ ρ ' ∂t +⟨vx⟩ ∂ ρ ' ∂ x +⟨vy⟩ ∂ ρ ' ∂ y +⟨vz⟩ ∂ ρ ' ∂ z +⟨ρ ⟩

(

∂ v 'x ∂ x + ∂v 'y ∂ y + ∂ v 'z ∂ z

)

+ +v 'x⟨ ∂ ρ_{∂ x}⟩+v'y⟨ ∂ ρ_{∂ y} ⟩+v 'z⟨ ∂ ρ_{∂ z}⟩+ρ '

(

⟨ ∂vx ∂ x ⟩+⟨ ∂ vy ∂ y ⟩+⟨ ∂ vz ∂ z ⟩

)

=0

Ricordando le definizioni degli operatori differenziali e del prodotto scalare è possibile ricompattare l’espressione ottenuta per giungere ad una forma più sintetica e tipica della teoria dei campi:

∂ρ '

∂t +⟨⃗v⟩⋅∇ρ '+⟨ρ ⟩ ∇⋅⃗v ' +⃗v '⋅∇ ⟨ ρ ⟩+ρ ' ∇⋅⟨⃗v⟩=0 e infine, dalla relazione differenziale:

∇⋅(a ⃗b)=a ∇⋅⃗b+ ∇ a⋅⃗b si ricava la seguente forma finale:

∂ρ '

∂t +∇⋅(ρ ' ⟨⃗v⟩+⟨ρ ⟩⃗v ')=0

L’equazione appena ottenuta può, in virtù appunto della sua linearità, essere designata col nome di equazione di conservazione della massa linearizzata. La sua soluzione (ovviamente posta a sistema con le altre equazioni linearizzate riportate nel seguito) consente di ricavare l’andamento degli scostamenti _ψj' dai valori di equilibro, e dunque, mediante una semplice somma, i valori

effettivi. Così, ad esempio, una volta noto lo scostamento di densità si può ricavare la densità effettiva dalla:

ρ (⃗x ,t)=⟨ρ ⟩(⃗x)+ρ ' (⃗x ,t) Formule del tutto analoghe valgono per gli altri campi.

L’equazione di conservazione della massa linearizzata, come preannunciato sopra, può anche ricavarsi mediante un secondo procedimento più immediato, seppur meno rigoroso. Questo metodo prevede aprioristicamente di porre innanzitutto i campi di densità e di velocità nella forma di valore medio e di scostamento:

{

ρ (⃗x ,t)=⟨ρ ⟩(⃗x)+ρ ' (⃗x ,t) ⃗v(⃗x ,t)=⟨⃗v⟩(⃗x)+⃗v ' (⃗x ,t)

Fatto ciò, si procede inserendo tali espressioni nell’equazione originale: ∂(⟨ρ ⟩+ρ ')

∂ t + ∇⋅[(⟨ρ ⟩+ρ ')⋅(⟨⃗v⟩+⃗v ')]=0 Espandendo l’espressione ottenuta e ricordando che ∂ ⟨ ρ ⟩

L’espressione ottenuta può essere ancora semplificata. Infatti, usando la proprietà additiva della divergenza, si può tirare fuori il prodotto fra i due valori medi:

∂ρ '

∂t +∇⋅(⟨ρ ⟩⟨⃗v⟩)+∇⋅[ρ ' ⟨⃗v⟩+⟨ρ ⟩⃗v '+ρ ' ⃗v ' ]=0

e, in base all’equazione di conservazione della massa stazionaria di cui al passaggio 1, ricordarne nullo il suo valore:

∂ρ '

∂t +∇⋅[ρ ' ⟨⃗v ⟩+⟨ρ ⟩⃗v ' +ρ ' ⃗v ' ]=0

Infine, e questo è il passaggio centrale del secondo metodo di linearizzazione, è possibile osservare che l’ultimo termine della divergenza è il prodotto fra due scostamenti, e dunque una sorta di infinitesimo di secondo ordine: esso può essere trascurato, rimosso dall’equazione, per ottenere finalmente la forma linearizzata.

∂ρ '

∂t +∇⋅[ρ ' ⟨⃗v ⟩+⟨ρ ⟩⃗v ' ]=0

Come si vede e come deve essere, essa coincide con la forma ottenuta precedentemente5_.

