VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E/F 0Liceo Sportivo – 10 novembre 2017 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 17 novembre 2017 NOME E COGNOME _____________________________________________________________ 1

VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E/F 0Liceo Sportivo – 10 novembre 2017 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 17 novembre 2017 NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Da un'indagine sulla distribuzione delle altezze di un gruppo di persone sono stati rilevati i seguenti dati grezzi (espressi in cm):

175, 168, 169, 173, 160, 165, 170, 172, 177, 172, 170, 173, 182, 164, 174, 185, 188, 164, 175, 160, 177, 176, 184, 180, 176, 168, 174, 175, 177, 183, 174, 166, 181, 173, 166, 172 ,174 ,165, 180, 190, 175, 176, 188, 171, 172, 181, 185, 184, 183, 175, 173, 181.

Raggruppa i dati in classi di ampiezza 5 cm e costruisci la distribuzione di frequenza (fai la tabella). Calcola poi frequenza assoluta e relativa.

2

Risolvere la seguente equazione:

∣ 3 x+2 ^{2 x−3} ∣ ^{= 1} 2

3

Risolvere la seguente disequazione:

∣ ^{8 x−1} 2−5 x ∣ ^{< 3} 5

4

Considerare l'equazione

(2 k +3) x−3=3(k +x )

e determinare i valori del parametro k per i quali l'equazione ha soluzione il cui valore assoluto è compreso tra 1 e 2.

5

Risolvere la seguente disequazione:

81(x−1)(x +5)( x−3)(x+10)>0

VALUTAZIONE

Argomenti: equazioni disequazioni di primo grado e fratte che contengono valori assoluti. Capitolo 10 volume1 del libro di testo. Primo approccio alla statistica descrittiva, capitolo11 del libro di testo, ripasso sulle disequazioni di primo grado, capitolo 9 del libro di testo.

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http://www.lacella.it/profcecchi BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it

Pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi

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Da un'indagine sulla distribuzione delle altezze di un gruppo di persone sono stati rilevati i seguenti dati grezzi (espressi in cm):

175, 168, 169, 173, 160, 165, 170, 172, 177, 172, 170, 173, 182, 164, 174, 185, 188, 164, 175, 160, 177, 176, 184, 180, 176, 168, 174, 175, 177, 183, 174, 166, 181, 173, 166, 172 ,174 ,165, 180, 190, 175, 176, 188, 171, 172, 181, 185, 184, 183, 175, 173, 181.

Raggruppa i dati in classi di ampiezza 5 cm e costruisci la distribuzione di frequenza (fai la tabella). Calcola poi frequenza assoluta e relativa.

Seguendo una prassi abbastanza consolidata, in questa risposta definiamo le classi facendo riferimento alle cifre delle unità 0-4 e 5-9. Qualsiasi altra scelta sarebbe stata formalmente corretta ma questa che propongo ha il vantaggio di rendere più facile il conteggio a colpo d'occhio dei dati riportati.

Conteggio:

190;

185, 188, 188, 185;

182, 184, 180, 183, 181, 180, 184, 183, 181, 181;

175, 177, 176, 176, 175, 177, 175, 176, 175, 175, 177;

173, 170, 172, 172, 170, 173, 174, 174 173, 172 , 174, 171, 172, 173, 174;

168, 169, 165, 165, 166, 166, 168;

160, 164, 164, 160.

La tabella è stata ottenuta con un foglio elettronico del pacchetto OpenOffice reperibile dal sito openoffice.org.

Per calcolare “a mano” la frequenza relativa occorre prima calcolare il totale dei dati raccolti:

4+7+15+11+10+4+1=52

Le frequenze relative sono il rapporto tra le frequenze assolute e il totale. Per ottenere la rappresentazione in forma percentuale basta moltiplicare per 100. Le eventuali approssimazioni sono a piacere. Nella tabella riportata sopra mi sono limitato a riportare i dati e ad inserire delle formule che calcolassero in forma percentuale le frequenze relative.

Classi

160-164 4 7,69%

165-169 7 13,46%

170-174 15 28,85%

175-179 11 21,15%

180-184 10 19,23%

185-189 4 7,69%

190-194 1 1,92%

totale 52 100,00%

Freq.ass Freq.rel

2

Risolvere la seguente equazione:

∣ 3 x+2 ^{2 x−3} ∣ ^{= 1} 2

Condizione di esistenza:

x≠− 2 3

Se l'argomento del valore assoluto è positivo l'equazione diventa

2 x−3 3 x +2 = 1

2

. In questa specifica situazione (il valore assoluto è un membro dell'equazione) è superfluo andare a vedere per quali valori di x l'argomento è positivo.

