VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E Liceo Sportivo – 1 dicembre 2017
Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 11 dicembre 2017 NOME E COGNOME _____________________________________________________________
1 I pesi dei neonati nel reparto di ostetricia nella settimana dal 3 al 9 giugno sono stati i seguenti (le misure sono in grammi):
2760 – 3450 – 3500 – 4230 – 2860 – 2560 – 4120 – 3540 – 5020 – 3570 – 3760 – 3750 4100 – 2300 – 1780 – 2570 – 2580 – 3600 – 2100 – 2200 – 4860 – 2470 – 1850 – 3000 Rappresenta mediante una tabella le frequenze assolute e relative dei pesi, considerando classi di frequenza di ampiezza 400 g.
2 Si lancia un dado per un certo numero di volte. I risultati dei lanci vengono sistemati in questa tabella:
Numero uscito 1 2 3 4 5 6
Frequenza relativa 0,2 0,12 0,32 0,1 0,22
Qual è la frequenza mancante ? Se il 3 è uscito 30 volte, quanti sono stati i lanci? Alla fine completa la tabella inserendo le frequenze assolute.
3 La finale dei 100 m piani alle Olimpiadi 2012 ebbe questo esito:
1. Bolt (9,63) 2. Blake (9,75) 3. Gatlin (9,79) 4. Gay (9,80) 5. Bailey (9,88) 6. Martina (9,94) 7.
Thompson (9,98).
Calcolare la media e la deviazione standard dei tempi (approssimando al centesimo di secondo).
4 Determina media aritmetica, media armonica, varianza, moda e mediana di questo insieme di dati:
12 – 15 – 14 – 16 – 18 – 15 – 14 – 14 – 16 – 15
5 La media aritmetica di tre numeri naturali dispari consecutivi è minore di 39 e maggiore di 27. In quale intervallo può variare il minore dei tre numeri?
VALUTAZIONE
Argomenti: statistica descrittiva, tabelle, classi di frequenza, frequenze assolute e relative, medie varie, moda e mediana, deviazione standard.
Capitolo 11 del libro di testo.
Valutazione delle risposte.
2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.
1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.
1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.
1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.
1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.
1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.
0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.
0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.
0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.
0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.
I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http://www.lacella.it/profcecchi BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it
1 I pesi dei neonati nel reparto di ostetricia nella settimana dal 3 al 9 giugno sono stati i seguenti (le misure sono in grammi):
2760 – 3450 – 3500 – 4230 – 2860 – 2560 – 4120 – 3540 – 5020 – 3570 – 3760 – 3750 4100 – 2300 – 1780 – 2570 – 2580 – 3600 – 2100 – 2200 – 4860 – 2470 – 1850 – 3000
Rappresenta mediante una tabella le frequenze assolute e relative dei pesi, considerando classi di frequenza di ampiezza 400 g.
Non c'è una regola precisa su come scegliere le classi di frequenza, dipende anche dal contesto della ricerca. Nel nostro contesto scolastico la cosa più comoda è scegliere classi da 0 a 9, ovvero:
1600 - 1999 1780 – 1850 2
2000 - 2399 2300 – 2100 – 2200 3
2400 - 2799 2760 – 2560 –2570 – 2580 – 2470 5
2800 - 3199 2860 – 3000 2
3200 - 3599 3450 – 3500 – 3540 – 3570 4
3600 - 3999 3760 – 3750– 3600 3
4000 - 4399 4230 – 4120 – 4100 3
4400 - 4799 - 0
4800 - 5199 5020– 4860 2
Questa sopra non è ancora la tabella richiesta, è una tabella di servizio che ho usato per mostrare esplicitamente il conteggio dei dati secondo le classi di frequenza che ho deciso.
La tabella richiesta è la seguente, ottenuta con il foglio elettronico di OpenOffice.org
Per ottenere le frequenze relative ho impostato nelle celle una formula che divide la frequenza assoluto per il totale. La conversione in percentuale è opera del software.
