VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E Liceo Sportivo – 20 febbraio 2018 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro le 12:45

(1)

VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E Liceo Sportivo – 20 febbraio 2018 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro le 12:45

NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Si estraggono 3 carte da un mazzo di 40. Calcolare

- la probabilità che tra di esse ve ne siano almeno due dello stesso valore;

- la probabilità che siano di tre semi diversi.

2

Risolvere la seguente equazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:

∣ 1−x∣+∣2−x∣−∣x−3∣=1−4 x

3

Risolvere la seguente disequazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:

∣

^{3 x−4}4 x−3

∣

^<1

4

Disegnare nel piano cartesiano i punti di coordinate:

A(4 ;0) B(0 ;−2) C (1 ;−1) D(−1 ;3)

e determinare la distanza tra i punti medi dei segmenti AB e CD.

5

Calcolare la media aritmetica, la moda, la mediana, la varianza e lo scarto quadratico medio della seguente raccolta di dati:

102 – 106 – 115 – 117 – 118 – 119 – 118 – 121 – 121 – 121 – 123 – 124 – 125 – 127 – 136 – 140

VALUTAZIONE

Argomenti: compendio di tutti gli argomenti affrontati dal 15 settembre al 31 gennaio.

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.

È consentito l'uso della calcolatrice pura, non è consentito l'uso del telefono mobile.

Non sono consentite collaborazioni tra compagni.

Non sono consentiti scambi di materiali tra compagno, ognuno può utilizzare esclusivamente il proprio materiale, dall'inizio alla fine della prova.

Non è consentito uscire dall'aula durante la prima ora.

Il docente risponderà soltanto a domande sulla comprensione delle richieste e non confermerà o correggerà in alcun modo le risposte.

(2)

1

Si estraggono 3 carte da un mazzo di 40. Calcolare

- la probabilità che tra di esse ve ne siano almeno due dello stesso valore;

- la probabilità che siano di tre semi diversi.

In un mazzo di 40 carte ci sono 40×39×38=59280 possibili combinazioni di tre carte. Noi “vinciamo” quando ne abbiamo almeno due uguali.

Le combinazioni in cui la seconda sia uguale alla prima sono

40×3×38=4560

.

(Fra queste c'è anche quella con tutte e tre le carte uguali che dovremo stare attenti a contare una volta sola).

Le combinazioni in cui è la terza (e non la seconda) ad essere uguale alla prima sono

40×36×3=4320

(Fra queste non è conteggiata quella con tutte e tre le carte uguali, in quanto ho ipotizzato che le prime due siano diverse).

Le combinazioni in cui la terza è uguale alla seconda (ma non alla prima) sono pure 40×36×3=4320 (Ed anche qui non sto conteggiando il caso in cui siano tutte e tre uguali).

Potevo anche complessivamente contare le combinazioni con le prime due diverse ma con la terza uguale alla prima o alla seconda e avrei contato

40×36×6=8640

.

Comunque vogliamo contarli, i casi favorevoli sono

4560+4320+4320=13200

.

La probabilità di avere almeno due carte dello stesso valore è dunque

13200

59280 ≈0,22

.

La seconda richieste ci impone di avere tre semi diversi, i casi possibili sono i soliti, per contare i casi favorevoli consideriamo che, dopo aver estratto la prima carta ci sono 30 carte di seme diverso da estrarre. Quando vado ad estrarre l'ultima carta, le rimanenti di seme diverso sono soltanto 20, dunque i casi favorevoli sono

40×30×20=24000

.

La probabilità che le carte siano di tre semi diversi sono dunque

24000 59280 ≈0,40

2

Risolvere la seguente equazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:

∣ 1−x∣+∣2−x∣−∣x−3∣=1−4 x

In questa equazione compaiono tre valori assoluti, i cui argomenti si annullano rispettivamente per

x=1 ; x=2 ; x=3

. Questi valori dividono la retta reali in quattro zone che saranno anche i quattro casi i cui suddivideremo la nostra risoluzione.

Caso

x<1

.

