Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 5/3/2009

A.A. 2007/2008

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: Verificare che la superficie (Σ, ~r), con

~r(u, v) = (u − v, u, u ² + v ² )

definita su D = {(u, v) ∈ R ² : u ² + v ² ≤ 1} `e regolare. Utilizzando il teorema di Stokes calcolare

Z

+∂

Σ

x ² zdx + ydy + yzdz.

Problema 2: Studiare qualitativamente il problema di Cauchy

 



y ⁰ = t cos y y(0) = 0

e tracciare un grafico approssimativo della soluzione.

Problema 3: Sia f (z) = _(z−1) ^z

⁺⁴

. Determinare lo sviluppo in serie di Laurent di f (z) precisandone l’insieme di convergenza. Calcolare, inoltre,

Z

|z|=2

z ⁶ + 4 (z − 1) ³ dz.

Problema 4: Sia

f (x) = x(π − |x|), x ∈ [−π, π);

si denoti ancora con f il suo prolungamento periodico su R. Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma della serie numerica:

X ∞ k=0

(−1) ^k (2k + 1) ³ .

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Prolungamento delle soluzioni del Problema di Cauchy.

Tema 2: Il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange per funzioni di due variabili reali.