Le funzioni di risarcimento

Se prendiamo in considerazione un contratto assicurativo, supponendo che il periodo assicurato sia di un anno, durante tale periodo il contratto potrà essere colpito da un numero aleatorio di sinistri N. Ciascun sinistro provocherà un danno, il cui importo è anch’esso aleatorio. A fronte del danno subito, l’assicurato ha diritto ad ottenere un risarcimento e secondo quanto previsto dal principio di non arricchimento, la somma erogata a titolo indennitario dall’assicuratore sarà pari o inferiore al danno sofferto dall’assicurato a causa del sinistro.

Il risarcimento può pertanto essere espresso come funzione del danno:

= ; = 1, 2, 3, … (2.0) in cui:

 è il risarcimento spettante all’assicurato;

 è la variabile aleatoria che rappresenta il danno relativo al j-esimo sinistro, le cui determinazioni sono numeri reali;

 indica la funzione di risarcimento, che rappresenta le condizioni contrattuali della polizza.

Affinché il principio di non arricchimento sia rispettato è necessario che ≤ .

Una prima funzione di risarcimento, adottata nella pratica assicurativa, è quella che garantisce il totale risarcimento del danno determinato da un sinistro.

La relazione tra danno e risarcimento è indicata nella seguente formula:

= (2.1)

Nelle assicurazioni di danni a beni, questa copertura prende il nome di assicurazione a valore intero. La copertura prevede pertanto il risarcimento del danno fino ad un massimo, pari al valore del bene assicurato ed è pertanto necessario che il bene sia assicurato per il suo reale valore, che indicheremo con V.

Tale copertura è invece definita assicurazione a garanzia illimitata nel caso delle assicurazioni di responsabilità civile. L’assicuratore si accolla senza limiti l’importo di danno che l’assicurato è tenuto a risarcire.

La Figura 4 illustra la funzione di risarcimento nel caso di assicurazione a valore intero. La funzione è ovviamente definita per importi di danno inferiori od uguali al valore assicurabile del bene, cioè per X ≤ V.

FIGURA 4.FUNZIONE DI RISARCIMENTO PER UN'ASSICURAZIONE A VALORE INTERO

FONTE:FABRIZI,FORESTI,MOTTURA (2003), PAG.360

FIGURA 5.FUNZIONE DI RISARCIMENTO PER UN'ASSICURAZIONE A GARANZIA ILLIMITATA

FONTE:PITACCO (2000), PAG.44

Nel caso in cui sia stato fissato a livello contrattuale un importo di risarcimento massimo M, la copertura assicurativa risarcirà l’assicurato del danno, fino al limite di tale prefissato importo. In questo caso il risarcimento può essere scritto come:

= min ( , ) (2.2) Nelle assicurazioni di danni a beni, l’importo M è fissato dall’assicurato, molto spesso in relazione all’MPL. Per tale copertura l’assicuratore si impegna a risarcire integralmente i danni subiti dall’assicurato, se di importo inferiore ad M, qualunque sia il valore del bene V. È ovviamente necessario che venga rispettata la condizione M ≤ V. Questa copertura è definita assicurazione a primo rischio assoluto.

0 Y X V V 0 Y X

Specularmente, anche nelle assicurazioni a responsabilità civile possiamo trovare spesso un importo massimo di risarcimento. Per tali coperture M prende il nome di massimale di copertura e rappresenta anche in questo caso il limite massimo di risarcimento a carico dell’assicuratore.

FIGURA 6.FUNZIONE DI RISARCIMENTO PER UN'ASSICURAZIONE A PRIMO RISCHIO ASSOLUTO

FONTE:FABRIZI,FORESTI,MOTTURA (2003), PAG.364

FIGURA 7.FUNZIONE DI RISARCIMENTO PER UN'ASSICURAZIONE CON MASSIMALE DI COPERTURA

FONTE:PITACCO (2000), PAG.45

Nelle assicurazioni di beni è frequente che il contratto possa anche prevedere, oltre ad un massimale M, che il risarcimento sia commisurato al valore assicurato del bene V’, a differenza di quanto previsto nella copertura a primo rischio assoluto. La copertura in questo caso prende il nome di assicurazione a primo rischio relativo.