L'equazione diventa

1−x+2−x−3+x=1−4 x

ovvero

3 x=1

ovvero

x= 1

3

che è accettabile.

Caso

1≤x<2

.

L'equazione diventa

x−1+2−x−3+x=1−4 x

ovvero

5 x=3

ovvero

x= 3

5

che non è accettabile.

Caso

2≤x<3

.

L'equazione diventa

x−1+x−2−3+x=1−4 x

ovvero

7 x=7

ovvero

x=1

Caso

x≥3

.

L'equazione diventa

x−1+x−2−x+3=1−4 x

ovvero

5 x=1

ovvero

x= 1

5

Conclusione: l'unica soluzione dell'equazione è

x= 1

3

(3)

3

Risolvere la seguente disequazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:

∣

^{3 x−4}4 x−3

∣

^<1

Condizione di esistenza:

4 x−3≠0

ovvero

x≠ 3 4

^.

Il modo più rapido per risolvere questo tipo di disequazione è tradurre il valore assoluto nella doppia disuguaglianza

−1< 3 x−4

4 x−3 <1

, che poi è un sistema di due disequazioni.

Risolviamo per prima la disequazione

3 x−4

4 x−3 < 1

ovvero

3 x−4

4 x−3 −1<0

ovvero

3 x−4−4 x+3 4 x−3 <0

ovvero

−x−1

4 x−3 < 0

ovvero

x+1 4 x−3 >0

. Per chiarirci le idee creiamo una tabella:

x<−1 x=−1 −1<x< 3

4 x= 3

4 x> 3

4 x+1 - 0 + + +

4 x−3

- - - 0 +

x+1 4 x−3

+ 0 - Non esiste +

Dunque per la prima disequazione le soluzioni sono

x<−1∨x> 3 4

Risolviamo adesso l'altra disequazione

−1< 3 x−4

4 x−3

^ovvero

3 x−4

4 x−3 +1>0

ovvero

3 x−4+4 x−3 4 x−3 >0

ovvero

7 x−7 4 x−3 > 0

.

Per chiarirci le idee anche in questo caso creiamo una tabella:

x< 3

4 x= 3

4

3 4 < x<1 x=1 x>1

7 x−7 - - - 0 +

4 x−3 - 0 + + +

7 x−7 4 x−3

+ Non esiste - 0 +

Osserviamo che per la seconda disequazione le soluzioni sono

x< 3

4 ∨ x>1

.

Intersechiamo adesso i due insiemi di soluzioni trovati, quello che si ottiene è

x<−1∨x>1

che è l'insieme di soluzioni richiesto.

(4)

Risolviamo la stessa disequazione utilizzando il metodo più lento, ma più generale, della distinzione in casi sulla retta reale. Ricordiamo la condizione di esistenza

x≠ 3

4

e studiamo il segno della frazione

3 x−4

4 x−3

con la solita tabella:

x< 3

4 x= 3

4

3 4 < x< 4

3 x= 4

3 x> 4

3 3 x−4 - - - 0 +

4 x−3 - 0 + + +

3 x−4 4 x−3

+ Non esiste - 0 +

Osserviamo che

x= 4

3

fa parte dell'insieme delle soluzioni e poi passiamo allo studio diviso in casi.

Caso

x< 3

4

. La disequazione diventa

3 x−4

4 x−3 < 1

ovvero

3 x−4

4 x−3 −1<0

ovvero

3 x−4−4 x+3

4 x−3 <0

ovvero

−x−1

4 x−3 <0

ovvero

x+1

4 x−3 >0

. In questo caso il denominatore è sicuramente negativo e quindi la disuguaglianza è soddisfatta per x<−1 .

Caso

3 4 < x< 4

3

. La disequazione diventa

4−3 x

4 x−3 < 1

ovvero

4−3 x

4 x−3 −1<0

ovvero

4−3 x−4 x+3

4 x−3 <0

ovvero

7−7 x

4 x−3 < 0

. All'interno di questo caso il denominatore è sicuramente positivo, dunque il segno della frazione dipende da quello del numeratore. La disuguaglianza è verificata per

1<x < 4

3

^.