Essendo il metodo euristico più rapido nell’applicazione, si procede dunque linearizzando le altre equazioni con quest’ultimo. Si consideri l’equazione di conservazione della quantità di moto nella sua forma non lineare:

ρ ( ∂⃗v

∂t +⃗v⋅∇ ⃗v)=μ ∇

2_{⃗v+(ζ +}1

3μ)∇ (∇⋅⃗v)−∇ P+ρ ⃗g Eseguendo le sostituzioni al primo membro si ricava:

(⟨ρ ⟩+ρ ' )

[

∂ ⃗v '

∂ t +(⟨⃗v ⟩+⃗v ' )⋅∇ (⟨⃗v ⟩+⃗v ' )

]

e dunque, trascurando gli infinitesimi di secondo ordine nella parentesi quadra: (⟨ρ ⟩+ρ ' )

[

∂ ⃗v '_{∂ t} +⟨⃗v ⟩⋅∇ ⟨⃗v ⟩+⟨⃗v⟩⋅∇ ⃗v ' +⃗v '⋅∇ ⟨⃗v⟩

]

Eseguendo il prodotto fra le due parentesi e trascurando ancora gli infinitesimi di secondo ordine si ricava la forma finale del primo membro:

⟨ρ ⟩ ∂⃗v '

∂t +⟨ρ ⟩⟨⃗v ⟩⋅∇ ⟨⃗v ⟩+⟨ρ ⟩⟨⃗v ⟩⋅∇ ⃗v '+⟨ ρ ⟩⃗v '⋅∇ ⟨⃗v ⟩+ρ ' ⟨⃗v⟩⋅∇ ⟨⃗v ⟩

5 In effetti, le operazioni eseguite col secondo metodo di linearizzazione nient’altro sono che l’applicazione a mano di quei concetti di base che si trovano formalizzati nell’ambito dell’Analisi Matematica.

Il secondo membro, analogamente: μ ∇2_{(⟨⃗v⟩+⃗v ')+(ζ +}1

3μ)∇ [∇⋅(⟨⃗v⟩+⃗v ')]−∇ (⟨ P⟩+P ')+(⟨ ρ ⟩+ρ ' )⃗g

Uguagliando i due membri e semplificando i vari termini si ricava la forma finale del bilancio di quantità di moto linearizzato:

⟨ρ ⟩ ∂⃗v '

∂t +⟨ρ ⟩⟨⃗v ⟩⋅∇ ⃗v '+⟨ρ ⟩⃗v '⋅∇ ⟨⃗v ⟩+ρ ' ⟨⃗v⟩⋅∇ ⟨⃗v ⟩=μ ∇

2_{⃗v ' +(ζ +}1

3μ) ∇ [∇⋅⃗v ' ]−∇ P '+ρ ' ⃗g Procedendo in maniera del tutto analoga per il bilancio di energia:

ρ CP( ∂ T ∂t +⃗v⋅∇ T )=Tβ (∂ P ∂t +⃗v⋅∇ P)+k ∇ 2 T+τ :∇ ⃗v la linearizzazione del primo membro fornisce:

[

⟨ρ ⟩⟨CP⟩+ρ ' ⟨CP⟩+⟨ρ ⟩CP'

][

∂T '_∂t +⟨⃗v ⟩⋅∇ T ' +⃗v '⋅∇ ⟨T ⟩+⟨⃗v ⟩⋅∇ ⟨T ⟩

]

la quale può esser espansa ulteriormente, rimuovendo gli infinitesimi di secondo ordine, nella: ⟨⃗v⟩⋅∇ ⟨T ⟩[ρ ' ⟨CP⟩+⟨ρ ⟩CP']+⟨ρ ⟩⟨CP⟩

[

∂T '_∂t +⟨⃗v ⟩⋅∇ T ' +⃗v '⋅∇ ⟨T ⟩+⟨⃗v ⟩⋅∇ ⟨T ⟩

]

La prima parentesi a secondo membro ha la medesima struttura del primo membro: è sufficiente scambiare ρ con T, C_P con β e T con P per avere la sua forma linearizzata.

