Classi di rischio La personalizzazione a priori

Per determinare le caratteristiche dei rischi in base alle quali personalizzare i premi a priori si fa riferimento ad osservazioni statistiche di dati aziendali, di portafogli di altre imprese o ancora dati di mercato. Grazie all’osservazione statistica l’assicuratore può determinare quali sono i fattori che influiscono sulle variazioni probabilistiche degli elementi aleatori che descrivono la sinistrosità di ogni individuo.

La sinistrosità può essere descritta considerando il numero di sinistri avventi nel periodo di copertura, il risarcimento per sinistro o il risarcimento totale. Possono essere considerati anche altri elementi, per esempio, nel caso della responsabilità civile può essere importante separare i danni causati dai sinistri a cose, con lesioni a persone o i danni causati ad entrambe.

La definizione delle classi di rischio si basa quindi su:

 i fattori di rischio, cioè le caratteristiche del rischio. I fattori giudicati influenti sulla sinistrosità. Sono informazioni che l’assicuratore può ottenere a priori, prima di disporre di dati sulla storia di sinistrosità.

 le modalità, qualitative o quantitative, che rappresentano le determinazioni assunte dai fattori di rischio.

Ad esempio, nell’assicurazione incendio, gli edifici sono classificati in base alla loro destinazione, quindi suddivisi a seconda che siano ad uso abitativo, commerciale o industriale; in base alla zona in cui sono stati costruiti, cioè urbana, industriale o rurale; al tipo di costruzione, ossia la distinzione fra edifici in cemento armato, muratura o legno; ed ancora in base al numero di piani. I fattori di rischio sono la destinazione, l’ubicazione, il tipo di costruzione e il numero di piani; le modalità sono invece le specifiche determinazioni di ogni fattore: uso abitativo, commerciale o industriale; cemento armato, muratura o legno, e così via. La scelta dei fattori di rischio e della definizione delle modalità si basa sull’utilizzo di metodi statistici quali metodi di cluster analysis, con l’obiettivo di ripartire le modalità delle variabili esplicative in classi, o procedimenti di analisi statistica univariati o multivariati, per definire l’ordinamento delle variabili esplicative in base alla loro significatività; nel caso di analisi univariata si farà riferimento al test del chi-quadro, mentre nel caso di analisi multivariata si utilizzano i modelli lineari generalizzati.

Al momento della stipulazione del contratto, una volta che l’assicuratore ha individuato i fattori di rischio, è necessario raggruppare le modalità per selezionare i fattori più significativi. Il rischio

dev’essere poi assegnato ad un’appropriata classe, in modo da poter assegnare ogni assicurato alla classe che più rispecchia la sua sinistrosità; le classi in cui è ripartito il portafoglio sono definite classi tariffarie ed i fattori di rischio selezionati sono detti variabili tariffarie.

Per poter valutare i premi è necessario individuare una funzione, il cosiddetto modello tariffario, che consente di associare ad ogni classe il corrispondente premio, grazie ad alcuni parametri da cui dipende, detti relatività. Una volta scelto il modello tariffario e stimato le relatività è possibile ottenere la tariffa.

I modelli tariffari possono essere riferiti alla quota danni, alla frequenza dei sinistri e al risarcimento medio per sinistro o ancora al tasso di premio. Per analizzare i vari modelli tariffari supponiamo ora di aver già selezionato due variabili tariffarie e di aver già ripartito le rispettive determinazioni nella modalità I, per la prima variabile tariffaria e J per la seconda. Il portafoglio dell’assicuratore sarà così suddiviso in I×J classi tariffarie; la coppia (i, j) rappresenta la classe in cui la prima variabile tariffaria ha modalità i, mentre la seconda ha modalità j.

Il primo modello che sarà trattato è quello basato sulla quota danni. Ipotizziamo che i risarcimenti totali per rischi appartenenti ad una stessa classe siano identicamente distribuiti. Per la classe (i, j) il risarcimento totale in un anno di copertura per il k-esimo sinistro sarà indicato con

, mentre il valore atteso dei risarcimenti aleatori totali sarà ( ), allora ( ) = ( ). Generalmente i dati disponibili si riferiscono a coperture annuali; le polizze sono osservate per frazioni di anno pertanto è necessario tener conto dei tempi di esposizione. Il tempo di esposizione è infatti la durata, espressa in anni, del periodo di copertura nell’intervallo osservato (Giagnte, Picech, Sigalotti, 2010).

Sia allora indicato con il risarcimento totale osservato per la classe (i, j); con l’esposizione totale nella classe (i, j); con il risarcimento totale osservato del portafoglio e con l’esposizione totale nel portafoglio. I rapporti

= ; (3.42) indicano rispettivamente la quota danni per la classe (i, j), che rappresenta una stima grezza del premio equo per i rischi della classe, e la quota danni di portafoglio.

Alcune classi di rischio possono essere formate in alcuni casi da un numero ristretto di contratti e talvolta i dati possono essere soggetti a errori e/o perturbazioni accidentali, come ad esempio un’elevata sinistrosità del tutto casuale. È opportuno pertanto durante processo di tariffazione, considerare aggregati più ampi e non solamente i dati provenienti da un’unica classe, anche per evitare che per classi fra loro vicine siano attribuiti premi molto diversi. I valori grezzi devono quindi essere perequati tenendo conto dell’osservazione statistica relativa all’intero aggregato e

adottando modelli esplicativi del legame tra i specifici valori della classe e i valori medi dell’aggregato. La perequazione introduce inoltre un effetto di solidarietà, cioè all’interno di un portafoglio di rischi, quelli con premi equi più bassi pagheranno un premio superiore rispetto all’equo a vantaggio di quei rischi per i quali sono calcolati premi equi più elevati.

