p(A)+p(B)=1Fornire una motivazione nel caso in cui non sia possibile stabilirlo.

(1)

VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E Liceo Sportivo – 18 gennaio 2018

Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 25 gennaio 2018 NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Stabilire se A e B siano eventi compatibili o incompatibili per ciascuno dei seguenti casi (p sta per probabilità):

a)

p (A∩B)=0

b)

p (A∪B)=1

c)

p (A) p( B)=0

d)

p (A)+ p(B)=1

Fornire una motivazione nel caso in cui non sia possibile stabilirlo.

2

Si lanciano 4 dadi contemporaneamente, stabilire la probabilità di ciascuno dei seguenti eventi:

a) Non esce alcun 6 c) Escono tutti 6

b) Esce almeno un 6 d) La somma delle facce uscite è 6

3

Un dado tetraedrico ha 4 facce tutte uguali, numerate da 1 a 4. Si lanciano 2 dadi tetraedrici, elencare i casi possibili e calcolare le probabilità per ciascuno dei seguenti eventi:

a) la somma è 2 b) la somma è 4 c) la somma è 5

4

A e B sono due eventi tali che:

p (A)= p(B)= 3

5 ∧ p( A∩B)= 2 5

Calcolare

p (A∪B)

.

5

A e B sono due eventi compatibili. La probabilità che si verifichino entrambi è 0,2 ; la probabilità che si verifichi almeno uno dei due è 0,9. Calcolare le probabilità di A e B.

Argomenti: cenni di calcolo delle probabilità.

VALUTAZIONE

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.

È consentito l'uso della calcolatrice pura, non è consentito l'uso del telefono mobile.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http://www.lacella.it/profcecchi BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it

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(2)

1

Stabilire se A e B siano eventi compatibili o incompatibili per ciascuno dei seguenti casi (p sta per probabilità):

a)

p (A∩B)=0

b)

p (A∪B)=1

c)

p (A) p( B)=0

d)

p (A)+ p(B)=1

Fornire una motivazione nel caso in cui non sia possibile stabilirlo.

Ricordiamo che due eventi sono compatibili se possono avvenire contemporaneamente, altrimenti vengono detti incompatibili (è abbastanza facile ricordarlo). Entrando nel linguaggio un po' più tecnico l'evento

A∩B

rappresenta appunto il fatto che i due eventi avvengano contemporaneamente.

Se

p (A∩B)=0

gli eventi A e B sono evidentemente incompatibili.

Se

p (A∪B)=1

non possiamo concludere niente. Facciamo due esempi con il solito mazzo di 40 carte.

Evento A: pesco una carta rossa.

Evento B: pesco una carta nera.

A e B sono eventi incompatibili tali che

p (A∪B)=1

Evento A: pesco una carta che non sia un asso.

Evento B: pesco una carta che non sia una figura.

A e B sono eventi compatibili tali che

p (A∪B)=1

Se

p (A) p( B)=0

allora uno dei due eventi (se non entrambi) è impossibile. Quindi si tratta sicuramente di eventi incompatibili.

Se

p (A)+ p(B)=1

non possiamo concludere niente. Facciamo due esempi col solito mazzo di 40 carte.

Evento A: pesco una carta rossa.

A e B sono eventi incompatibili tali che

p (A)+ p(B)= 1 2 + 1

2 =1

Evento A: pesco una carta da 1 a 5.

A e B sono eventi compatibili (per esempio posso pescare un asso di fiori) e sono tali che

p (A)+ p(B)= 1 2 + 1

2 =1

(3)

2

Si lanciano 4 dadi contemporaneamente, stabilire la probabilità di ciascuno dei seguenti eventi:

a) Non esce alcun 6 c) Escono tutti 6

b) Esce almeno un 6 d) La somma delle facce uscite è 6

Prima di tutto contiamo i casi possibili: tutte le combinazioni possibili con 4 dadi sono

6

⁴

=1296

^.

