UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA
Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Ingegneria dell’Informazione II appello di Fisica Generale 2 – 10 Febbraio 2021
Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________
Problema 1
Due condensatori piani in parallelo 𝐶! e 𝐶" sono collegati ad un generatore di differenza di potenziale ℰ. I due condensatori hanno ugual area 𝐴 = 10 cm" e uguale distanza tra le armature 𝑑!= 𝑑"= 𝑑. Il condensatore 𝐶! è completamente riempito di materiale dielettrico di costante dielettrica relativa 𝜺𝒓, mentre il condensatore 𝐶" è vuoto.
Se 𝑞! e 𝑞" sono le cariche libere presenti sulle armature dei due condensatori, risulta 𝑞!⁄𝑞"= 5.
Sapendo inoltre che il campo elettrico in 𝐶! è 𝐸!= 40 kV/m, calcolare:
1) il valore delle cariche 𝑞! e 𝑞"
Si disconnette il generatore e successivamente si rimuove il dielettrico dal condensatore 𝐶!. Si misura una differenza di potenziale finale ai capi dei condensatori V =100 V. Determinare
2) la distanza d fra le armature dei condensatori
3) il lavoro W fatto dal generatore per caricare inizialmente i due condensatori 4) l’energia 𝑈$ dissipata complessivamente nei processi
1) La differenza di potenziale ai capi dei condensatori è la stessa 𝑉!= 𝑉"= ℇ, per cui 𝑞!
𝑞"=𝐶!ℇ
𝐶"ℇ=𝜀%𝐶"
𝐶" = 𝜀%= 5
Il campo elettrico in un condensatore piano è 𝐸!= 𝜎!
𝜀&𝜀%= 𝑞!
𝐴𝜀&𝜀% ⇒ 𝑞!= 𝐸!𝐴𝜀&𝜀%= 1.77 × 10'( C
e ovviamente
𝑞"= 𝑞!
5 = 3.54 × 10'!& C
2) La carica si conserva e i due condensatori tornano ad avere la stessa capacità 𝐶", per cui la carica su ciascuno di esse è la stessa
𝑞!+ 𝑞"= 2𝑞)= 2𝐶"𝑉 ⇒ 𝐶"=𝑞!+ 𝑞"
2𝑉 = 1.06 × 10'!! F e quindi la distanza tra le armature è
𝐶"= 𝜀&𝐴
𝑑 ⇒ 𝑑 = 𝜀& 𝐴
𝐶"= 8.34 × 10'* m
3) La forza elettromotrice è
ℇ =𝑞"
𝐶"= 33.3 V
Il generatore ha spostato le cariche 𝑞! e 𝑞" attraverso una differenza di potenziale ℇ, per cui ha fatto il lavoro 𝑊 = (𝑞!+ 𝑞")ℇ = 7.08 × 10'+ J
4) Metà dell’energia fornita dal generatore viene dissipata nel processo di carica dei condensatori. Altra energia è dissipata togliendo il dielettrico ed è pari alla variazione di energia
𝑈$=𝑊
2 + ∆𝑈 =1
2(𝑞!+ 𝑞")ℇ + J2 K1
2𝐶"𝑉"L −1
2(𝑞!+ 𝑞")ℇN = 𝐶"𝑉"= 1.06 × 10', J
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Problema 2
Un filo elettrico di sezione circolare di raggio 𝑎 = 0.1 mm e resistività 𝜌 = 10'+𝛺 m viene avvolto su se stesso per formare un solenoide. Assumiamo per semplicità che quest’ultimo si possa approssimare come un solenoide ideale composto di N spire di raggio 𝑏 = 2 cm. I due capi del filo vengono poi connessi ad un generatore di fem ℇ&= 3 V.