Risolviamo subito.

2(2 x−3)=3 x+2

, ovvero

4 x−6=3 x+2

ovvero

4 x−3 x=2+6

ovvero

x=8

.

Se l'argomento del valore assoluto è negativo l'equazione diventa

2 x−3 3 x +2 =− 1

2

. Idem come sopra, risolviamo subito.

2(2 x−3)=−(3 x+2)

, ovvero

4 x−6=−3 x−2

ovvero

4 x+3 x=−2+6

ovvero

7 x=4

ovvero

x= 4 7

^.

Le soluzioni richieste sono

x= 4

7 ∨ x=8

************************************************************************************************

Questo era il metodo migliore per risolvere l'equazione. Per chi invece preferisce un approccio standard (“a me hanno insegnato così”), si può risolvere con la suddivisione in casi.

Non si può fare a meno di partire con la condizione di esistenza:

x≠− 2 3

^.

Poi studiamo il segno dell'argomento del valore assoluto

2 x−3 3 x +2 x<− 2

3 x=− 2

3 − 2

3 < x< 3

2 x= 3

2 x> 3

2

numeratore - - - 0 +

denominatore - 0 + + +

frazione + Non esiste - 0 +

Risolviamo caso per caso.

Caso

x<− 2

3

. L'argomento del valore assoluto è positivo.

L'equazione diventa

2 x−3 3 x +2 = 1

2

da cui (vedi lo svolgimento sopra)

x=8

che in questo caso non è accettabile.

Caso

− 2

3 < x< 3

2

. L'argomento del valore assoluto è negativo.

L'equazione diventa

− 2 x−3 3 x+2 = 1

2

^ovvero

2 x−3 3 x +2 =− 1

2

da cui (vedi lo svolgimento sopra

x= 4

7

^{che è}

accettabile.

Caso

x≥ 3

2

. L'argomento del valore assoluto è positivo o nullo.

Dunque l'equazione diventa

2 x−3 3 x +2 = 1

2

esattamente come nel primo caso, e troviamo

x=8

che questa volta è accettabile.

Le soluzioni richieste sono

x= 4

7 ∨ x=8

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Un possibile compromesso tra le due risoluzioni proposte sopra potrebbe essere questo:

Condizione di esistenza:

x≠− 2 3

Studio il segno di

2 x−3

3 x +2

(vedi tabella sopra).

Risolvo in due casi

Caso

x<− 2

3 ∨x≥ 3

2

. L'equazione diventa

2 x−3 3 x +2 = 1

2

e la soluzione è

x=8

accettabile.

Caso

− 2

3 < x< 3

2

. L'equazione diventa

− 2 x−3 3 x+2 = 1

2

e la soluzione è

x= 4

7

accettabile.

Le soluzioni richieste sono

x= 4

7 ∨ x=8

3

Risolvere la seguente disequazione:

∣ ^{8 x−1} 2−5 x ∣ ^{< 3} 5

Condizione di esistenza:

x≠ 2 5

^.

In questo caso specifico (il valore assoluto è un membro della disequazione), possiamo risparmiarci la noia della distinzione in casi scrivendo subito:

− 3

5 < 8 x−1 2−5 x < 3

5

Si tratta di una scrittura sintetica per descrivere in una sola riga un sistema di due disequazioni.

Risolviamo per prima

8 x−1 2−5 x < 3

5

^ovvero

5(8 x−1)−3(2−5 x)

5(2−5 x) < 0

^ovvero

40 x−5−6+15 x 5(2−5 x) <0

ovvero

55 x−11

5(2−5 x) <0

ovvero

11(5 x−1) 5(2−5 x ) <0

.