Le configurazioni con nessun “6” sono

5

⁴

=625

dunque la probabilità che non esca alcun “6” sono

625 1296 ≈0,48

Si potrebbe anche pensare che i dadi sono indipendenti l'un con l'altro e quindi considerare che per ogni dado la probabilità che non esca il 6 è

5

6

e che l'intersezione dei quattro eventi “non esce il 6” lo posso calcolare moltiplicando le singole probabilità:

5 6 × 5 6 × 5

6 × 5 6 = 5

⁴

6

⁴

L'evento “esce almeno un 6” è l'evento contrario dell'evento “non esce alcun 6”, quindi potrei trovare la sua probabilità semplicemente calcolando

1− 625

1296 = 671

1296 ≈0,52

.

Volendo contare direttamente le configurazioni possibili con almeno un “6”, dobbiamo procedere in modo articolato:

Le combinazioni col “6” sul primo dado sono

6

³

= 216

^;

le combinazioni con il “6” sul secondo dado e non sul primo sono

5×6

²

=180

^;

le combinazioni con il “6” sul terzo dado, ma non sui primi due sono

5

²

×6=150

^;

infine le combinazioni col “6” soltanto sul quarto dado sono

5

³

=125

^.

Dunque, le combinazioni possibili con almeno un “6” sono

216+180+150+125=671

.

Perciò la probabilità che esca almeno un “6” è

671 1296 ≈0,52

Ovviamente c'è soltanto una configurazione con tutti “6”, quindi la probabilità che escano tutti “6” è

1 1296 ≈0,0008

.

Infine dobbiamo calcolare la probabilità che la somma sia 6. Vediamo quali e quante sono le configurazioni possibili:

(1,1,1,3); (1,1,3,1); (1,3,1,1); (3,1,1,1); (1,1,2,2); (1,2,1,2); (1,2,2,1); (2,1,2,1); (2,1,1,2); (2,2,1,1): 10 configurazioni.

Dunque la probabilità che la somma sia 6 è

10 1296 ≈0,008

(4)

3

Un dado tetraedrico ha 4 facce tutte uguali, numerate da 1 a 4. Si lanciano 2 dadi tetraedrici, elencare i casi possibili e calcolare le probabilità per ciascuno dei seguenti eventi:

a) la somma è 2 b) la somma è 4 c) la somma è 5

Tutti i casi possibili sono

4

²

=16

^.

C'è una sola configurazione con somma 2: (1,1) e quindi la probabilità è

1 16 = 0,0625

.

Ci sono 3 configurazioni con somma 4: (1,3); (2,2); (3,1) e quindi la probabilità è

3 16 = 0,1875

.

Ci sono 4 configurazioni con somma 5: (1,4); (2,3); (3,2); (4,1) e quindi la probabilità è

4 16 =0,25 4

A e B sono due eventi tali che:

p (A)= p(B)= 3

5 ∧ p( A∩B)= 2 5

Calcolare

p (A∪B)

.

Applichiamo il teorema della probabilità totale:

p (A∪B)= p (A)+ p(B)− p( A∩B)

. Nel nostro caso:

p (A∪B)= 3

5 + 3 5 − 2

5 = 4 5

5

A e B sono due eventi compatibili. La probabilità che si verifichino entrambi è 0,2 ; la probabilità che si verifichi almeno uno dei due è 0,9. Calcolare le probabilità di A e B.

Ricapitoliamo le informazioni a nostra disposizione:

p (A∩B)=0,2

;

p (A∪B)=0,9

Per il teorema della probabilità totale possiamo affermare che

p (A)+ p(B)= p( A∪B)+ p (A∩B)=0,9+0,2=1,1

. Le informazioni a nostra disposizione non ci permettono di andare oltre.

Aggiungendo alle ipotesi che i due eventi siano anche indipendenti potremmo dire che

p (A∩B)= p (A) p(B)

e quindi che

p (A) p(B)=0,2

.

A questo punto potremmo sostituire

p (A)=1,1− p( B)

ottenendo un'equazione di secondo grado che ufficialmente non sappiamo ancora risolvere.

Conclusione: i dati sono insufficienti per poter dare una risposta.