Scritto d’esame di Matematica I

122 Prove d’Esame di Analisi Matematica – Versione 2006 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Scritto d’esame di Matematica I

Pisa, 13 Gennaio 2001

1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il

x→0lim

sin(x + x³) − arctan(x − x³) xe^x2 − sinh x .

2. Discutere, al variare del parametro λ ∈ R, il numero di soluzioni dell’equazione arctan (x² − 3)e^x
= λ.

3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da a_n+1= a²_n−a_n

2 , a₀ = α.

(a) Studiare il comportamento della successione nel caso particolare α = 3.

(b) Nel caso particolare α = 1/4, dimostrare che |a_n| ≤ 1/4 per ogni n ∈ N.

(c) Studiare il comportamento della successione per tutti gli α ∈ [0, 1].

4. Siano

C₁ = (x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 4 ,

C₂ = (x, y) ∈ R² : x²+ y²− 4x − 6y + 9 ≤ 0 . Calcolare

Z

C1

xy dx dy,

Z

C2

xy dx dy.

Scritto d’esame Telecomunicazioni 2001 1

Capitolo 2: Scritti d’esame 123 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Scritto d’esame di Matematica I

Pisa, 3 Febbraio 2001

1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il

n→+∞lim



n sin 1

n² + n²sin1 n



arctan3n + 2 n² . 2. (a) Risolvere la disequazione

arctan x ≥ x 1 + x².

(b) Determinare estremo inferiore ed estremo superiore della funzione f (x) = arctan x

x ,

al variare di x in N\{0}, precisando se si tratta, rispettivamente, di minimo e massimo.

3. (a) Studiare il comportamento dell’integrale improprio Z +∞

0

sin x − arctan x x²√

x dx.

(b) Studiare il comportamento della serie

∞

X

n=2

Z n² n

sin x − arctan x x²√

x dx.

4. Consideriamo il problema di Cauchy

y⁰ = e^ysin t, y(0) = α.

(a) Risolvere il problema nel caso particolare α = 0, precisando anche se si ha esistenza globale, blow-up o break-down.

(b) Determinare per quali valori α ∈ R si ha esistenza globale.

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124 Prove d’Esame di Analisi Matematica – Versione 2006 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Scritto d’esame di Matematica I

Pisa, 17 Febbraio 2001

1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il

x→0lim

e^sin(x−x2)− e^{arctan x} tan x · sinh x . 2. Consideriamo la funzione

f (x) = sin x¹³+ log(1 + x¹³⁰).

(a) Determinare quali delle prime 50 derivate della funzione f (x) sono diverse da zero nel punto x = 0.

(b) Dimostrare che l’equazione f (x) = 0 ammette almeno due soluzioni reali.

(c) Stabilire se l’insieme dei punti di minimo relativo di f (x) `e finito o infinito.

3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da a_n+1= arctana_n

n , a₁ = 2001.

(a) Studiare il comportamento della successione.

(b) Studiare il comportamento della serie

∞

X

n=1

a_n.

4. Consideriamo la funzione

f (x, y) =

x³− y  e l’insieme

T = (x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x .

(a) Calcolare massimo e minimo di f (x, y) in T , determinando anche i punti di massimo e di minimo.

(b) Calcolare

Z

T

f (x, y) dx dy.

Scritto d’esame Telecomunicazioni 2001 3