Calcolando alla vecchia maniera , per esempio per la classe 1600-1999, otteniamo:
2
24×100=8, 3 approssimato in tabella come 8%
1600 - 1999
2 8%2000 - 2399
3 13%2400 - 2799
5 20%2800 - 3199
2 8%3200 - 3599
4 17%3600 - 3999
3 13%4000 - 4399
3 13%4400 - 4799
0 0%4800 - 5199
2 8%totale 24 100%
2 Si lancia un dado per un certo numero di volte. I risultati dei lanci vengono sistemati in questa tabella:
Numero uscito 1 2 3 4 5 6
Frequenza relativa 0,2 0,12 0,32 0,1 0,22
Qual è la frequenza mancante ? Se il 3 è uscito 30 volte, quanti sono stati i lanci? Alla fine completa la tabella inserendo le frequenze assolute.
La frequenza relativa è il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero totale degli eventi, in questo caso dei lanci. Dunque sarà un numero x tale che 0<x<1 , ma la cosa che ci interessa di più in questo momento è che la somma di tutte le frequenze relative è 1. In formula, chiamando x la frequenza mancante: 0,2+ x+0,12+0,32+0,1+0,22=1
ovvero 0,96+ x=1 . Risolvendo questa semplice equazione otteniamo x=0,04 che è la frequenza mancante richiesta.
Per quanto riguarda la seconda richiesta, ci viene fornita l'ulteriore informazione che il 3 è uscito 30 volte per poi chiederci qual è stato il numero totale dei lanci. Anche in questo caso ricordiamoci la definizione di frequenza relativa, ovvero rapporto tra frequenza assoluta (in questo caso, per la faccia “3” è 30 volte) e il numero totale dei lanci (che non conosciamo e che per fissare le idee indicheremo con la lettera t). In formula possiamo scrivere, per quanto riguarda la faccia “3” del dado: 0,12=30
t . Risolvendo questa semplice equazione otteniamo t= 30
0,12=30
12×100=5
2×100=250 .
A questo punto siamo in grado di calcolare tutte le frequenze assolute. In generale, indicando con fa le frequenze assolute e con fr le frequenze relative, per ciascuna faccia dovremo eseguire il calcolo:
fa= fr ×250 . Ed ecco dunque la tabella completa con le frequenze assolute
Numero uscito 1 2 3 4 5 6 totale
Frequenza assoluta 50 10 30 80 25 55 250
Frequenza relativa
3 La finale dei 100 m piani alle Olimpiadi 2012 ebbe questo esito:
1. Bolt (9,63) 2. Blake (9,75) 3. Gatlin (9,79) 4. Gay (9,80) 5. Bailey (9,88) 6. Martina (9,94) 7. Thompson (9,98).
Calcolare la media e la deviazione standard dei tempi (approssimando al centesimo di secondo).
I tempi di questo tipo di gare sono misurati in secondi, decimi di secondo e centesimi di secondo.
Dunque possiamo trattare questi numeri utilizzando il sistema decimale, anche se si tratta di tempi.
Calcoliamo la media aritmetica, approssimando a due cifre decimale, come ci suggerisce il contesto.
9,63+9,75+9,79+9,80+9,88+9,94+9,98
7 ≈9,82
Calcoliamo ora la deviazione standard (scarto quadratico medio)
√
(9,63−9,82)2+(9,75−9,82)2+(9,79−9,82)2+(9,80−9,82)2+(9,88−9,82)2+(9,94−9,82)2+(9,98−9,82)27 =...
...=
√
(0,19)2+(0,07)2+(0,03)2+(0,02)7 2+(0,06)2+(0,12)2+(0,14)2=......=
√
0,0361+0,0049+0,009+0,0004+0,0036+0,0144+0,01967 =
√
0,07997 ≈0,11Qui finisce l'esercizio. Questi dati potrebbero essere confrontati con i corrispondenti dati riferiti ad un altra gara: la media aritmetica ci darà un'informazione sulla qualità della gara, tanto più bassa sarà la media tanto più alta la bravura degli atleti partecipanti. La deviazione standard invece ci dà un'informazione sulla distribuzione della qualità degli atleti, un valore basso della deviazione standard ci direbbe che la gara è stata incerta e combattuta, mentre un valore alto della deviazione standard ci direbbe che hanno partecipato atleti molto veloci ma anche degli atleti molto lenti.
