Compito Parziale di Geometria
06/06/2017 tempo 2h 30m
Dr. Matteo Penegini Dr. Ettore Carletti
Esercizio 1. Siano X e Y gli spazi topologici ottenuti dai seguenti poligoni piani mediante le identificazioni indicate in figura.
d b
a
c b a
¿
X
P P
P
P
P
P
Y
P’ P’
P’ P’
c’
e
d’
e
(1) Si determini ⇡1(X, P ).
(2) Si consideri la superficie topologica compatta Z ottenuta da X e Y iden- tificando i lati c e d di X con i lati c0 e d0 di Y ed il punto P di X con il punto P0 di Y . Si riconosca Z.
(3) Sia W lo spazio topologico ottenuto privando il toro T di due punti distinti qualunque. Si provi che X ha lo stesso tipo di omotopia di W .
(4) Si consideri l’inclusione i : W ! T e si determini il nucleo dell’applicazione indotta da i fra ⇡1(W ) e ⇡1(T ).
Esercizio 2. In R3 dotato della topologia euclidea, si fissi un riferimento carte- siano Oxyz. Siano:
A :={(x, y, z) 2 R3|y = 0, x 0, z 0};
B :={(x, y, z) 2 R3|x = 0, y 0, z 0};
C :={(x, y, z) 2 R3|x + y = 1, z = 1};
D :={(x, y, z) 2 R3|x + y = 1, z = 2};
Siano infine X := A[ B [ C [ D e Y la proiezione ortogonale di X sul piano z = 0 dotati entrambi della topologia indotta.
(1) Si determini una presentazione di ⇡1(X, O), dove O = (0, 0, 0).
(2) Si determini una presentzione di ⇡1(Y, O).
(3) Esiste una retrazione di X su Y ?
Esercizio 3. Dare la definizione di rivestimento e rivestimento universale e fare degli esempi.
Esercizio 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 3 P
Punti 4 4 4 4 4 4 4 3 31
Punti Raggiunti
1