⟨⃗v⟩⋅∇ ⟨P⟩[T ' ⟨β ⟩+⟨T ⟩β ' ]+⟨T ⟩⟨β ⟩

[

∂ P'_∂t +⟨⃗v⟩⋅∇ P' +⃗v '⋅∇ ⟨P⟩+⟨⃗v⟩⋅∇ ⟨P⟩

]

Gli altri due addendi divengono rispettivamente:

k∇2

⟨T ⟩+k ∇2 T '

e:

⟨τ ⟩: ∇ ⟨⃗v⟩+τ ' :∇ ⟨⃗v⟩+⟨τ ⟩ :∇ ⃗v '

avendo indicato con τ ' il seguente tensore di secondo rango: τ '=μ (∇ ⃗v ' +∇ ⃗v 'T)+(ζ −2

Unendo tutto quanto ricavato e semplificando i termini relativi al bilancio stazionario, si ricava la forma finale del bilancio di energia linearizzato:

⟨⃗v⟩⋅∇ ⟨T ⟩[ρ ' ⟨CP⟩+⟨ρ ⟩CP']+⟨ρ ⟩⟨CP⟩

[

∂T '_∂t +⟨⃗v ⟩⋅∇ T ' +⃗v '⋅∇ ⟨T ⟩

]

=

=⟨⃗v ⟩⋅∇ ⟨P⟩[T ' ⟨β ⟩+⟨T ⟩ β ' ]+⟨T ⟩⟨ β ⟩

[

∂ P '

∂t +⟨⃗v ⟩⋅∇ P '+⃗v '⋅∇ ⟨P⟩

]

+ +k∇2_{T '+τ ' : ∇ ⟨⃗v⟩+⟨τ ⟩ : ∇ ⃗v '}

Per finire, si completa il sistema di equazioni differenziali linearizzando intorno allo stato di equilibrio le relazioni della termodinamica degli stati di equilibrio:

{

ρ '= ∂ ρ ∂ P

|

⟨P ⟩,⟨T ⟩ P '+ ∂ ρ ∂T

|

⟨ P⟩ ,⟨T⟩ T ' β '=∂ β ∂ P

|

⟨P ⟩, ⟨T ⟩ P '+ ∂ β ∂T

|

⟨ P⟩ ,⟨T⟩ T ' CP'= ∂CP ∂ P

|

⟨ P⟩ ,⟨T⟩ P'+∂CP ∂ T

|

⟨ P⟩ ,⟨T⟩ T '

A seguito dei quattro processi di linearizzazione appena condotti, si è in conclusione ottenuto un sistema di 1+3 (visto che una equazione vettoriale in ℝ3

corrisponde a tre equazioni scalari) +1+3=8 equazioni differenziali lineari nelle 8 incognite v 'x,v 'y,v 'z,ρ ' ,T ' , P ' , β ' e CP' : vi sono

dunque tutti i presupposti affinché il sistema ammetta una e una sola soluzione. Questo sistema deve essere risolto con le opportune condizioni al contorno:

• sui confini fluidi in ingresso e in uscita si assegneranno le fluttuazioni di velocità e/o di pressione (ponendo solitamente uguali a zero tali scostamenti);

• sui confini con le pareti si assegnerà ancora la condizione di non-slip (ponendo uguale a zero gli scostamenti di velocità e temperatura);

• ai confini col trasduttore si assegnerà ancora la condizione di non slip e di assenza di flusso termico.

A questo punto è anche possibile spiegare perché il modello è stato designato con il suffisso “ a coefficienti variabili”. Si prenda, a titolo di esempio, l’equazione di conservazione della massa linearizzata mediante il primo procedimento:

∂ρ ' ∂t +⟨vx⟩∂_{∂ x}ρ '+⟨vy⟩∂_{∂ y}ρ '+⟨vz⟩∂_{∂ z}ρ '+⟨ρ ⟩

(

∂ v 'x ∂ x + ∂ v 'y ∂ y + ∂ v'z ∂ z

)

+ +v '_x⟨ ∂ ρ ∂ x⟩+v'y⟨ ∂ ρ_{∂ y}⟩+v 'z⟨ ∂ ρ_{∂ z}⟩+ρ'

(

⟨ ∂vx ∂ x ⟩+⟨ ∂ vy ∂ y ⟩+⟨ ∂ vz ∂ z ⟩

)

=0

nella quale si sono riportate in blu le incognite del problema e in rosso i rispettivi coefficienti moltiplicativi.

Si è già osservato che punto per punto del campo le espressioni differenziali sono combinazioni lineari delle incognite e delle loro derivate, e che questo consente di definire lineare il modello matematico (per ulteriori chiarimenti sulla terminologia delle equazioni differenziali alle derivate parziali si consulti [52]).