Caso

x> 4

3

. I calcoli sono esattamente gli stessi già fatti al caso

x< 3

4

. Quando ci ritroviamo a ragionare sulla disuguaglianza

x+1

4 x−3 > 0

osserviamo che in questo caso sia il denominatore che il numeratore sono sicuramente positivi e quindi la disuguaglianza è soddisfatta per tutte le

x> 4

3

del caso in questione.

Conclusione, l'insieme di soluzioni richiesto è x<−1∨x>1 .

(5)

4

Disegnare nel piano cartesiano i punti di coordinate:

A(4 ;0) B(0 ;−2) C (1 ;−1) D(−1 ;3)

e determinare la distanza tra i punti medi dei segmenti AB e CD.

Determiniamo le coordinate dei punti medi,

chiamiamo M il punto medio di A e B e chiamiamo N il punto medio di C e D.

x

_M

= 4+0

2 =2 ; y

_M

= 0−2

2 =−1 ;M (2 ;−1)

x

_N

= 1−1

2 =0 ; y

_N

= −1+3

2 =1 ; N (0 ;1)

Calcoliamo la distanza richiesta utilizzando l'apposita formula:

MN = √ ⁽ ²⁻⁰⁾

²

^+(−1−1)

²

⁼ √ 4+4= √ 8

Non è indispensabile scrivere nella risposta un'approssimazione, ma se proprio non si resiste e si vuole scrivere per forza ricordiamoci che quando approssimiamo non è corretto usare il simbolo di uguaglianza.

√ 8≈2,83

^.

(6)

5

Calcolare la media aritmetica, la moda, la mediana, la varianza e lo scarto quadratico medio della seguente raccolta di dati:

102 – 106 – 115 – 117 – 118 – 119 – 118 – 121 – 121 – 121 – 123 – 124 – 125 – 127 – 136 – 140

Per calcolare la media aritmetica dobbiamo sommare tutti i dati e dividere per il loro numero. La somma totale è 1933 e dobbiamo dividerla per 16.

1933

16 ≈120,81≈121

. La moda è 121, il dato più ricorrente (ricorre tre volte).

Per la mediana occorre metterli in ordine crescente (o decrescente). Sono quasi già in ordine, per un mero refuso (mea culpa) occorre scambiare di posto un 118 col 119. La correzione è comunque irrilevante, visto che i due dati centrali (ottavo e nono posto) sono entrambi 121, e quindi anche la mediana è 121.

Per calcolare la varianza possiamo utilizzare la definizione, cioè fare la media aritmetica dei quadrati degli scarti, oppure utilizzare la forma semplificata, ovvero la sottrazione tra la media dei quadrati dei dati e il quadrato della media aritmetica. In seguito riportiamo una tabella con i dati ottenuti sia in una modalità che nell'altra (utilizzando il foglio elettronico). Nella tabella si può tra l'altro osservare come la media aritmetica degli scarti al quadrato (cella celeste) coincida con la differenza tra la media dei quadrati dei dati e la media al quadrato (cella gialla).

Infine, per calcolare lo scarto quadratico medio dobbiamo estrarre la radice quadrata della varianza.

Si tratta ovviamente di approssimazioni.

DATI SCARTI SCARTI^2 DATI^2

102 -18,8125 353,91015625 10404

106 -14,8125 219,41015625 11236

115 -5,8125 33,78515625 13225

117 -3,8125 14,53515625 13689

118 -2,8125 7,91015625 13924

119 -1,8125 3,28515625 14161

118 -2,8125 7,91015625 13924

121 0,1875 0,03515625 14641

123 2,1875 4,78515625 15129

124 3,1875 10,16015625 15376

125 4,1875 17,53515625 15625

127 6,1875 38,28515625 16129

136 15,1875 230,66015625 18496

140 19,1875 368,16015625 19600

MEDIA AR. 120,8125 81,90234375 14677,5625

VARIANZA: 81,90234375

SCARTO QUADRATICO MEDIO: 9,0499913674