Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 26/10/2010

A.A. 2010/2011

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: Detta y la soluzione del problema di Cauchy

 

 y

= 1

x y + sin(x) log(1 + x), y(1) = 1,

dimostrare che y(x) ≤ x

per x ≥ 1.

Problema 2: Verificare che la superficie (Σ, ⃗ r) di equazione parametrica

⃗

r(u, v) = (u cos v, u

− 2u, u sin v), (u, v) ∈ [0, 1] × [0, 2π],

` e una superficie regolare. Dimostrare inoltre che si tratta di una superficie di rotazione e determinarne la sua equazione cartesiana.

Problema 3: Calcolare l’integrale

∫

|z|=2

(z

− 2z) sin ( 1

z )

dz.

Problema 4: Sia f il prolungamento periodico su R della funzione

f (x) =

{ −2, −π ≤ x < 0,

2, 0 ≤ x < π.

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scri- vere l’identit` a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

∑

1 (2n + 1)

,

∑

( −1)

2n + 1 .

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange.

Tema 2: Convergenza delle serie di Fourier e dimostrazione del teorema sulla conver-

genza uniforme.