UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PISA - FACOLTÀ DI INGEGNERIAINGEGNERIA AEROSPAZIALECORSO DI FISICA GENERALE II E ELETTRONICAProva n. 4 - 20/03/2010Soluzioni1)Immediatamente dopo la chiusura dell'interruttore, siano:Q

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PISA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA INGEGNERIA AEROSPAZIALE

CORSO DI FISICA GENERALE II E ELETTRONICA Prova n. 4 - 20/03/2010

Soluzioni

1)

Immediatamente dopo la chiusura dell'interruttore, siano:

Q0 la carica sul condensatore, VC la tensione sul condensatore, VR la tensione sul resistore, IL la corrente nell'induttore, IC la corrente nel condensatore.

Si ha:

VC=^Q_C⁰ [continuità della funzione Q(t) per il condensatore]

VR= V0- VC [legge di Kirchhoff per le maglie]

IR=^V_R^R [legge di Ohm]

IL= 0 [continuità della funzione ILHtL per l'induttore]

IC= IR+ IL [legge di Kirchhoff per i nodi]

In conclusione:

(1) IC=V0

R - Q0

R C 2)

Le quantità funzioni del tempo siano:

IR corrente nel resitore, IL corrente nell'induttore, Vg tensione del generatore, Wg potenza erogata dal generatore.

Inoltre sia:

Q0 la carica sul condensatore al tempo t= 0.

All'istante t= 0 si ha:

IL= 0 [dato del testo]

IR= I0- IL= I0 [legge di Kirchhoff per i nodi]

Vg= R I₀+ ^Q_C⁰ [legge di Kirchhoff per le maglie]

Wg= V_gI0 [potenza erogata da un generatore]

In conclusione:

(2) Wg= R I02+ Q0I0

C 3)

Con le definizioni e le considerazioni già fatte per la soluzione del punto precedente:

IR= I0- IL @legge di Kirchhoff per i nodiD R IR= L IL

° @legge di Kirchhoff per le maglieD

Risolvendo il sistema:

RHI0- ILL = L IL

° IL

° + ^R_LIL=^R_LI0

IL= I0+ A ‰^-RLt

e imponendo la condizione iniziale ILH0L = 0 per determinare A:

ILHtL = I0K1 - ‰^-RLtO IRHtL = I0‰^-RLt

Poiché IL= I_R quando IR= ^I₂⁰ (dalla prima equazione del sistema già risolto), l'istante di tempo t cercato è quello che soddisfa l'equazione:

I0‰^-RLt= ^I₂⁰

\ -^R_Lt= lnI¹₂M Infine:

(3) t= L

RlnH2L 4)

Mantenendo la notazione usata per i punti 2) e 3) e definendo le seguenti funzioni del tempo:

QHtL carica sul condensatore,

VCHtL tensione ai capi del condensatore;

si ha:

QHtL = Q0+ I₀t VCHtL =^Q_C^HtL=^Q_C⁰+ ^I_C⁰ t

e sostituendo il valore di t dalla (3):

(4) VCHtL =Q0

C +I0

C L RlnH2L 5)

Le quantità funzioni del tempo siano:

Vg f.e.m. del generatore,

Ig corrente erogata dal generatore, IR corrente nel resistore R, IL corrente nell'induttore, IC corrente nel condensatore, Q carica sul condensatore,

VC tensione ai capi del condensatore VR ' tensione ai capi del resistore R'.

Valgono le seguenti relazioni:

VC=^Q_C [definizione di capacità]

Ig=^{Vg- V}_{R '}^C [legge di Ohm]

IR=^V_R^C [legge di Ohm]

IL= Ig- IR- IC [legge di Kirchhoff per i nodi]

2 ac09-10_4s.nb

In particolare, al tempo t= 0 si ha:

QH0L = 0 e ICH0L = 0 per ipotesi, VCH0L = 0

IgH0L =^V_{R '}⁰cosj IRH0L = 0 ILH0L = Ig

e infine:

ILH0L =V0 (5) R' cosj 6)

Ammettenza del parallelo R, L, C:

Y= ¹_R+ _{Â w L}¹ + Â w C =_R¹

l'impedenza corrispondente è reale e vale:

Z3=_Y¹ = R quindi si ha:

VC= ^R

R+R 'Vg [partitore di tensione]

Il valore massimo della carica sul condensatore, in corrispondenza del valore massimo di VC e di Vg, risulta quindi:

(6) Qmax= R

R+ R' C V0

7)

Cortocircuitando il generatore e sostituendo il parallelo delle due resistenze con una resistenza equivalente Req= ^{R R'}

R+R' si ottiene un circuito RLC parallelo.

Detta adesso Ieq la corrente che attraversa la resistenza Req e mantenendo, per il resto, la notazione del punto 5), il sistema di equazioni differenziali da risolvere è:

Ieq+ IL+ IC= 0 @legge di Kirchhoff dei nodiD ReqIeq= ^Q_C @legge di Kirchhoff delle maglieD

Q^.= I_C @equazione di continuità per la caricaD ReqIeq= L I_L°

@legge di Kirchhoff delle maglieD

Il sistema, per derivazione rispetto al tempo della prima equazione e successiva sostituzione in essa delle derivate Ix

° ricavate dalle altre equazioni del sistema, si riduce a:

Q^..+ _R¹

eqCQ^. +_{L C}¹ Q= 0

Il discriminante ridotto del polinomio (di 2^o grado) caratteristico dell'equazione differenziale di cui sopra vale:

D

4 = ¹

4 R_eq² C²- _{L C}¹ = ¹

4 R_eq² C²- ⁵

R²C²= ^HR+R'L2

4 R²R'²C² - ⁵

R²C² < 0 La pulsazione delle oscillazioni smorzate vale quindi:

ws= -^D₄ e il periodo:

T= 2p (7) ws

= 4p R C

20-I^R+R'_R' M²

ac09-10_4s.nb 3

8)

Si trova facilmente l'impedenza "vista" dal generatore, considerando i trasformatori come adattatori di impedenza:

Z= R + 1 a²

1

 w C+ b²Â w L

si noti che l'induttanza è inserita nel circuito primario di uno dei trasformatori e l'impedenza equivalente è quella "vista" dal secondario: questo giustifica la diversa posizione di b (al numeratore) rispetto a quella di a.

La pulsazione di risonanza è quella che annulla la reattanza:

- 1 a²

1

w C + b²w L = 0

\ w = 1

a b L C infine, per la frequenza, si ha:

n = 1 (8) 2p a b L C

4 ac09-10_4s.nb