Compito di Fisica Matematica, 18/7/2005
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno quattro dei seguenti quesiti:
(1) Calcolare il residuo della funzione f (z) = z(zez2−1+25)sin (z − 5i) in corrispondenza di z1= 5i, di z2= −5i e di z3= 0.
(2) Risolvere l’equazione differenziale y00(t) + y0(t) + y(t) = 2, con le condizioni iniziali y(0) = 1 e y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(3) Sviluppare in serie di Fourier la funzione f (x) = x2.
(4) Calcolare la derivata nel senso debole della distribuzione ϕ(t) = u(t−1) cos(2t) sin(π(t−1)).
(5) Verificare che la funzione f (x) = e−xarctan[x] appartiene ad L2(R) (6) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Fourier della funzione
f (x) =
( 1, x ∈ [−a, a];
0, altrove,
in cui a `e una costante positiva. Da un punto di vista qualitativo, cosa ci si attende dalla ˆf (p) quando a viene fatto tendere ad infinito?
(7) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione f (t) =
( t et, t ∈ [0, 1[;
0, altrove.
1
