UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA
Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Ingegneria dell’Informazione IV appello di Fisica Generale 2 – 14 Settembre 2020
Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________
Problema 1
Quattro cariche puntiformi, 𝑞1= 𝑞2= 𝑞 e 𝑞3= 𝑞4=– 𝑞sono poste ai vertici di un quadrato di lato 𝑑 = 0.3 m come in figura. Calcolare, sapendo che l’energia elettrostatica del sistema è 𝑈 = −0.4 J:
1) il valore della carica q
Si pone la carica 𝑞′= 2 μC nel punto P, posto a metà fra 𝑞3 e 𝑞4. Calcolare
2) il lavoro W fatto da un agente esterno per portare la carica 𝑞′ dal punto P al centro C del quadrato 3) la forza 𝐹⃗ da applicare per mantenere 𝑞′ ferma in C
1) L’energia elettrostatica del sistema si ottiene sommandola, senza ripetizioni, su tutte le coppie di cariche, ossia
𝑈 = 1
4𝜋𝜀0
∑𝑞𝑖𝑞𝑗 𝑖≠𝑗 𝑟 Nel caso specifico si ha pertanto
𝑈 = 1
4𝜋𝜀0(𝑞2 𝑑 − 𝑞2
𝑑√2−𝑞2 𝑑 −𝑞2
𝑑 − 𝑞2 𝑑√2+𝑞2
𝑑) = − 1 4𝜋𝜀0
2𝑞2
𝑑√2= − 1 4𝜋𝜀0
𝑞2√2 𝑑 da cui si ricava
𝑞 = √−4𝜋𝜀0𝑈𝑑
√2 = 3.07 × 10−6 C 2) Il lavoro dell’agente esterno è
𝑊 = Δ𝑈 = 𝑞′(𝑉𝐶− 𝑉𝑃) = −𝑞′𝑉𝑃
essendo nullo rispetto ad infinito il potenziale al centro. Quindi, poiché la distanza fra P e le cariche positive è 𝑑 √5 2⁄ e quella fra P e le cariche negative 𝑑 2⁄ , il lavoro da spendere per lo spostamento è
𝑊 = −𝑞′( 1 4𝜋𝜀0
2𝑞 𝑑√5+ 1
4𝜋𝜀0
2𝑞 𝑑√5− 1
4𝜋𝜀0
2𝑞
𝑑 − 1
4𝜋𝜀0
2𝑞
𝑑) = 𝑞′𝑞 𝜋𝜀0𝑑
√5 − 5
5 = −0.407 J
3) Al centro del quadrato le componenti orizzontali del campo elettrostatico per ogni coppia di cariche uguali si annullano. Le componenti verticali invece si sommano. Il campo in C è quindi diretto lungo la verticale verso il basso con modulo
𝐸 = 4 ( 1 4𝜋𝜀0
𝑞
𝑑22) = 1.73 × 106 V/m
La forza da applicare è pertanto uguale e opposta a quella esercitata dal campo: è diretta verso l’alto e ha modulo 𝐹 = 𝑞′𝐸 = 3.47 N
–
+
q
4q
3
P d
+
–
q
1q
2
C
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Problema 2
Una bobina piatta composta da N = 40 spire piane quadrate di lato ℓ = 0.01 m è percorsa dalla corrente stazionaria i.
Il momento di dipolo magnetico della bobina è
𝑚⃗⃗⃗ = 𝑚𝑥𝑢⃗⃗𝑥+ 𝑚𝑦𝑢⃗⃗𝑦= (0.003 Am2)𝑢⃗⃗𝑥+ (0.007 Am2)𝑢⃗⃗𝑦 e la bobina è immersa in un campo magnetico
𝐵⃗⃗ = 𝐵𝑥𝑢⃗⃗𝑥+ 𝐵𝑧𝑢⃗⃗𝑧= (0.2 T)𝑢⃗⃗𝑥+ (0.3 T)𝑢⃗⃗𝑧
.
