Il premio puro

che rappresenta l’esposizione media per contratto.

È ora possibile scomporre τ come segue:

τ = = (3.24) la quantità indicata da è definita grado medio di risarcimento. Al pari del precedente caso in cui si supponeva omogeneità nel portafoglio, Q esprime anche in questo caso l’importo di risarcimento medio per polizza; tuttavia, a causa dei differenti valori assicurati, non è appropriato per la definizione del premio o per riassumere i costi dei sinistri avvenuti.

3.2.2 Il premio puro

L’operazione finanziaria aleatoria contemplata dal contratto di assicurazione non può essere condotta solamente in termini di equità, pertanto al premio equo deve essere necessariamente aggiunto un compenso per il rischio che l’assicuratore si assume. Tale compenso è definito caricamento di sicurezza e rappresenta il guadagno atteso per l’impresa, derivante dall’operazione. Infatti se l’assicuratore applicasse alla proprie polizze un premio equo, proporrebbe al contraente un contratto per lui svantaggioso, incorrendo nel rischio di subire perdite nella gestione del portafoglio di contratti a causa dell’assenza di qualsiasi margine tecnico di guadagno.

Il premio puro, cioè la somma fra premio equo e caricamento di sicurezza, è il premio che permette all’assicuratore di raggiungere l’equilibrio tecnico della propria gestione, garantendo la solvibilità dell’impresa e la capacità di far fronte agli impegni presi nei confronti degli assicurati.

Il premio puro può pertanto essere definito come:

Π = ( ) (3.25) La (3.25) è definita principio di calcolo del premio: H indica un funzionale che associa un numero reale Π a ciascuna possibile distribuzione di probabilità del risarcimento globale S.

I più importanti principi di calcolo del premio sono cinque e sono di seguito esposti. I. Principio del valore atteso.

Π = (1 + ) ( ) (3.26) in cui > 0 ed è adimensionale. Il caricamento di sicurezza, indicato da ( ), è un importo proporzionale al valore atteso dei risarcimenti a carico dell’assicuratore.

Si tratta di un principio di calcolo spesso utilizzato nella pratica assicurativa proprio per a sua semplicità. Il vantaggio dell’applicazione di tale principio risiede nel fatto che i dati utilizzati sono i medesimi impiegati nel calcolo del premio equo; lo svantaggio è connesso invece al calcolo del caricamento di sicurezza, che prescinde dalle misure di rischio. II. Principio della varianza.

Un caricamento di sicurezza proporzionale ad una misura di rischio è invece previsto dal principio della varianza. In questo caso il premio puro è determinato dalla formula:

Π = ( ) + ( ) (3.27) Nella quale > 0. Il caricamento di sicurezza ( ) è proporzionale alla rischiosità del contratto, misurata dalla varianza.

La capacità del caricamento di sicurezza di rappresentare il guadagno atteso per l’impresa dipende però dalla capacità della varianza di quantificare correttamente il rischio derivante da S. Per poter valutare ciò, è necessario analizzare la distribuzione di probabilità di S: se è simmetrica e le code sono corte, allora la varianza è da considerarsi una buona misura di rischio.

A differenza del principio del valore atteso, il principio della varianza richiede pertanto l’analisi di ulteriori informazioni e dati rispetto a quelli utilizzati per il calcolo del premio equo.

III. Principio dello scarto quadratico medio.

In modo alquanto simile al principio della varianza, il principio dello scarto quadratico medio (o deviazione standard) definisce il premio puro come:

Π = ( ) + ( ) (3.28) in cui > 0 ed è adimensionale e ( ) = ( ). Il vantaggio rispetto al principio della varianza consiste nel fatto che non è legato a nessuna unità di misura. I due principi sono in ogni caso molto simili; in particolare, può essere determinato lo stesso ammontare di premio puro applicando i due principi, poiché:

= ( ). (3.29) Per un’esemplificazione dei tre diversi principi, si ipotizzi ( ) = 1.30 e ( ) = 13. Il premio equo sarà pari a = ( ) = 1.30. Assumiamo che il premio puro sia uguale a Π = 1.40; il caricamento di sicurezza sarà dato dalla differenza tra premio puro e premio equo, quindi Π −

= 0.10 (Olivieri, Pitacco, 2010).

