Compito di Fisica Matematica, 18/6/2012
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 9 cfu risolva almeno sei dei seguenti quesiti e quello da 6 cfu almeno quattro:
(1) Verificare che la mappa
<< f, g >>:= 1
∫
Re−πx2dx
∫
R
f (x)g(x)e2 x2dx,
definisce un prodotto scalare su L2(R). Fornire un esempio di una funzione h(x) per cui <<
h, h >>=∞ ma < h, h >< ∞.
(2) Studiare la natura delle singolarit´a della funzione f (z) = π(ez(zz−1)−1), fornirne lo sviluppo di Laurent ed, in correspondenza delle singolarit´a, calcolare il valore dei residui.
(3) Sviluppare in serie di Taylor nell’intorno di z0= 0 la f (z) = ez2−z(1 + 2 z3) e determinarne il raggio di convergenza.
(4) Verificare che il sistema di funzioni F =
{
φ1(x) = 1
√2πsin(2x), φ2(x) = 1
√2πcos(3x) }
,
´e un sistema mutualmente ortonormale in L2(−π, π). ´E completo?
(5) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione
f (x) = {
sin(x), x∈ [−a, a];
0, altrove,
con a > 0, e considerarne qualitativamente il limite per a→ +∞.
(6) Calcolare la derivata debole del segnale φ(t) = u(t2− 1) cos(t).
(7) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione f (t) = u(t− π) t2, stabilendone l’ascissa di convergenza.
(TdP1) Ottenere N , se possibile, in modo che la funzione f (x) = Nx25+3 sia una densit`a di probabilit`a. Ottenere i momenti della variabile aleatoria associata fino al terzo ordine.
(TdP2) Qual’`e la probabilit`a che lanciando una moneta 6 volte non esca mai croce? E qual’`e la probabilit`a che ci`o accada, sapendo che nei primi 5 lanci `e sempre uscito testa?
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