Indicando sempre con V il valore del bene al momento del sinistro e applicando la regola proporzionale tale per cui = , la funzione di risarcimento sarà:

0 Y X V V M M 0 Y X M M

= min( , ), ≥_{min( , ) , <} (2.3) Se il valore assicurato del bene V’ supera il valore del bene al momento del sinistro il risarcimento previsto dalla copertura è il minore tra importo di danno e massimale. In tale situazione si registra un caso di soprassicurazione. Se invece il valore assicurato V’ è inferiore rispetto a V, sarà risarcito dall’assicuratore il minimo tra il massimale e l’importo di danno in proporzione al valore assicurato. In questo secondo caso si parlerà di sottoassicurazione.

FIGURA 8.FUNZIONE DI RISARCIMENTO PER UN'ASSICURAZIONE A PRIMO RISCHIO RELATIVO

FONTE:PITACCO (2000), PAG.45

FIGURA 9.FUNZIONE DI RISARCIMENTO IN UNA COPERTURA CON SOTTOASSICURAZIONE O CON ALIQUOTA DI SCOPERTO

FONTE:FABRIZI,FORESTI,MOTTURA (2003), PAG.360

0 Y X V V M M M θ V’ ≥ V V’ < V 0 Y X V’ V’ V

Per quanto riguarda poi la clausola di scoperto, possiamo indicare sempre con , l’aliquota di danno che sarà risarcita dall’assicuratore:

= , 0 < < 1 (2.4) La copertura prevede il risarcimento della percentuale del danno. L’importo (1 − )X rimane a carico dell’assicurato, quindi 1 − indica l’aliquota di scoperto.

La funzione (2.4) è rappresentata nella Figura 9. Il grafico è il medesimo della copertura in caso di sottoassicurazione, poiché, come già esposto al Paragrafo 2.5.1, la clausola di scoperto corrisponde ad una copertura a valore parziale, derivante però da una decisione dell’assicuratore e non dalla volontà dall’assicurato.

L’altra importante clausola contrattuale, sia per le assicurazioni di beni che di responsabilità civile, è la franchigia.

Nel caso di franchigia assoluta sappiamo che l’importo di franchigia f rimane in ogni caso a carico dell’assicurato. La funzione di risarcimento può essere così indicata:

= 0, ≤_{− , >} (2.5) Il risarcimento da parte dell’assicuratore avverrà unicamente per importi di danno superiori all’importo di franchigia f. La somma risarcita sarà pari alla differenza tra danno e franchigia.

FIGURA 10.FUNZIONE DI RISARCIMENTO IN UNA COPERTURA CON FRANCHIGIA ASSOLUTA

FONTE:PITACCO (2000), PAG.46

f 0

Y

Qualora invece la polizza assicurativa prevede la clausola di franchigia relativa, i danni al di sopra dell’importo di franchigia f saranno integralmente risarciti dall’assicuratore. La funzione sarà pertanto:

= 0, ≤_{, >} (2.6)

FIGURA 11.FUNZIONE DI RISARCIMENTO IN UNA COPERTURA CON FRANCHIGIA RELATIVA

FONTE:PITACCO (2000), PAG.46

Le funzioni di risarcimento appena esaminate non esauriscono l’intera gamma di possibili relazioni tra prestazioni erogate dall’assicuratore e danni.

Un altro importante esempio è quello delle assicurazioni contro gli infortuni. Per tali coperture è generalmente previsto il pagamento di un capitale da parte dell’assicuratore a fronte di un’invalidità permanente dell’assicurato, causata da un sinistro. Nel momento in cui si verifica l’infortunio è necessario stabilire il grado di invalidità ω, espresso in percentuale, che varia a seconda della gravità delle lesioni fisiche riportare.

L’assicuratore corrisponderà all’assicurato quindi un’aliquota ϕ(ω) del capitale assicurato. La funzione ϕ(ω) è una funzione non decrescente del grado ω (Pitacco, 2000).

La Figura 12 rappresenta il caso di due funzioni adottate nella pratica assicurativa.

Il primo caso, illustrato dalla Figura 12-A, rappresenta l’applicazione di una franchigia di grado, in questo caso espressa in termini percentuali. Se il grado di invalidità si trova al di sotto o è pari al valore ω’, l’assicuratore non pagherà nessun capitale.

f 0

Y

X f

Nella Figura 12-B è illustrata una funzione ϕ che premia le invalidità superiori al 50%, prevedendo il pagamento, in proporzione, di un capitale superiore rispetto alle invalidità al di sotto del 50%, che vengono così penalizzate. Nella funzione è sempre presente una franchigia di grado.

FIGURA 12.CAPITALE PAGATO NELL’ASSICURAZIONI INFORTUNI IN FUNZIONE DEL GRADO DI INVALIDITÀ

FIGURA 12-A FIGURA 12-B

FONTE:PITACCO (2000), PAG.46