Può essere molto utile, per eseguire i calcoli il solito foglio elettronico.
tempi scarti q.
9,63 0,0377
9,75 0,0055
9,79 0,0012
9,80 0,0006
9,88 0,0031
9,94 0,0134
9,98 0,0242
media varianza
9,82 0,0123
deviazione standard 0,11
4 Determina media aritmetica, media armonica, varianza, moda e mediana di questo insieme di dati:
12 – 15 – 14 – 16 – 18 – 15 – 14 – 14 – 16 – 15
I dati forniti sono 10.
Media aritmetica:
12+15+14+16+18+15+14+14+16+15
10 =149
10 =14,9 Media armonica:
1 1
12+ 1 15+ 1
14+ 1 16+ 1
18+ 1 15+ 1
14+ 1 14+ 1
16+ 1 15 10
≈14,74
Varianza
(12−14,9)2+(15−14,9)2+(14−14,9)2+(16−14,9)2+(18−14,9)2+(15−14,9)2+(14−14,9)2+(14−14,9 )2+(16−14,9)2+(15−14,9 )2
10 ≈2,29
Per eseguire il calcolo ho utilizzato il foglio elettronico di OpenOffice.org
Per determinare moda e mediana ordiniamo i dati in ordine crescente (anche per questo può essere utile il foglio elettronico):
12 – 14 – 14 – 14 – 15 – 15 – 15 – 16 – 16 – 18
Come moda abbiamo due valori: 14 e 15 che sono i dati più ricorrenti. La mediana corrisponde a 15
Dati reciproci Scarti^2
12 0,0833333333 8,41
15 0,0666666667 0,01
14 0,0714285714 0,81
16 0,0625 1,21
18 0,0555555556 9,61
15 0,0666666667 0,01
14 0,0714285714 0,81
14 0,0714285714 0,81
16 0,0625 1,21
15 0,0666666667 0,01
somma somma somma
149 0,6781746032 22,9
media aritm. media aritm media aritm
14,9 0,0678174603 2,29
media armon. varianza 14,745465184 2,29
5 La media aritmetica di tre numeri naturali dispari consecutivi è minore di 39 e maggiore di 27. In quale intervallo può variare il minore dei tre numeri?
Cerchiamo di tradurre in formule quanto descritto a parole nella richiesta. Tre numeri naturali dispari consecutivi potremmo rappresentarli in questo modo:
2 n+1 ; 2 n+3 ;2 n+5
Con n=0 corrispondono a primi tre numeri dispari, allo scorrere di n nei numeri naturali corrispondono a terne di numeri dispari consecutivi.
Calcoliamo la generica media aritmetica: 2 n+1+2 n+3+2 n+5
3 =6 n+9
3 =2 n+3 .
Abbiamo scoperto l'acqua calda, ovvero che il numero dispari centrale è la media aritmetica dei tre numeri dispari consecutivi.
Nella richiesta ci viene imposto che 27<2 n+3<39 . Risolviamo questo sistema di disequazioni rispetto alla variabile n, e visto che ormai siamo grandi , concediamoci anche una certa disinvoltura.
27−3<2 n<39−3 ovvero 24<2 n<36 ovvero 24
2 <n<36
2 ovvero 12<n<18 .
Dunque questi sono i numeri naturali che poi generano le terne di numeri dispari che soddisfano la condizione. Ci viene chiesto in quale intervallo può variare il più piccolo dei tre, ovvero quello che corrisponde a 2 n+1 con 12<n<18 . Facendo la strada a ritroso o ricalcolando otteniamo comunque che 2×12+1<2 n+1<2×18+1 ovvero che l'intervallo richiesto è
25<2 n+1<37 . Fine.
Può essere accettabile anche una risposta da “cervelloni” tipo: la media dei tre numeri dispari consecutivi coincide col numero centrale x, visto che il più grande è x+2 e il più piccolo è x-2. Se è vero che 27<x<39 allora è pure vero che 25< x−2<37 . Fine.
