VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E Liceo Sportivo – 10 maggio 2018 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 17 maggio 2018 NOME E COGNOME _____________________________________________________________ 1

VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E Liceo Sportivo – 10 maggio 2018

Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 17 maggio 2018 NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Risolvere l'equazione

k x

²

−8 x+15=0

al variare di k.

2

Disegnare nel piano cartesiano le parabole rappresentate dalle seguenti equazioni:

y=2 x

²

−6 x

y=−3 x

²

+6 x−3

y=−4 x

²

−16 x−16

y= 1 2 x

²

−2

3

Un corpo viene lanciato verso l'alto con una velocità iniziale di 49 m/s. Dopo quanto tempo ricade a terra? [Approssimiamo l'accelerazione di gravità a 9,8 m/s²]

4

Risolvere la seguente equazione:

(4 x

²

−3)

⁴

−(4 x

²

−3)

²

−12=0 5

Risolvere la seguente equazione:

8 x

⁷

−19 x

⁴

−27 x+5=5

Equazioni di secondo grado e grado superiore (cap.4 del libro di testo)

VALUTAZIONE

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.

È consentito l'uso della calcolatrice pura, non è consentito l'uso del telefono mobile.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http://www.lacella.it/profcecchi

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1

Risolvere l'equazione

k x

²

−8 x+15=0

al variare di k.

Osserviamo subito che con k =0 l'equazione è di primo grado è ha soluzione: x= 15 8 . Adesso supponiamo

k ≠0

e risolviamo l'equazione rispetto a x.

Grazie alla formula risolutiva: x= 8± √ ^{64−60 k}

2 k = 8±2 √ ^{16−15 k}

2 k = 4± √ ^{16−15 k}

k .

A questo punto studiamo il segno del discriminante.

L'equazione ha soluzioni se 16−15 k≥0 . In particolare per k <0∨0<k≤ 16

15 le soluzioni sono x= 4+ √ ^{16−15 k}

k ∨ x= 4− √ ^{16−15 k}

k .

Per k = 16

15 l'unica soluzione è x= 4 k = 4 15

16 = 15 4 . Per k > 16

15 il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali.

2

Disegnare nel piano cartesiano le parabole rappresentate dalle seguenti equazioni:

y=2 x

²

−6 x

y=−3 x

²

+6 x−3

y=−4 x

²

−16 x−16

y= 1 2 x

²

−2

Per disegnare al meglio le parabole a mano libera è fondamentale determinare asse di simmetria, vertice, intersezioni con gli assi. Se tutto ciò non fosse sufficiente potremmo calcolare anche qualche altro punto.

Parabola di equazione y=2 x

²

−6 x Asse di simmetria: x= 3

2 Vertice V ( 3

2 ;− 9 2 )

Intersezioni con gli assi O(0 ;0) B (3 ;0)

I grafici sono stati realizzati con GeoGebra.

Parabola di equazione y=−3 x

²

+6 x−3 Asse di simmetria: x=1

Vertice V (1 ; 0)

Intersezioni con gli assi V (1 ; 0) C (0 ;−3)

Parabola di equazione y=−4 x

²

−16 x−16 Asse di simmetria: x=−2

Vertice V (−2 ;0)

Intersezioni con gli assi

V (−2 ;0) C (0 ;−16)

Parabola di equazione y= 1 2 x

²

−2 Asse di simmetria: x=0

Vertice V (0 ;−2) Intersezioni con gli assi

A(−2 ;0) B(2 ;0) V (0 ;−2)

3

Un corpo viene lanciato verso l'alto con una velocità iniziale di 49 m/s. Dopo quanto tempo ricade a terra?

[Approssimiamo l'accelerazione di gravità a 9,8 m/s²]

Dobbiamo prendere in prestito dalla fisica le equazioni del moto uniformemente accelerato.

s=s

₀

+v

₀

t+ 1 2 a t

²

v=a t+v

₀

Il corpo viene lanciato verso l'alto ma subisce l'accelerazione di gravità. In virtù della velocità iniziale il corpo sale, ma in virtù dell'accelerazione di gravità (di verso opposto) la sua velocità diminuisce fino ad annullarsi.

0=−9,8 t+49

. Il corpo raggiunge il punto più alto all'istante

t= 49

9,8 = 5

secondi. In quell'istante la velocità è nulla.

L'altezza raggiunta è

s=0+49×5− 1

2 9,8×5

²

= 245−122,5=122,5

metri.

Da quel momento il corpo ricade giù soggetto alla forza di gravità, con velocità iniziale nulla. Per sapere in quanto tempo tocca terra occorre risolvere questa equazione di secondo grado:

0=122,5− 1

2 9,8t

² da cui ricaviamo facilmente:

25=t

^{2 ovvero}

t=5

secondi.