Calcolare:
a) l’intensità di corrente i
b) il modulo del momento meccanico subito dalla bobina M
c) il lavoro necessario per allineare il dipolo magnetico al campo magnetico W
a) Il modulo del momento di dipolo magnetico della bobina è 𝑚 = √𝑚𝑥2+ 𝑚𝑦2= 𝑖𝐴 = 𝑖𝑁ℓ2 da cui
𝑖 =√𝑚𝑥2+ 𝑚𝑦2
𝑁ℓ2 = 1.9 A b) Il momento meccanico subito è dato da
𝑀⃗⃗⃗ = 𝑚⃗⃗⃗ × 𝐵⃗⃗
ossia
𝑀⃗⃗⃗ = |
𝑢⃗⃗𝑥 𝑢⃗⃗𝑦 𝑢⃗⃗𝑧
𝑚𝑥 𝑚𝑦 0 𝐵𝑥 0 𝐵𝑧
| = 𝑚𝑦𝐵𝑧𝑢⃗⃗𝑥− 𝑚𝑥𝐵𝑧𝑢⃗⃗𝑦− 𝑚𝑦𝐵𝑥𝑢⃗⃗𝑧
per cui il suo modulo è
𝑀 = √(𝑚𝑦𝐵𝑧)2+ (𝑚𝑥𝐵𝑧)2+ (𝑚𝑦𝐵𝑥)2= 2.68 × 10−3 Nm c) Il lavoro è pari a
𝑤 = ∆𝑈 = (−𝑚⃗⃗⃗ ⋅ 𝐵⃗⃗)𝑓− (−𝑚⃗⃗⃗ ⋅ 𝐵⃗⃗)𝑖= −𝑚𝐵 + 𝑚𝑥𝐵𝑥= 𝑚𝑥𝐵𝑥− 𝑚√𝐵𝑥2+ 𝐵𝑧2= −2.1 × 10−3 J
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Problema 3
Due fasci laser identici, in fase, polarizzati linearmente nella direzione z uscente dal foglio percorrono lo stesso cammino ottico arrivando in un certo punto in cui si misura un’intensità totale pari a 𝐼𝑇 = 10 mW/m2.
1) Quanto vale l’intensità 𝐼𝐿 della luce emessa da ciascun laser?
2) Se ora si interpone una coppia di polarizzatori sottili sul cammino del laser 1, disposti in modo da avere l’asse ottico inclinato di 𝜃1= +45° e di 𝜃2= 0° rispetto alla verticale uscente dal foglio, quanto valgono la nuova intensità totale 𝐼′𝑇 e il campo elettrico 𝐸⃗⃗?
3) Se si sposta il secondo polarizzatore da 0° a -45° rispetto alla verticale uscente dal foglio quanto vale ora l’intensità totale 𝐼"𝑇?
1) Dato che percorrono lo stesso cammino e partono in fase, arrivano in fase al punto d’incidenza finale, pertanto 𝐼𝑇 = 𝐼1+ 𝐼2+ 2√𝐼1𝐼2cos 𝛿 = 4𝐼𝐿
dove 𝐼1= 𝐼2 e lo sfasamento è nullo. Di conseguenza 𝐼𝐿= 𝐼1= 𝐼2=𝐼𝑇
4 = 2.5 mW/m2 2) Il primo polarizzatore riduce l’intensità secondo la legge di Malus a
𝐼′1= 𝐼1cos2𝜋
4= 1.25 mW/m2
e sposta la direzione di polarizzazione a +45°, mentre il secondo la riduce ulteriormente a 𝐼"1= 𝐼′1cos2(−𝜋
4) = 0.625 mW/m2 riportando la direzione di polarizzazione sulla verticale.
La nuova intensità totale è data dall’interferenza di 2, immutato, e 1 che è stato ridotto ma riportato sullo stesso piano di polarizzazione:
𝐼′𝑇= 𝐼"1+ 𝐼2+ 2√𝐼1𝐼2cos 𝛿 = 5.625 mW/m2
dove lo sfasamento è sempre zero, perché i polarizzatori sottili non hanno cambiato la fase. Di conseguenza , assumendo propagazione nel vuoto (n =1), il campo elettrico è tutto nella direzione uscente dal foglio e vale :
𝐸⃗⃗ = √2𝐼′𝑇𝑍0
𝑛 𝑢⃗⃗𝑧= (2.06 V/m)𝑢⃗⃗𝑧
3) Spostando il secondo polarizzatore in modo che sia a 90° rispetto al primo si annulla completamente il campo elettrico del laser 1, dopo la coppia di polarizzatori pur mantenendo la luce tra i due polarizzatori, pertanto l’intensità totale risulta essere solo quella dovuta al laser 2:
𝐼"𝑇 = 𝐼2= 2.5 mW/m2
