Corso di laurea in Fisica - Corso di laurea in Matematica Compito d’esame di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 9 Luglio 2008 studente/ssa: matricola:

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Corso di laurea in Fisica - Corso di laurea in Matematica Compito d’esame di Istituzioni di Fisica Teorica

L’Aquila 9 Luglio 2008 studente/ssa:

matricola:

Studenti di Matematica: Svolgere solo esercizi 1 e 2

1) Si consideri una particella di massa m vincolata sul segmento [0, L] ovvero soggetta al potenziale

V (x) = 0 0 ≤ x ≤ L,

V (x) = +∞ |x| > L.

Determinare tra la totalità degli stati per i quali una misura di energia può fornire solo i due autovalori pi` u bassi con uguale probabilità

- gli stati ψ

¹

(x, t) tali che la probabilit`a di trovare la particella nella regione x ≥ L/2 sia massima ad un dato istante ¯ t

- gli stati ψ

²

(x, t) per i quali la suddetta probabilit`a sia minima.

Si considerino conosciuti i valori di m,L,¯t.

2) Una particella di massa m, soggetta al potenziale armonico troncato V (x) = ¯ 1

2 kx

²

x ≥ 0, V (x) = +∞ ¯ x < 0.

si trova inzialmente nell’autostato di energia corrispondente all’autovalore 7/2¯hω (ω =

^q

k/m). A partire da un certo istante la barriera infinita viene rimossa per cui il potenziale diviene

V (x) = 1

2 kx

²

− ∞ < x < ∞,

- determinare la probabilit`a che una misura di energia fornisca ancora il risultato 7/2¯hω

- determinare la probabilit`a che una misura di energia fornisca un valore (n + 1/2)¯ hω con n pari.

3) Un solido unidimensionale `e schematizzato da N oscillatori armonici indipendenti e distinguibili di frequenza ω

⁰

. Le posizioni di equilibrio degli oscillatori sono separate dal passo reticolare a. Il criterio di Lindemann predice la fusione per il solido quando lo scarto quadratico medio della posizione per ogni oscillatore raggiunge un valore critico dato da:

< x

²

>= γ

²

a

²

1

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Corso di laurea in Fisica - Corso di laurea in Matematica Compito d’esame di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 9 Luglio 2008 studente/ssa: matricola:

Corso di laurea in Fisica - Corso di laurea in Matematica Compito d’esame di Istituzioni di Fisica Teorica

L’Aquila 9 Luglio 2008 studente/ssa:

matricola:

Studenti di Matematica: Svolgere solo esercizi 1 e 2

1) Si consideri una particella di massa m vincolata sul segmento [0, L] ovvero soggetta al potenziale

V (x) = 0 0 ≤ x ≤ L,

V (x) = +∞ |x| > L.

Determinare tra la totalità degli stati per i quali una misura di energia può fornire solo i due autovalori pi` u bassi con uguale probabilità

- gli stati ψ

(x, t) tali che la probabilit`a di trovare la particella nella regione x ≥ L/2 sia massima ad un dato istante ¯ t

- gli stati ψ

(x, t) per i quali la suddetta probabilit`a sia minima.

Si considerino conosciuti i valori di m,L,¯t.

2) Una particella di massa m, soggetta al potenziale armonico troncato V (x) = ¯ 1

2 kx

x ≥ 0, V (x) = +∞ ¯ x < 0.

si trova inzialmente nell’autostato di energia corrispondente all’autovalore 7/2¯hω (ω =

k/m). A partire da un certo istante la barriera infinita viene rimossa per cui il potenziale diviene

V (x) = 1

2 kx

− ∞ < x < ∞,

- determinare la probabilit`a che una misura di energia fornisca ancora il risultato 7/2¯hω

- determinare la probabilit`a che una misura di energia fornisca un valore (n + 1/2)¯ hω con n pari.

3) Un solido unidimensionale `e schematizzato da N oscillatori armonici indipendenti e distinguibili di frequenza ω

. Le posizioni di equilibrio degli oscillatori sono separate dal passo reticolare a. Il criterio di Lindemann predice la fusione per il solido quando lo scarto quadratico medio della posizione per ogni oscillatore raggiunge un valore critico dato da:

< x

>= γ

a

1

con γ numero adimensionale minore di 1. Assumendo la frequenza degli oscillatori indipendente dal passo reticolare

- Graficare la temperatura di fusione in funzione del passo reticolare discutendo esplititamente il limite di alte temperature.

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