Eventualmente possiamo aiutarci con un grafico o con una tabella.

x< 1

5 x= 1

5

1

5 < x< 2

5 x= 2

5 x> 2

5

numeratore - 0 + + +

denominatore + + + 0 -

frazione - 0 + Non esiste -

Per il momento ci vanno bene le

x< 1

5 ∨ x> 2

5

. Ma dobbiamo risolvere ancora l'altra disequazione:

− 3

5 < 8 x−1 2−5 x

^,

ovvero

5(8 x−1)+3(2−5 x)

5(2−5 x ) >0

ovvero

40 x−5+6−15 x

5(2−5 x) >0

ovvero

25 x+1

5(2−5 x) >0

. Anche in questo caso possiamo aiutarci con un grafico o una tabella:

x<− 1

25 x=− 1

25 − 1

25 < x< 2

5 x= 2

5 x> 2

5

numeratore - 0 + + +

denominatore + + + 0 -

frazione - 0 + Non esiste -

Da questa seconda equazione otteniamo che

− 1

25 < x< 2 5

^.

Intersecando questo insieme di soluzioni con l'insieme di soluzioni della prima disequazione, otteniamo le soluzioni richieste:

− 1

25 < x< 1

5

^.

Soluzione alternativa (“a me hanno insegnato così!”):

Non posso negare che in classe ho molto insistito sulla distinzione in più casi (anche se certe volte non è la via più breve). Per chi volesse rimanere affezionato alla distinzione in casi, vi propongo anche questa risoluzione.

Condizione di esistenza:

x≠ 2 5

Prima di distinguere i casi occorre studiare il segno dell'argomento del valore assoluto. Impostiamo e risolviamo una disequazione “di servizio”.

8 x−1 2−5 x >0

Ci possiamo aiutare con un grafico o con una tabella.

x< 1

8 x= 1

8

1

8 < x< 2

5 x= 2

5 x> 2

5

numeratore - 0 + + +

denominatore + + + 0 -

frazione - 0 + Non esiste -

La “disequazione di servizio” è verificata per

1

8 < x< 2

5

ma a noi interessa sapere anche dove la frazione algebrica è negativa, dove è nulla e dove non esiste. In pratica a noi interessava lo studio del segno di questa frazione algebrica.

Tale studio è ben esplicitato nella tabella sopra.

Quindi passiamo a risolvere la disequazione nel caso dell'argomento positivo.

Caso

1

8 ≤ x< 2

5

. La disequazione diventa

8 x−1 2−5 x < 3

5

^ovvero

11(5 x−1)

5(2−5 x ) <0

che ha come soluzioni

x< 1

5 ∨ x> 2

5

(Per i dettagli vedi la risoluzione precedente).

Di queste soluzioni sono accettabili soltanto quelle tali che

1

8 ≤x< 1 5

^.

Ora risolviamo la disequazione nel caso in cui l'argomento sia negativo.

Caso

x< 1

8 ∨ x > 2

5

. L'equazione diventa

− 8 x−1 2−5 x < 3

5

^ovvero

8 x−1 2−5 x >− 3

5

^ovvero

25 x+1

5(2−5 x) >0

ovvero

− 1

25 < x< 2

5

. (Per i dettagli vedi la risoluzione precedente).

Di queste soluzioni sono accettabili soltanto quelle tali che

− 1

25 < x< 1 8

^.

Mettendo insieme quanto trovato nei due casi esaminati, abbiamo le soluzioni richieste:

− 1

25 < x< 1

5

4

Considerare l'equazione

(2 k +3) x−3=3(k +x )

e determinare i valori del parametro k per i quali l'equazione ha soluzione il cui valore assoluto è compreso tra 1 e 2.

Rispondere a questa domanda è difficile perché la nostra risposta sarà necessariamente contorta e ingarbugliata. Quindi la nostra abilità consisterà nel tenere sotto controllo tutte le fasi e le sotto-fasi della risoluzione.

Fase 1. Scrittura della soluzione in funzione di k.

La nostra prima azione è determinare la soluzione dell'equazione in funzione di k. Dunque facciamo finta che k sia noto e risolviamo rispetto a x.

(2 k +3) x−3=3(k +x )

^{, ovvero}

2 k x+3 x−3=3 k +3 x

^ovvero

2 k x=3 k +3

A questo punto facciamo molta attenzione! Nel caso in cui

k ≠0

posso proseguire i miei calcoli applicando il secondo principio di equivalenza:

x= 3 k +3

2 k

. Se invece

k =0

allora l'equazione diventa

0 x=3

e quindi è impossibile.

Fase 2. Impostazione delle disequazioni necessarie e loro risoluzione.