I modelli tariffari utilizzati sono due: il modello additivo e il modello moltiplicativo. Il modello moltiplicativo è espresso da:

( ) = (3.43) mentre il modello additivo è espresso come:

( ) = + + (3.44) ponendo ( ) = ( , ) è possibile scrivere in forma compatta i due modelli come:

( , ) = _{+ +} (3.45) in cui è un valore fissato e i parametri , , i = 1,…, I e j = 1,…, J sono le relatività che dovranno essere stimate dai dati. Infatti una volta stimate si otterranno , e quindi anche la stima ( ) di ( ). Il premio equo della classe (i, j) sarà allora:

= ( ) = ( , ) (3.46) Il valore potrà ad esempio essere fissato pari alla quota danni = , il premio medio è aggiustato classe per classe al fine di ottenere premi che rispecchiano le caratteristiche di sinistrosità delle classi. In modo frequente è fissato pari alla quota danni di una assegnata classe tariffaria, detta classe di riferimento.È importante osservare che è possibile costruite la tariffa, non soltanto partendo dal risarcimento totale atteso. In ipotesi di distribuzione composta la tariffa può essere calcolata anche mediante la stima separata del numero atteso di sinistri per rischio, a partire dalle frequenze dei sinistri, e del risarcimento atteso per sinistro, a partire dai risarcimenti medi osservati. I premi saranno quindi calcolati come prodotto delle due componenti; questo rappresenta l’approccio più utilizzato in pratica e suggerito in letteratura.

I modelli basati sulla frequenza dei sinistri e sul risarcimento medio per sinistro accolgono le seguenti ipotesi:

 I numeri di sinistri per i rischi appartenenti ad una classe tariffaria sono identicamente distribuiti, pertanto per la classe (i, j) si avrà ( ) = ( ), in cui indica il numero di sinistri osservati in un anno all’interno della classe per il k-esimo rischio e ( ) il valore atteso del numero di sinistri per la classe (i, j).

 I risarcimenti di ogni sinistro per i rischi di una classe tariffaria sono identicamente distribuiti; per la classe tariffaria (i, j) avremo ( ) = ( ), nella quale indica il risarcimento per l’h-esimo sinistro e ( ) il valore atteso dei risarcimenti per la classe tariffaria (Giagnte, Picech, Sigalotti, 2010).

Per l’applicazione di tale modello ipotizziamo di disporre anche dei dati riferiti al numero di sinistri oltre che sui risarcimenti e sulle esposizioni. Possiamo indicare infatti con il numero totale dei sinistri osservati per la classe (i, j) e il numero totale dei sinistri osservati per il portafoglio.

I rapporti

; (3.47) indicano rispettivamente l’indice di sinistrosità per i rischi appartenenti alla classe (i, j), cioè una stima del numero dei sinistri atteso per anno, e l’indice di sinistrosità del portafoglio.

( ) = ( , ) = _{+ +} (3.48) Nella (3.44) potrà ad esempio essere = ( ), in cui i = 1,…, I e j = 1,…, J.

Per ciò che concerne i risarcimenti invece, i rapporti:

; _(3.49) sono rispettivamente il risarcimento medio per sinistro che ha colpito i rischi appartenenti alla classe (i, j), che stima il risarcimento atteso per il singolo sinistro di ciascun rischio appartenente alla classe, e il risarcimento medio per sinistro dell’intero portafoglio.

Da qui avremo che:

In questo caso potrà essere posto = ( ), in cui i = 1,…, I e j = 1,…, J,

Per ottenere il premio equo sarà necessario moltiplicare la stima dei sinistri ( ) con quella dei risarcimenti ( ). Il rischio della classe (i, j) sarà:

= ( ) = ( )( ) (3.51) L’ultimo modello tariffario è quello basato sul tasso di premio. Qualora nella copertura assicurativa possa essere individuata l’esposizione monetaria, cioè la massima determinazione di risarcimento per sinistro, il premio può essere determinato mediante l’uso del tasso di premio.

Anche in questo caso è necessario assumere alcune ipotesi, infatti si supponga che i risarcimenti totali per unità di esposizione monetaria per rischi di una stessa classe siano identicamente distribuiti. Per la classe (i, j), avremo = ( ), in cui e indicano il risarcimento annuo totale e l’esposizione monetaria per il k-esimo rischio della classe, mentre ( ) è il valore atteso del rapporto .

Indicando con l’esposizione monetaria totale per la classe (i, j) e con l‘esposizione monetaria totale dei rischi del portafoglio, sarà importante tener conto anche dei tempi di esposizione dei contratti, pertanto = ∑ poiché indica il tempo di esposizione del k-esimo rischio per la classe (i, j).

I rapporti in questo caso saranno dati da:

= ; = _(3.52) il primo indica il tasso di premio per i rischi della classe (i, j), mentre il secondo indica il tasso di premio del portafoglio. I due modelli tariffari saranno allora:

( ) = ( , ) = _{+ +} (3.53) Per questo modello può essere posto uguale al tasso di premio = ; una volta stimate le relatività, si otterrà la stima del valore atteso dell’unità di esposizione monetaria ( ), in cui i = 1,…, I e j = 1,…, J.

= ( ) . (3.54)