Ricapitolando, il corpo impiega 5 secondi per salire e 5 secondi per precipitare, per un totale di 10 secondi che trascorrono da quanto il corpo viene lanciato a quando il corpo ricade a terra.

Nota: l'idea era quella di applicare le equazioni di secondo grado ad un problema di fisica, purtroppo mi è sfuggito il fatto che nel corso di fisica è stata mostrata anche una formula diretta per calcolare l'istante di caduta:

t=2 v

₀

g

^.

Utilizzando tale formula infatti:

t= 2×49

9,8 =10

.

In effetti tale formula si ottiene proprio dalle formule del moto uniformente accelerato risolvendo l'equazione:

− 1

2 g t

²

+v

₀

t=0

alla solita maniera

t (− 1

2 g t+v

₀

)=0

che ha come soluzioni

t=0∨t=2 v

₀

g

^.

Qualcuno potrebbe pensare anche alla variazione di energia cinetica:

1

2 mv

²

− 1

2 mv

₀²

= m g h

, da cui, togliendo m da entrambi i membri:

1

2 (v

²

−v

₀²

)= g h

ovvero

v

²

−v

₀²

= 2 g h

. Questo formula però non ci dice niente di nuovo, se non che i dati sono coerenti, infatti l'uguaglianza

0

²

−49

²

=2×9,8×122,5

è verificata (interpretando il segno meno come il verso di un vettore).

4

Risolvere la seguente equazione:

(4 x

²

−3)

⁴

−(4 x

²

−3)

²

−12=0

Non conviene assolutamente sviluppare le potenze (ammesso di saperlo fare), ci troveremmo di fronte una misteriosa equazione di ottavo grado e difficilmente troveremmo qualche modo di risolverla.

Se osserviamo bene dentro le parentesi tonde, noteremo lo stesso polinomio

4 x

²

−3

. Dunque l'idea geniale che potremmo mettere in pratica è sostituire l'incognita chiamando

y=4 x

²

−4

e cominciare a risolvere l'equazione:

y

⁴

− y

²

−12=0

che è di quarto grado, ma che rientra in una di quelle casistiche che abbiamo imparato ad affrontare. Facciamo finta che sia di secondo grado e risolviamola. Senza andare a scomodare la formula risolutiva osserviamo facilmente che

−12=−3×4

e che

−3+4=1

.

Abbiamo così due soluzioni:

y

²

=−3∨ y

²

=4

. La prima non possiamo accettarla perché negativa. Abbiamo così che

y=4∨ y=−4

.

Ricordiamoci ora della sostituzione operata all'inizio:

4 x

²

−3=2∨4 x

²

−3=−2

. Abbiamo due equazioni che meritano entrambe di essere risolte. Cominciamo dalla prima:

4 x

²

−3=2

^ovvero

4 x

²

=5

^ovvero

x

²

= 5

4

^ovvero

x= √ 5

2 ∨ x=− √ 5 2

^.

Risolviamo ora la seconda equazione:

4 x

²

−3=−2

^ovvero

4 x

²

=1

^ovvero

x

²

= 1

4

^ovvero

x= 1

2 ∨ x=− 1 2

^.

Ricapitolando, abbiamo trovato quattro possibili soluzioni per la nostra equazione di ottavo grado:

x= √ ⁵

2 ∨x=− √ ⁵

2 ∨ x= 1

2 ∨ x=− 1

2

5

Risolvere la seguente equazione:

8 x

⁷

−19 x

⁴

−27 x+5=5

Non lasciamoci prendere dal panico e affrontiamo l'equazione osservandola bene.

Prima di tutto possiamo sbarazzarci di quel 5 ad entrambi i membri.

8 x

⁷

−19 x

⁴

−27 x=0

Vista così, ci fa notare che possiamo raccogliere una x come fattore comune:

x (8 x

⁶

−19 x

³

−27)=0

Si vedeva anche prima, ma adesso si vede meglio, che una delle soluzioni è

x=0

, grazie al principio di annullamento del prodotto. Inoltre, sempre grazie allo stesso principio, possiamo trovare le altre soluzioni risolvendo:

8 x⁶−19 x³−27=0 ^.

Si tratta di un'equazione di sesto grado, ma rientra in una di quelle casistiche in cui possiamo “fare finta” che sia un'equazione di secondo grado:

8(x

³

)

²

−19 x

³

−27=0

Applichiamo dunque la formula risolutiva;

x

³

= 19± √ ^361+864

16 = 19± √ ¹²²⁵

16 = 19±35 16

Seguendo la strada col “+” otteniamo:

x

³

= 54 16 = 27

8

^{e quindi}

x= 3 2

^.

Seguendo la strada col “-” otteniamo invece

x

³

=− 16

16 =−1

ovvero

x=−1

.

Ricapitolando, abbiamo trovato tre soluzioni:

x=0∨x=−1∨x= 3

2