1) Calcolare la lunghezza totale del filo se la corrente dopo un periodo di transizione approssima il valore
asintotico di 𝑖 = 2.5 A. ℓ
2) Se la lunghezza della porzione di filo che non viene utilizzata per formare il solenoide è trascurabile, calcolare
il numero di spire del solenoide N
3) Quanto vale il campo magnetico all’interno del solenoide 𝐵
4) Il generatore viene poi rimosso ed i due capi del filo connessi istantaneamente. Calcolare quanta energia viene dissipata. 𝑈-
1) In un sistema RL, asintoticamente 𝑖 = ℇ/𝑅 dove 𝑅 = 𝜌ℓ/𝑆, con la sezione del filo 𝑆 = 𝜋𝑎". Quindi
ℓ =ℇ& 𝜋𝑎"
𝜌 𝑖 = 3.77 m
2) La lunghezza totale del cavo usato per fare il solenoide è ℓ = 2𝜋𝑏 𝑁. Quindi 𝑁 = 𝑙
2𝜋𝑏= 30
3) Il campo magnetico è 𝐵 = 𝜇&𝑖 𝑛 dove si deve stimare il numero di spire per unità di lunghezza La lunghezza del solenoide ottenutosi stima osservando che ogni spira ha spessore 2𝑎. Quindi la lunghezza totale del solenoide è ℎ = 2𝑎 𝑁. Da questo segue che 𝑛 = 𝑁/ℎ = 1/(2𝑎). Otteniamo
𝐵 =𝜇&𝑖
2𝑎 = 15.7 mT
4) L’energia dissipata in un circuito RL è data da 𝑈-= 𝑖&"/(2𝐿) = ℇ&"/(2𝐿𝑅").
Assumendo un solenoide indefinito l’induttanza è 𝐿 = 𝜇&𝑁"
ℎ 𝐴 = 𝜇&𝑛𝑁𝐴 =𝜇&𝑁𝜋𝑏"
2𝑎 = 0.237 mH e la resistenza è
𝑅 = 𝜌ℓ
𝜋𝑎"= 1.2 Ω
per cui
𝑈-=𝐿ℇ&"
2𝑅"= 7.4 × 10'* J
Equivalentemente, invece che calcolare l’induttanza, possiamo semplicemente utilizzare 𝑈- = 1
2𝜇&𝐵"𝑉 = 1
2𝜇&𝐵"(ℎ 𝜋𝑏") = 1
2𝜇&𝐵"(2𝑎𝑁 𝜋𝑏") = 7.4 × 10'* J
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Problema 3
Un fascio di luce monocromatica coerente non polarizzata di intensità 𝐼&= 1 mW/m" viene fatto incidere su un dispositivo come in figura, in cui un specchio semi-rifl;ettente ideale separa il fascio in due fasci identici, ciascuno dei quali passa da un sistema di due specchi S ed S', i quali riflettono solo il 90% della luce incidente.
a) Con che angolo ogni fascio deve incidere sul suo S' in modo da arrivare in O con un angolo di 45°?
b) Quanta intensità esce da ciascun specchio S' prima di giungere al punto O?
c) I due fasci interferiscono in O, con quale intensità lo colpiscono?
d) Se ora, nello spazio tra i due specchi, si interpongono due polarizzatori identici, uno in ogni ramo, che distruggono la coerenza, quanto vale l'intensità 𝐼) appena dopo un polarizzatore? e il modulo del campo magnetico in O?
a) Per la legge della riflessione, se si spezza l'angolo totale (che è il doppio di quello da trovare) in un rettangolo e un triangolo
2𝜃 = 𝜋/2 + 𝜋/4 perciò 𝜃 = 3/8 𝜋 = 62.5°
b) L'intensita iniziale è divisa a metà dal divisore e poi ogni fascio subisce due riflessioni che hanno efficienza 𝜀 = 0.9, pertanto dopo S' si avrà:
𝐼!= 𝐼"= 𝜀"𝐼&
2 = 0.405 mW/m"
c) L'interferenza avviene tra due fasci uguali e in fase (sfasamento 𝛿 = 0), pertanto la formula 𝐼 = 𝐼!+ 𝐼"+ 2i𝐼!𝐼"cos 𝛿
si semplifica in
𝐼 = 4𝐼!= 1.62 mW/m"
avendo preso 𝐼!= 𝐼". Si noti che nel punto O l'intensità luminosa è maggiore di quella iniziale!
d) La luce viene polarizzata linearmente con intensità di uscita dal polarizzatore:
𝐼′ = 𝜀𝐼&
4 = 0.225 mW/m"
dove è presente un solo 𝜀 poiché c'è stata solo una riflessione e il fattore 1/2 aggiuntivo viene dalla potenza assorbita nel polarizzatore.
O
/4
e) Per arrivare al punto O c’è una seconda riflessione: nel punto O arrivano due fasci incoerenti le cui intensità si sommano:
𝐼" = 2𝜀"𝐼&
4 = 0.405 mW/m"
che coincide con l’intensità trovata prima, ma la formula ha un’origine diversa.
Il modulo del campo magnetico è 𝐵 =𝐸
𝑐 =i2𝑍&𝐼"
𝑐 = 5.82 × 10'+ T
