Esame di Analisi Matematica 3 - 01-03-2019 1. (7 punti) Data la forma differenziale

Esame di Analisi Matematica 3 - 01-03-2019 1. (7 punti) Data la forma differenziale

ω(x, y, z) = [ 2xye ^x

^y + yz ] dx + [ x ² e ^x

^y + xz ] dy + [ xy + √ ¹

1−(z−1)

]dz trovare il suo insieme di definizione D e

(a) Dire se ` e chiusa in D

(b) Dire se ` e esatta in D, calcolando in caso affermativo le primitive.

(c) Per ogni a > 1 sia γ _a il grafico della funzione y = _x ¹

, 1 ≤ x ≤ a nel piano z = 1 Calcolare lim _a→+∞ R

γ

ω

2. (7 punti) Calcolare il volume dell’ insieme

V = [ x ² + y ² + z ² ≤ 3 ; z ≥ 0 ; x ² + y ² ≤ 3z ² ] ⊂ R ³ (a) In coordinate sferiche

(b) in coordinate cilindriche

3. (9 punti) Data la funzione di due variabili f (x, y) =

( _{( e}

−1−xy)

x

se x 6= 0

1

2 y ² se x = 0 , studiarne la continuit` a, calcolare le derivate parziali, studiare la differenziabilit` a e dire se la funzione ` e di classe C ¹ (R ² ).

4. (9 punti) Si consideri al variare del parametro t, con 0 ≤ t ≤ 1, la funzione f (x, y) = (x ² + y ² − 2)(y − t), (x, y) ∈ R ²

(a) Determinare al variare di t ∈ [0, 1] i punti critici della funzione f , e studiarne la natura (massimo, minimo, sella).

(b) Verificare che al variare di t ∈ [0, 1] esiste un unico punto P ₁ ^t di minimo asso- luto ed un unico punto P ₂ ^t di massimo assoluto di f sull’ insieme [x ² + y ² ≤ 2]

(cio` e tali che f (P ₁ ^t ) = min _[x

_+y

_≤2] f (x, y), f (P ₂ ^t ) = max _[x

_+y

_≤2] f (x, y)) e de- terminare tali punti.

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