VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E/F Liceo Sportivo – 28 settembre 2017 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 5 ottobre 2017 NOME E COGNOME _____________________________________________________________
1 Consideriamo l'equazione
3 x=7 x
Individua l'affermazione esatta, motivando la scelta.
A) è impossibile B) è indeterminata C) è determinata D) Ha due soluzioni
2 Consideriamo l'equazione 4 3 x+3
4=1 2+5
3 x
Stabilire per ciascuna delle seguenti affermazioni se sono vere o false, motivando ogni scelta.
A) è un'equazione fratta B) x=0 è soluzione
C) x=0,75 è soluzione D) è equivalente all'equazione 4 x= 3
3 Risolvere la seguente equazione.
(x−1)2
2 −(x+2)(x−2)−2 x
3 =(x−3)2
6 −2 x−1 2
4 Risolvere la seguente equazione
1+ 1−2 x
6 x−4 x2= 2 x 2 x−3− 1
2 x
5 Con due qualità di caffè, una da 3 €/Kg e l'altra da 5 €/Kg, si vuole ottenere un quintale di miscela da 3,25 €/Kg. Quanti Kg della prima e quanti Kg della seconda occorre prendere?
VALUTAZIONE
Argomenti: ripasso sulle equazioni di primo grado e fratte e sui problemi di primo grado. Capitolo 8 volume1 del libro di testo.
Valutazione delle risposte.
2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.
1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.
1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.
1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.
1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.
1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.
0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.
0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.
0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.
0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.
I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http://www.lacella.it/profcecchi BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it
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1 Consideriamo l'equazione 3 x=7 x
Individua l'affermazione esatta, motivando la scelta.
A) è impossibile B) è indeterminata C) è determinata D) Ha due soluzioni
L'affermazione esatta è quella alla lettera C.
Infatti si può constatare in modo del tutto ovvio che x=0 è l'unica soluzione dell'equazione e quindi che tale equazione è determinata.
Queste prime righe costituiscono già una risposta accettabile.
Se non risultasse abbastanza ovvio possiamo convincerci della cosa prima intuendo che x=0 è soluzione e verificarlo nell'equazione per averne conferma:
3×0=7×0 l'uguaglianza è vera. 0 è soluzione.
Poi verifichiamo che un altro valore non è soluzione, per esempio x=1:
3×1=7×1 l'uguaglianza è falsa. 1 non è soluzione.
La stessa cosa succederebbe per qualsiasi altro valore diverso da 0 dovessimo scegliere al posto di 1. Dunque ci rendiamo conto abbastanza facilmente che 0 è l'unica soluzione, e quindi che si tratta di un'equazione determinata con un'unica soluzione.
Ma se questo modo di ragionare risulta troppo lontano dalla nostra “confort zone”, possiamo sempre risolvere l'equazione alla vecchia maniera:
3 x−7 x=0
(3−7) x=0
−4 x=0 x=0
Determinando l'unica soluzione 0 e quindi che l'equazione è determinata con una sola soluzione.
2 Consideriamo l'equazione 4 3x+3
4=1 2+5
3x
Stabilire per ciascuna delle seguenti affermazioni se sono vere o false, motivando ogni scelta.
A) è un'equazione fratta B) x=0 è soluzione
C) x=0,75 è soluzione D) è equivalente all'equazione 4 x= 3
A) FALSO
Per definizione le equazioni fratte hanno espressioni con incognite anche nei denominatori, ma non è questo il caso.
B) FALSO Sostituiamo x=0
4
3×0+3 4=1
2+5 3×0 3
4=1 2 e otteniamo una uguaglianza falsa.
C) VERO
Sostituiamo x=0,75
4
3×0,75+3 4=1
2+5 3×0,75 4
3×3 4+3
4=1 2+5
3×3 4 1+3
4=1 2+5
4 7
4=7 4 e otteniamo una uguaglianza vera.
D) VERO
Le due equazioni hanno la stessa soluzione x=3
4 come si è visto anche alla lettera C.
3 Risolvere la seguente equazione.
(x−1)2
2 −(x+2)(x−2)−2 x
3 =(x−3)2
6 −2 x−1 2
Mi sbarazzo subito dei denominatori moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per 6, ovvero per il minimo comun denominatore.