Adesso scriviamo con i simboli matematici, quanto ci viene richiesto:

1< ∣ ^{3 k +3} 2 k ∣ ^<2

. Si tratta, seppure scritto in forma sintetica, di un sistema di due disequazioni. Risolviamone una alla volta.

Fase 2.1. Risoluzione della prima disequazione col valore assoluto.

∣ ^{3 k +3} 2 k ∣ ^<2

Possiamo a sua volta vederla come un sistema di due disequazioni:

−2< 3 k +3 2 k < 2

. Fase 2.1.1.

Risolviamo

3 k +3

2 k <2

, ovvero

3 k +3−4 k

2 k <0

ovvero

3−k 2 k <0

. Aiutiamoci con una tabella:

k <0 k =0 0<k <3 k =3 k >3

numeratore + + + 0 -

denominatore - 0 + + +

frazione - Non esiste + 0 -

Dunque abbiamo come soluzioni

k <0∨k >3

. Fase 2.1.2

Risolviamo

3 k +3

2 k >−2

, ovvero

3 k +3+4 k

2 k >0

ovvero

7 k +3 2 k >0

.

Aiutiamoci con una tabella:

k <− 3

7 k =− 3

7 − 3

7 < k <0 k =0 k >0

numeratore - 0 + + +

denominatore - - - 0 +

frazione + 0 - Non esiste +

Dunque abbiamo come soluzioni

k <− 3

7 ∨ k >0

. Conclusione della fase 2.1

Dobbiamo intersecare i due insiemi di soluzioni ottenuti nelle fasi 2.1.1 e 2.1.2. Dunque abbiamo come soluzioni

k <− 3

7 ∨k >3

.

Fase 2.2. Risoluzione della seconda disequazione col valore assoluto.

∣ 2 k−3 ³ ∣ ^>1

Possiamo vedere l'insieme delle soluzioni di queste equazione come l'unione degli insiemi di soluzioni delle disequazioni:

3 k +3

2 k >1

e

3 k +3

2 k <−1

. Fase 2.2.1

Risolviamo

3 k +3

2 k >1

ovvero

3 k +3−2 k

2 k >0

ovvero

k +3 2 k >0

. Aiutiamoci con una tabella:

k <−3 k =−3 −3<k<0 k =0 k >0

numeratore - 0 + + +

denominatore - - - 0 +

frazione + 0 - Non esiste +

Dunque abbiamo come soluzioni

k <−3∨k >0

. Fase 2.2.2

Risolviamo

3 k +3

2 k <−1

ovvero

3 k +3

2 k <−1

ovvero

5 k +3 2 k <0

. Aiutiamoci con una tabella:

k <− 3

5 k =− 3

5 − 3

5 < k <0 k =0 k >0

numeratore - 0 + + +

denominatore - - - 0 +

frazione + 0 - Non esiste +

Dunque abbiamo come soluzioni

− 3

5 <k <0

. Conclusione della fase 2.2

Adesso devo unire gli insiemi soluzioni ricavate nelle fasi 2.2.1 e 2.2.2. L'unione di questi insiemi di soluzioni è composto dalle k tali che

k <−3∨− 3

5 < k <0∨k >0

. Conclusione della fase 2

Adesso dobbiamo intersecare l'insieme delle soluzioni travate nella fase 2.1

k <− 3

7 ∨ k >3

con l'insieme delle soluzioni trovate nella fase 2.2

k <−3∨− 3

5 < k <0∨k >0

.

Le soluzioni che otteniamo sono le k tali che

k <−3∨− 3

5 <k <− 3

7 ∨k >3

. Con questi valori di k sono soddisfatte le condizioni richieste.

5

Risolvere la seguente disequazione:

81(x−1)(x +5)( x−3)(x+10)>0

Se ci si spaventa troppo facilmente, sembra difficile, in realtà è fin troppo semplice. Facilmente possiamo notare che il prodotto di polinomi si annulla per i valori

x=1∨x=−5∨x=3∨x =−10

. Aiutiamoci con una tabella.

fattori

^{x<-10 x=-10} -10<x<-5 x=-5 -5<x<1 x=1 1<x<3 x=3 x>3

x−1 - - - - - 0 + + +

x+5 - - - 0 + + + + +

x−3 - - - - - - - 0 +

x+10 - 0 + + + + + + +

prodotto + 0 - 0 + 0 - 0 +

Dunque le soluzioni richieste sono

x<−10∨−5<x<1∨x>3