Scritto d’esame di Matematica I

(1)

Capitolo 2: Scritti d’esame 129 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Scritto d’esame di Matematica I

Pisa, 16 Gennaio 2003

1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il

x→0lim

3x²⁰− 3 arctan x²⁰− sin x⁶⁰ x³⁷· log⁷(1 + sin³x³) . 2. (a) Risolvere la disequazione

x⁶+ x²− 2 ≥ 0.

(b) Determinare estremo inferiore e superiore della funzione 4 arctan x²− x⁴

al variare di x in R, precisando se si tratta, rispettivamente, di minimo e massimo.

3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da a_n+1= a²_n+ 5a_n

1000 , a₀ = α.

(a) Studiare, al variare del parametro α > 0, il comportamento della successione.

(b) Nel caso particolare α = 517, determinare per quali valori del parametro β > 0 si ha che la serie

∞

X

n=0

n¹⁰⁰⁰βⁿa_n converge.

4. Sia T il triangolo, nel piano cartesiano, con vertici in (0, 0), (π, π) e (π, −π).

Calcolare

Z

T

y · | sin x| dx dy,

Z

T

|y · sin x| dx dy.

Scritto d’esame Telecomunicazioni 2003 1

(2)

130 Prove d’Esame di Analisi Matematica – Versione 2006 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Scritto d’esame di Matematica I

Pisa, 6 Febbraio 2003

n→+∞lim

n

n²+ 2 − arctan 1 n

n³+ sin n³ .

2. Determinare per quali valori del parametro λ ∈ R, l’equazione x − 2 = λe^1/x

non ha soluzioni reali e diverse da zero.

3. Studiare la convergenza degli integrali impropri Z +∞

1

arctan x x² dx,

Z +∞

0

arctan x x² dx, e, nel caso in cui convergano, calcolarne il valore.

4. Sia

D =(x, y) ∈ R² : x²+ y²− 4x ≤ 0, y ≤ 0 , e sia P = (1, 2).

(a) Determinare il punto di D pi`u vicino a P . (b) Determinare il punto di D pi`u lontano da P .

(c) Per ogni n ∈ N, indichiamo con (xn, y_n) il punto di D pi`u lontano da (1, n).

Determinare il limite di xn e di yn per n → +∞.

(3)

Capitolo 2: Scritti d’esame 131 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Scritto d’esame di Matematica I

Pisa, 22 Febbraio 2003

x→0lim

(x + x²) sin x − x sin(x + x²) log(1 + x⁵) . 2. Consideriamo la funzione

f (x) = sin x − arctan x.

(a) Dimostrare che x = 0 `e un punto stazionario per la funzione f (x), e stabilire se si tratta di un punto di massimo relativo, di minimo relativo, o di flesso.

(b) Determinare se esiste un intervallo di lunghezza maggiore di 1000¹⁰⁰⁰ in cui la funzione f (x) `e sempre positiva.

(c) Dimostrare che l’equazione sin x = arctan x ha almeno tre soluzioni reali.

3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da a_n+1= a²_n− a_n, a₀ = α.

(a) Studiare il comportamento della successione nel caso particolare α = 2003.

(b) Studiare il comportamento della successione nel caso particolare α = 1/2.

4. Consideriamo il problema di Cauchy

u⁰ = −u⁻³e^−t, u(0) = α > 0.

(a) Risolvere il problema nel caso particolare α = 1, precisando anche se si ha esistenza globale, blow-up o break-down.

(b) Determinare per quali α > 0 si ha esistenza globale.

(4)

132 Prove d’Esame di Analisi Matematica – Versione 2006 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Scritto d’esame di Matematica I

Pisa, 12 Giugno 2003

x→0lim

2003√

x + 1 + ²⁰⁰³√ x − 1

2003√

x + 3 + ²⁰⁰³√ x − 3. 2. Consideriamo la funzione

f (x) = sin

3e^−x² .

(a) Determinare estremo inferiore e superiore di f (x) al variare di x in R, precisando se si tratta, rispettivamente, di minimo e massimo. Determinare anche gli eventuali punti di massimo/minimo locale/globale.

(b) Determinare per quali valori del parametro λ ∈ R, l’equazione f (x) = λ ammette un numero dispari di soluzioni.

3. Consideriamo la successione

a_n = n⁶− 3 n^α+ 3.

(a) Determinare per quali valori del parametro α ≥ 0 le seguenti serie

∞

X

n=1

a_n

∞

X

n=1

(−1)ⁿa_n convergono.

(b) Nel caso particolare α = 8, dimostrare che

∞

X

n=11

a_n ≤ 1 10.

4. Sia T l’insieme del piano costituito dai punti interni o sul bordo del triangolo i cui vertici sono i punti (−1, 0), (1, 0), (3, 1). Calcolare

Z

T

(x²+ y²) dx dy.