In alternativa, il caricamento di sicurezza può essere ottenuto mediante l’applicazione dei tre principi appena esposti ed avremmo:

 principio del valore atteso: = _{( )}= 7.692%;  principio della varianza: = _{( )}( )= 0.00769;

 principio della deviazione standard: = _{( )}( )= 2.774%. IV. Principio dell’utilità attesa.

Secondo questo principio, il premio puro è calcolato come soluzione dell’equazione: [ ( − )] = 0 (3.30) Il premio puro è il premio di indifferenza, per una data funzione di utilità . L’utilità attesa del guadagno aleatorio, pari a − , non deve essere inferiore all’utilità attribuita alla situazione antecedente la stipula del contratto. In altre parole, in base a questo principio, il premio puro è quel premio che rende indifferente, in termini di utilità attesa, la situazione precedente all’assunzione del contratto e quella seguente: è il minimo premio che rende il contratto non svantaggioso per l’assicuratore.

Consideriamo a titolo esemplificativo l’applicazione di questo principio in caso di un’utilità quadratica ( ) = − per ≤ e parametro legato alla ricchezza disponibile; sostituendo nella (3.30) la funzione di utilità e sviluppando l’equazione si ottiene un’approssimazione del premio puro uguale a:

Π ≅ ( ) +₂ 1 ( ) (3.31) Con questa funzione di utilità si ritorna al principio della varianza; in questo caso il caricamento di sicurezza cresce al crescere della varianza del risarcimento aleatorio e della quantità , che misura l’avversione al rischio.

Il caso in cui > Π indica una situazione di perdita economica per l’assicuratore. In relazione al principio del percentile, il premio puro dev’essere calcolato come:

Pr[ > Π ] = ε (3.32) dove ε (0 < ε < 1) è la probabilità di conseguire una perdita sul singolo contratto e indica un percentile convenientemente piccolo. Tanto maggiore sarà la probabilità di subire una perdita, tanto maggiore sarà il premio puro.

Per poter applicare il principio del percentile è necessario assegnare una distribuzione di probabilità ad S. Indicata con F la funzione di ripartizione dei risarcimenti avremo:

1 − ( ) = (3.33) L’unicità e l’esistenza della soluzione di quest’ultima formula sono assicurate solo nel caso in cui la funzione F sia continua e monotona crescente in senso stretto. Generalmente tale principio di calcolo è applicato per rischi particolarmente estremi, negli altri casi vengono utilizzati criteri più semplici.

I vari principi di calcolo del premio puro possono inoltre essere analizzati in base alle proprietà che soddisfano.

Sappiamo che il principio di calcolo del premio definisce un funzionale H, il quale associa dei numeri reali positivi a ciascun elemento della distribuzione di probabilità del totale dei risarcimenti S. H deve soddisfare alcune proprietà matematiche, fondamentali all’interno del sistema di tariffazione assicurativa:

A. Positività nel caricamento di sicurezza.

È necessario che il caricamento di sicurezza abbia valore positivo, per qualsiasi S. Il premio puro deve essere maggiore del valore atteso dei risarcimenti.

( ) > ( ) (3.34) B. Additività.

Se S1 e S2 sono stocasticamente indipendenti, è richiesto che:

( + ) = ( ) + ( ) (3.35) Il premio della somma tra S1 e S2 dev’essere uguale alla somma dei loro premi. Quindi

l’unione di rischi indipendenti non influisce sul calcolo del premio globale. C. Traslatività.

( + ) = ( ) + (3.36) La costante b rappresenta un aumento dell’importo di risarcimento, comune a tutti i possibili sinistri. Se il possibile ammontare dei risarcimenti S aumenta di una costante pari a b, allora ci si aspetterà un aumento di pari importo anche nel premio.

D. Omogeneità d’importo. Secondo tale proprietà:

( ) = ( ) (3.37) dove a è un numero reale positivo, che rappresenta un aumento proporzionale del premio per ogni possibile risarcimento. Se ipotizziamo che il valore dei risarcimenti non possa superare un certo importo smax, che rappresenta quindi la massima determinazione possibile del risarcimento aleatorio S, allora la massima determinazione possibile di risarcimento per aS sarà dunque asmax; l’omogeneità d’importo implica che il premio cresca proporzionalmente con il massimo importo risarcibile.