3(x−1)2−2 [(x+2)( x−2)−2 x ]=(x−3)2−3[2 x−1]
Applico i prodotti notevoli “quadrato del binomio” e “somma per differenza”
3(x2−2 x+1)−2[ x2−4−2 x ]=x2−6 x+9−3[2 x−1]
Applico la proprietà distributiva
3 x2−6 x+3−2 x2+8+4 x= x2−6 x +9−6 x+3 Per il solito “miracolo scolastico” i monomi con x2 si eliminano a vicenda
−6 x+3+8+4 x =−6 x+9−6 x+3
A questo punto applico il primo principio di equivalenza e raduno i monomi con x a sinistra e i termini noti a destra del simbolo =
−6 x+4 x+6 x+6 x =−3−8+9+3 Eseguendo le addizioni
10 x=1
e infine, applicando il secondo principio di equivalenza
x= 1 10
4 Risolvere la seguente equazione
1+ 1−2 x
6 x−4 x2= 2 x 2 x−3− 1
2 x
Si tratta di un'equazione fratta, dunque prima di partire con le manipolazioni delle espressioni devo porre delle condizioni di esistenza. Devo cioè assicurarmi che le divisioni siano definite.
Parto dal denominatore più semplice, deve essere 2 x≠0 ovvero x≠0
Un altro denominatore piuttosto semplice, deve essere 2 x−3≠0 ovvero x≠3 2 Infine affrontiamo il denominatore apparentemente più complicato: 6 x−4 x2≠0
Come al solito, oltre alle nostre competenze matematiche, usiamo anche un po' di astuzia scolastica.
In questo tipo di esercizi va sempre a finire che il denominatore più complicato è il prodotto di quelli più semplici. In effetti se ci fate caso: 2 x(3−2 x )=6 x−4 x2 che poi è esattamente l'opposto del prodotto dei due denominatori precedenti. Di buono c'è che le condizioni per la sue esistenza le abbiamo già poste, di brutto c'è che dobbiamo stare molto attenti ai segni.
Possiamo cominciare a manipolare le espressioni per arrivare alle soluzioni. Riconduciamo tutto allo stesso denominatore.
4 x2−6 x+2 x−1
4 x2−6 x =4 x2−2 x+3 4 x2−6 x
A questo punto la verità dell'uguaglianza dipende soltanto dai numeratori e quindi possiamo disinteressarci dei denominatori.
4 x2−6 x+2 x−1=4 x2−2 x+3
Come ci aspettavamo tutti quanti, i monomi di secondo grado si eliminano a vicenda.
−6 x+2 x−1=−2 x+3
Applichiamo il primo principio di equivalenza e raduniamo i monomi con la x a destra e i termini noti a sinistra del simbolo =
−6 x+2 x+2 x=1+3 Eseguiamo le addizioni
−2 x=4 E infine applichiamo il secondo principio di equivalenza
x=−2
La soluzione è accettabile perché soddisfa le condizioni di esistenza che abbiamo posto all'inizio.
5 Con due qualità di caffè, una da 3 €/Kg e l'altra da 5 €/Kg, si vuole ottenere un quintale di miscela da 3,25 €/Kg.
Quanti Kg della prima e quanti Kg della seconda occorre prendere?
Dobbiamo seguire tre fasi.
• Fase 1: analizzo il problema e individuo le incognite, cioè decido quale numero incognito indicare con la lettera x.
• Fase 2: imposto l'equazione.
• Fase 3: risolvo l'equazione.
Al termine di queste tre fasi potrò fornire la risposta alla domanda che mi è stata rivolta.
Fase 1
Le grandezze da determinare sono due, si tratta di un problema in due variabili? No, perché la somma delle due quantità è in ogni caso 1 quintale, quindi sono strettamente legate fra loro.
Indicherò con x il numero di Kg della qualità da 3 €/Kg Di conseguenza il numero di Kg dell'altra qualità sarà 100 – x
Si poteva fare anche viceversa, è assolutamente irrilevante ai fini della soluzione del problema.
Fase 2
Con una miscela da 3,25 €/Kg il costo di un quintale è 325 €. Tale costo sarà determinato dai costi totali separati di ciascuna qualità. Dunque possiamo impostare l'equazione in questo modo:
325=3 x+5(100−x ) Fase 3
Risolviamo l'equazione
325=3 x +500−5 x 2 x=175
x=87,5
e di conseguenza 100−x=12,5 Conclusione:
Occorre prendere 87,5 Kg della prima qualità e 12,5 Kg della seconda qualità.
