Capitolo 2: Scritti d’esame 125 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Scritto d’esame di Matematica I
Pisa, 19 Gennaio 2002
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il lim
x→0+
4x− 2x sin√
x − log(√
x + 1).
2. Studiare, al variare del parametro λ ∈ R, il numero di soluzioni dell’equazione x4+ 1 = λ(x2+ 1).
3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da an+1 = a2n− 3an+ 4, a0 = α.
(a) Studiare il comportamento della successione nel caso particolare α = 3/2.
(b) Studiare il comportamento della successione nel caso particolare α = −3.
(c) Nel caso particolare α = −3, studiare la convergenza della serie
∞
X
n=0
n!
an. 4. Siano
A = (x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 9 ,
B = (x, y) ∈ R2 : 2(x2− y) + y2 ≤ 8 . Calcolare
Z
A
y2dx dy,
Z
B
y2dx dy.
Scritto d’esame Telecomunicazioni 2002 1
126 Prove d’Esame di Analisi Matematica – Versione 2006 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Scritto d’esame di Matematica I
Pisa, 9 Febbraio 2002
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il
n→+∞lim
log (n2n)
log (n2+ 3)sinlog n n . 2. Consideriamo la funzione
f (x) = x80− sin x20+ (x − arctan x)10.
(a) Dimostrare che x = 0 `e un punto stazionario della funzione e determinare se si tratta di un punto di massimo relativo, di minimo relativo oppure di flesso.
(b) Dimostrare che l’equazione f (x) = 0 ha almeno tre soluzioni reali.
(c) Dimostrare che l’equazione f (x) = 2002 ha un numero pari di soluzioni reali.
3. (a) Studiare la convergenza dell’integrale improprio Z +∞
−∞
x − sin x x3 dx.
(b) Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il
n→+∞lim nα Z 1/n
0
x − sin x x3 dx al variare del parametro α > 0.
4. Siano
f (x, y) = x2+ y2− 2y, D = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 5, y ≥ 0}.
Calcolare massimo e minimo di f in D, determinando anche i punti di massimo e di minimo.
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Capitolo 2: Scritti d’esame 127 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Scritto d’esame di Matematica I
Pisa, 23 Febbraio 2002
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il
n→+∞lim
√
n2+ 3 −√
n2− 3
· n +√
n sin n .
2. Consideriamo la funzione
f (x) = log x3− 10 arctan x.
(a) Determinare estremo inferiore e superiore di f (x) al variare di x in ]0, 2[, precisando se si tratta, rispettivamente, di minimo e massimo.
(b) Stessa domanda al variare di x in N \ {0}.
3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da an+1 = √n
an+ 1
n, a2002 = 1 2002. (a) Dimostrare che la successione `e limitata.
(b) Calcolare (se esiste) il limite della successione.
(c) Determinare se la successione `e monotona oppure no.
4. (a) Trovare, al variare del parametro α ∈ R, la soluzione del problema di Cauchy u00+ 3u0− 4u = e−4t, u(0) = α, u0(0) = 0.
(b) Determinare per quali valori di α la soluzione `e limitata per t ≥ 0.
Scritto d’esame Telecomunicazioni 2002 3
128 Prove d’Esame di Analisi Matematica – Versione 2006 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Scritto d’esame di Matematica I
Pisa, 3 Giugno 2002
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il
x→0lim
sin(x + x2) · arctan(x − x2) − x2
1 − cos x2 .
2. Consideriamo la funzione
f (x) = x2− 5x + 6 x2 .
(a) Determinare, al variare del parametro λ ∈ R, il numero di soluzioni dell’equa- zione
f (x) = λ.
(b) Determinare il numero di soluzioni dell’equazione f (f (f (x))) = 2002.
3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da an+1 = ean − 1, a0 = α.
(a) Studiare, al variare del parametro α ∈ R, il comportamento della successione.
(b) Nel caso particolare α = 1/2002, studiare il comportamento della serie
∞
X
n=0
1 an. 4. Consideriamo la funzione
f (x, y) = x2+ y2+ x − y e l’insieme
D =(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 4, y ≥ 0 .
(a) Calcolare massimo e minimo di f (x, y) in D, determinando anche i punti di massimo e di minimo.
(b) Stessa domanda sul bordo di D.
Scritto d’esame Telecomunicazioni 2002 4