Tale proprietà è però in contrasto con l’esigenza di fissare caricamenti di sicurezza più elevati per rischi con importo massimo risarcibile molto alto. L’impresa di assicurazione nella prassi adotta generalmente un tasso di premio cosante ad intervalli, definiti in base al valore assicurato. All’interno di ciascun intervallo il valore di a sarà costante, ma aumenta man mano che si passa ad intervalli successivi, quindi a valori assicurati più elevati. Il tasso in questo caso sarà costante a tratti; la proprietà di omogeneità sarà valida solo localmente, all’interno dei singoli intervalli.

E. Premio inferiore al massimale (No ripoff).

Se il risarcimento non può superare un fissato importo M, detto massimale, allora: ( ) ≤ (3.38) Nessun assicurato sarà disposto a pagare un premio puro maggiore del possibile importo di risarcimento che realisticamente riceverà dall’assicuratore in caso di sinistro.

FIGURA 46.TASSO DI PREMIO COSTANTE A TRATTI

FONTE:PITACCO (2000), PAG.56

I principi di calcolo del premio puro non soddisfano tutte le proprietà elencate, ma solo alcune fra di esse. La Tabella 7 schematizza quale fra le proprietà sono soddisfatte dai singoli principi.

TABELLA 7.LE PROPRIETÀ SODDISFATTE DAI PRINCIPI DI CALCOLO DEL PREMIO

PRINCIPI DI CALCOLO I II III IV V PR OP RI ET À A     X B   X X X C X     D  X  X  E X X X  

FONTE:PITACCO (2000), PAG.56

La proprietà A, cioè la positività del caricamento di sicurezza è soddisfatta da tutti i principi, ad esclusione di quello del percentile (V). Se la probabilità di accadimento del sinistro è inferiore rispetto a , allora il premio sarà pari a 0. È necessario quindi verificare che il caricamento di sicurezza sia positivo, al fine di evitare che il premio definito sia inferiore rispetto al valore atteso dei risarcimenti (Π < ( )), ipotesi che condurrebbe al fallimento dell’impresa.

Per quanto riguarda la proprietà B, l’additività, è rispettata dal principio del valore atteso (I), perché il valore atteso di una somma e uguale alla somma dei singoli valori attesi, e dal principio della varianza (II), poiché la varianza di una somma di variabili casuali indipendenti corrisponde

Tasso di premio

Valore assicurato

alla somma delle loro varianze. La proprietà non è invece valida per il principio della deviazione standard (III), dell’utilità attesa (IV) e del percentile (V). Nel primo caso non è valida perché la deviazione standard della somma di variabili casuali indipendenti, generalmente non è uguale alla somma delle loro rispettive deviazioni standard; non vale nemmeno per il principio del percentile dato che il percentile di una distribuzione non è pari alla somma di percentili delle singole distribuzioni di probabilità. Nel caso del principio dell’utilità attesa, la proprietà non è valida se l’utilità è quadratica, se invece è considerata un’utilità esponenziale21 _{tale proprietà è soddisfatta.}

La traslatività, proprietà C, trova applicazione in tutti i principi, tranne che nel principio di positività del caricamento di sicurezza (I): ( + ) = (1 + )( ( ) + ) non è uguale a

( ) + = (1 + ) ( ) + .

Osserviamo poi che la proprietà D, l’omogeneità di importo non è valida per il principio della varianza (II) e dell’utilità attesa (IV), sia nel caso di utilità quadratica, che nel caso di utilità esponenziale.

Infine la proprietà E è soddisfatta solamente dal principio di utilità attesa (IV) e da quello del percentile (V). Tale proprietà non è applicabile al principio della varianza poiché se prendiamo un rischio S e, per z > 0, un rischio T = zS, avremo MT = zMS. in cui M indica il massimo risarcimento

possibile. Se applichiamo il principio per individuare il premio riferito al rischio T, otterremo Π = ( ) + ( ). Dall’equazione, il premio sarà maggiore rispetto al massimo risarcimento possibile Π > MS se >( ( ))_{( )}. Nemmeno per il principio dello scarto quadratico medio (III)

la proprietà è soddisfatta, poiché se poniamo S = 0 con probabilità q, S = 1 con probabilità p = 1 – q, quindi MS = 1, l’applicazione del principio condurrà ad un premio pari a Π = + che è

maggiore di 1, se >_{( )} (Gerber, 1979).