Capitolo 2: Scritti d’esame 157 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Scritto d’esame di Matematica I
Pisa, 14 Gennaio 2006
1. Determinare, al variare del parametro reale λ, il numero di soluzioni dell’equazione x + | log x| = λ.
2. Calcolare (se esiste) il limite della successione definita per ricorrenza da xn+1 = x2n+ 1
xn+ 1, x0 = 2006.
3. Consideriamo il problema di Cauchy
u0+ tu = tk, u(0) = α.
(a) Risolvere il problema nel caso particolare in cui k = 1 e α = 0.
(b) Sempre nel caso k = 1, determinare per quali valori di α la soluzione risulta strettamente decrescente per t ≥ 0.
(c) Dimostrare che, per ogni intero positivo k e per ogni numero reale α, la soluzione `e globale, cio`e definita per ogni t ∈ R.
(d) Nel caso in cui k = 5 e α = 0, determinare se la soluzione `e monotona per t ≥ 0.
4. Sia T il triangolo con vertici nei punti (1, 0), (2, 1), (4, 0) del piano cartesiano. Sia S il solido ottenuto da una rotazione completa di T intorno all’asse x.
(a) Determinare il volume di S.
(b) Determinare l’area della superficie di S.
(c) Determinare le coordinate del baricentro di S.
Scritto d’esame Telecomunicazioni 2006 1
158 Prove d’Esame di Analisi Matematica – Versione 2007 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Scritto d’esame di Matematica I
Pisa, 28 Gennaio 2006
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il
x→0lim
sin(x + x2) − log(1 + x + x2) ex2 − cos x + x3sin5x .
2. Studiare, al variare del parametro reale α ≥ 0, la convergenza della serie
∞
X
n=1
√1 n
α + 1
n
n
.
3. Consideriamo la funzione
f (x, y) = x2+ y x2+ y2.
(a) Determinare quanti sono i punti stazionari di f (x, y).
(b) Determinare massimo e minimo di f (x, y) nel triangolo con vertici in (1, 1), (2, 2), (2, 1), precisando quali sono i punti di massimo e di minimo.
(c) Determinare estremo superiore ed inferiore di f (x, y) nell’insieme Q = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0},
precisando se si tratta, rispettivamente, di massimo o minimo.
4. Sia A = [0, 1] × [0, 1]. Calcolare Z
A
(y − 2x) dx dy,
Z
A
|y − 2x| dx dy.
Scritto d’esame Telecomunicazioni 2006 2
Capitolo 2: Scritti d’esame 159 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Scritto d’esame di Matematica I
Pisa, 11 Febbraio 2006
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il
n→+∞lim
log(3n+ n3) n +√3
n3+ 3. 2. Determinare estremo inferiore e superiore della funzione
f (x) = (4x2− 3x)e−2x
al variare di x ≥ 0, precisando se si tratta, rispettivamente, di minimo e massimo.
3. (a) Determinare, al variare del parametro reale α, il comportamento degli integrali impropri
Z 1 0
arctanαx ex− 1 dx,
Z +∞
5
arctanαx ex− 1 dx.
(b) Calcolare, se esistono, i seguenti limiti lim
α→0+
Z +∞
1
arctanαx
ex− 1 dx, lim
α→+∞
Z +∞
1
arctanαx ex− 1 dx.
4. Risolvere il problema di Cauchy
u00− 6u0+ 10u = sin t, u(0) = 0, u0(0) = 0.
Scritto d’esame Telecomunicazioni 2006 3
