9. Esercizi di Geometria 2

9. Esercizi di Geometria 2

(Semestre Estivo 2017)

Dr. Matteo Penegini Dr. Ettore Carletti

Esercizio 1. [Teorema di Borsuk] Non esistono applicazioni continue f : S² → S¹ tali che f (−x) = −f (x) per ogni x ∈ S².

Esercizio 2. Sia X il “cappello del somaro” cio`e lo spazio ottenuto identificando i lati del triangolo T come nella Figura ??.

i) Rappresentare X come quoziente di un poligono.

ii) Calcolare π₁(X) e π₁(X r {P }).

a

a a

• •

•P

x₁ x₁

x₁

•



 

Esercizio 3. Calcolare π₁(X_i), i = 1, 2, 3, 4, 5, dove

i) X₁ = S²∪ d dove d = {(x, y, z) ∈ R³ : x = y = 0, −1 ≤ z ≤ 1}.

ii) X₂ = S²∪ D dove D = {(x, y, z) ∈ R³ : x²+ y² ≤ 1, z = 0}.

iii) X₃ = S²∪ d ∪ D dove d `e come in i) e D come in ii).

iv) X₄ = S²∪ D ∪ D⁰ dove D `e come in ii) e D⁰ = {(x, y, z) ∈ R³ : x²+ z² ≤ 1, y = 0}.

v) X₅ = S² ∪ d ∪ d⁰ dove d `e come in i) e d⁰ = {(x, y, z) ∈ R³ : y = z = 0, −1 ≤ x ≤ 1}.

Esercizio 4. Sia X = P²(R)#P²(R) la somma connessa di piani proiettivi. Sia P ∈ X.

i) Rappresentare X come quoziente di un poligono.

ii) Calcolare π1(X) e π1(X r {P }).

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