Tuttavia, i coefficienti moltiplicativi delle incognite sono variabili punto per punto, in virtù del fatto che la soluzione stazionaria ammette delle disomogeneità spaziali: in altre parole, e come già peraltro più volte detto, le funzioni in rosso, seppur tempo invarianti, non sono in generale costanti ma dipendono dalla posizione.

Per questi motivi, le equazioni differenziali ricavate vengono definite equazioni differenziali alle derivate parziali lineari a coefficienti variabili, e da ciò il nome del presente modello matematico fenomenologico.

Terzo passaggio del modello lineare a coefficienti variabili – Correlazioni fenomenologiche fra la soluzione ricavata e l’alterazione dello scambio termico convettivo

Una volta ricavata la soluzione del sistema differenziale linearizzato, è possibile avere una stima dell’oscillazione acustica di tutte le variabili termofluidodinamiche in corrispondenza e in prossimità delle pareti di scambio termico.

Si possono allora ideare delle correlazioni fenomenologiche fra le suddette oscillazioni, i valori medi e l’incremento del coefficiente di scambio termico convettivo. Le variabili tipicamente prese in considerazione nella scrittura delle correlazioni sono le oscillazioni di pressione e/o le oscillazioni di posizione a parete, anche se è possibile pensarne di diverse e con maggior grado di complicazione.

Per terminare il presente sottoparagrafo, si espongono qua alcune considerazioni conclusive sul modello lineare a coefficienti variabili.

Come si è visto, esso sostituisce alle equazioni di Navier-Stokes il loro iper-piano tangente nel punto della soluzione stazionaria laminare, sostituzione che, se da un lato toglie senso fisico alle equazioni linearizzate, dall’altro fornisce un sistema ben più maneggevole del precedente.

E’ infatti noto che un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali lineari è estremamente più semplice da risolvere numericamente, e talvolta è addirittura possibile ricavarne la soluzione analitica.

Peraltro, quando le condizioni al contorno di oscillazioni sono esprimibili mediante una combinazione lineare di funzioni sinusoidali e/o cosinusoidali, è possibile ricorrere al cosiddetto

metodo fasoriale, il quale, chiamando in ballo opportuni campi complessi detti campi fasoriali,

consente di ricavare la soluzione stazionaria del sistema eliminando in esso le derivate temporali. Significativi esempi di soluzioni analitiche ricavate mediante il metodo fasoriale verranno forniti nel seguito dell’elaborato.

L’aver limitato l’applicazione del modello lineare a coefficienti variabili ai flussi laminari monofase (flussi monofase che sono sostanzialmente aria o acqua degassata e non cavitante vaporosamente) può sembrare una grossa limitazione, visto che:

• nelle applicazioni tecniche degli scambiatori di calore la turbolenza del flusso è un aspetto desiderabile e quasi sempre presente, in virtù degli incrementi dello scambio termico da esso comportati;

• la cavitazione acustica vaporosa si è vista essere un fenomeno ritenuto rilevante dalla quasi totalità degli autori della rassegna bibliografica.

I concetti alla base di una possibile estensione del modello matematico a flussi turbolenti e/o cavitanti verranno forniti nel successivo sottoparagrafo.

Del modello lineare a coefficienti variabili non verranno riportati esempi di applicazioni, in quanto la sua applicazione al caso generale comporta lo sviluppo di opportuni codici di calcolo, operazione che esula dagli scopi del presente elaborato.

Questo modello è comunque molto importante in quanto esegue la linearizzazione delle equazioni di Navier-Stokes nella sua forma più generica, formale e completa possibile, fornendo la base metodologica per tutte le successive modellazioni matematiche. Inoltre, esso ha tutti i presupposti per essere il tanto ricercato giusto equilibrio fra precisione nella previsione e costo della sua computazione, in quanto riesce a tener conto delle varie disomogeneità termiche e dinamiche, spesso fortemente presenti negli scambiatori di calore, risolvendo dei sistemi differenziali completamente lineari.

2.2.2 Alcune possibili linee guida per l’estensione del modello lineare a

Nel documento Analisi dell'influenza dei campi acustici sullo scambio termico per convezione e possibili applicazioni agli scambiatori di calore (pagine 154-168)