64 ( x + 1 ) = 125 4 cm

VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E Liceo Sportivo – 3 maggio 2018

Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 10 maggio 2018 NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Risolvere l'equazione

k x

²

−8 x+15=0

^{nei casi:}

k =1

k =0

k =− 4

3

k =15

2

Disegnare nel piano cartesiano le parabole rappresentate dalle seguenti equazioni:

y=x

²

−3 x

y=x

²

−2 x+1

y=−x

²

−4 x−4

y=−3 x

²

+3

3

Aumentando di 4 cm la lunghezza dello spigolo di un cubo, si verifica che il suo volume aumenta di

2368 cm

³ . Determinare la lunghezza dello spigolo.

4

Risolvere la seguente equazione:

x

⁶

+9 x

³

+ 8=0

5

Risolvere la seguente equazione:

64( x

⁴

+1)

³

=125

Equazioni di secondo grado e grado superiore (cap.4 del libro di testo)

VALUTAZIONE

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.

È consentito l'uso della calcolatrice pura, non è consentito l'uso del telefono mobile.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http://www.lacella.it/profcecchi

BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it Pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi

1

Risolvere l'equazione

k x

²

−8 x+15=0

^{nei casi:}

k =1

k =0

k =− 4

3

k =15

Ad ogni diverso valore di k corrisponde una diversa equazione, risolviamole tutte, una alla volta.

Caso k =1

L'equazione da risolvere è

x

²

−8 x +15=0

^.

Si osserva abbastanza facilmente che

15=3×5 ; 8=3+5

e quindi che le due soluzioni sono

x=3∨x=5

. Caso

k =0

L'equazione da risolvere è

−8 x+15=0

.

Si tratta di una banale equazione di primo grado la cui soluzione è

x= 15 8

^.

Caso

k =− 4 3

^.

L'equazione da risolvere è

− 4

3 x

²

−8 x+15=0

.

Può essere più comodo eliminare il denominatore, moltiplicando tutto il polinomio per 3 e poi studiare l'equazione equivalente:

−4 x

²

−24 x+45=0

^.

Applichiamo la formula risolutiva:

x= 24± √ ²⁴

²

^{+4 (4)(45)}

2(−4) = 24± √ 576+720

−8 = 24± √ 1296

(−8) = 24±36 (−8)

^.

Dunque le soluzioni sono

x= 3

2 ∨ x=− 15 2

^.

Caso k =15

L'equazione da risolvere è

15 x

²

−8 x+15=0

^.

Applichiamo la formula risolutiva

x= 8± √ ⁸

²

^−4(15)(15)

2(15)

ci rendiamo subito conto che il discriminante è negativo e quindi che l'equazione non ha alcuna soluzione.

2

Disegnare nel piano cartesiano le parabole rappresentate dalle seguenti equazioni:

y=x

²

−3 x

y=x

²

−2 x+1

y=−x

²

−4 x−4

y=−3 x

²

+3

Per poter fare il disegno a mano ci occorrono dei punti di riferimento. Un riferimento importantissimo nella parabola è l'asse di simmetria, in generale

x=− b

2 a

, facendo riferimento alla generica equazione y=a x²−b x+c ^. Sull'asse di simmetria trovo il vertice della parabola, la sua coordinata y posso dedurla dalla stessa equazione.

Un altro riferimento importante è l'intersezione della parabola con l'asse delle y, il punto di coordinate

(0 ; c)

. Infine, possiamo anche determinare le intersezioni con l'asse delle x risolvendo l'equazione

a x

²

−b x+c=0

^.

Naturalmente queste ultime ci fanno comodo se sono facili da piazzare sulla retta orientata. Infine possiamo trovare qualsiasi altro punto della parabola, assegnando un valore alla x e sostituendolo nell'equazione. I punti che troviamo saranno comunque sempre e solo dei riferimenti, il disegno dovrò farlo a mano libera.

y=x

²

−3 x

Asse di simmetria:

x= 3

2

^Vertice

V ( 3 2 ;− 9

4 )

Intersezioni con gli assi:

O(0 ;0) B (3 ;0)

Di seguito il disegno realizzato col software GeoGebra.

y=x

²

−2 x+1

Asse di simmetria: x=1 ; vertice:

V (1 ; 0)

; intersezioni con gli assi:

V (1 ; 0) C (0 ;1)

Di seguito il disegno realizzato col software GeoGebra.

y=−x

²

−4 x−4

Asse di simmetria:

x=−2

; vertice:

V (−2 ;0)

; intersezioni con gli assi:

V (−2 ;0) C (0 ;−4)

Di seguito il disegno realizzato col software GeoGebra.

y=−3 x

²

+3

Asse di simmetria:

x=0

; vertice:

V (0 ;3)

; intersezioni con gli assi:

V (0 ;3) A(−1 ;0) B(1 ;0)

Di seguito il disegno realizzato col software GeoGebra.

3

Aumentando di

4 cm

la lunghezza dello spigolo di un cubo, si verifica che il suo volume aumenta di 2368 cm³ . Determinare la lunghezza dello spigolo.

Chiamiamo x ciò che ci viene chiesto di determinare, ovvero la lunghezza dello spigolo.

Il volume originale del cubo è x^{3 .}

Il nuovo cubo ha uno spigolo lungo x+4 e di conseguenza un volume di

( x+4)

^{3 .}

Traduciamo in formula l'informazione che ci viene fornita:

( x+4)

³

− x

³

= 2368

^.

Utilizziamo il prodotto notevole del cubo del binomio:

x

³

+12 x

²

+48 x+64−x

³

= 2368

^ovvero

12 x

²

+ 48 x+64=2368

^ovvero

12 x

²

+ 48 x−2304=0

Si tratta di un'equazione di secondo grado che possiamo risolvere con la formula risolutiva.

x= −48± √ 2304+48×2304

24 = − 48±48 √ 49

24 =−2±14

Le soluzione dell'equazione sono x=12∨x=−16 . Considerato che stiamo cercando la lunghezza di uno spigolo, scartiamo la soluzione negativa e rispondiamo che lo spigolo del cubo originale è lungo 12 cm.

4

Risolvere la seguente equazione:

x

⁶

+9 x

³

+8=0

Possiamo considerarla un'equazione di secondo grado nell'incognita x^{3 .}

( x

³

)

²

+9 x

³

+8=0

^.

Applicando la formula risolutiva:

x

³

= −9± √ 81−32

2 = −9± √ 49

2 = −9±7 2

Da cui abbiamo che

x

³

=−1∨x

³

=−8

^.

Dunque le soluzioni sono:

x=−1∨x=−2

5

Risolvere la seguente equazione:

64( x

⁴

+1)

³

=125

Resistiamo alla tentazione di sviluppare il cubo, ci porterebbe ad un'equazione di dodicesimo grado e ci servirebbe a ben poco. Applichiamo invece subito il secondo principio di equivalenza:

( x

⁴

+1)

³

= 125 64

Ricordandoci che

5

³

=125 ; 4

³

=64

possiamo scrivere

x

⁴

+ 1= 5 4

^.

Da cui:

x

⁴

= 5

4 −1

ovvero

x

⁴

= 1

4

^ovvero

x

²

= 1

2

^ovvero

x= 1

√ ^{2 ∨ x=−}

1

√ ²

^.

Abbiamo ovviamente escluso che potesse essere

x

²

=− 1

2