A questo punto, analizziamo gli assiomi della ACM, controllando punto per punto se gli assunti e le proprietà del modello di Rasch riescono a “coprirne” tutti i vari aspetti [Karabatsos 2001; Zand Scholten 2011]. Occorre ricordare nuovamente un fatto impor- tante: in questo contesto non stiamo tenendo conto della questione dell’adattamento ai
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dati empirici, ma solo delle caratteristiche formali del modello e, quindi, del caso-limite in cui i dati raccolti siano perfettamente coincidenti con quelli riprodotti dal modello.
Osserviamo, dunque, una matrice fittizia (tab. 10.2), contenente in riga una serie di livelli di abilità, in ordine decrescente; in colonna, una serie crescente di livelli di dif- ficoltà, interpretati però come livelli decrescenti di “facilità” per rendere più immediata l’intuizione della struttura additiva. Possiamo, infatti, definire la facilità di un item come l’inverso della sua difficoltà. Pertanto, se il parametro di difficoltà è rappresentato da δ, quello di facilità, simboleggiato da τ, sarà pari a –δ = τ. Pertanto, essendo la funzione di probabilità governata dalla relazione (β – δ), sostituendo si ottiene (β – δ) = (β + τ). I valori delle celle sono determinati dalla funzione di probabilità
1 1+𝑒(𝛽−𝛿𝑖)
=
1 1+𝑒(𝛽+𝜏𝑖)(eq. 10.1) facilità dell'item 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 abi li tà de l s ogge tt o 0,5 0,73 0,71 0,69 0,67 0,65 0,62 0,60 0,57 0,55 0,52 0,50 0,4 0,71 0,69 0,67 0,65 0,62 0,60 0,57 0,55 0,52 0,50 0,48 0,3 0,69 0,67 0,65 0,62 0,60 0,57 0,55 0,52 0,50 0,48 0,45 0,2 0,67 0,65 0,62 0,60 0,57 0,55 0,52 0,50 0,48 0,45 0,43 0,1 0,65 0,62 0,60 0,57 0,55 0,52 0,50 0,48 0,45 0,43 0,40 0 0,62 0,60 0,57 0,55 0,52 0,50 0,48 0,45 0,43 0,40 0,38 -0,1 0,60 0,57 0,55 0,52 0,50 0,48 0,45 0,43 0,40 0,38 0,35 -0,2 0,57 0,55 0,52 0,50 0,48 0,45 0,43 0,40 0,38 0,35 0,33 -0,3 0,55 0,52 0,50 0,48 0,45 0,43 0,40 0,38 0,35 0,33 0,31 -0,4 0,52 0,50 0,48 0,45 0,43 0,40 0,38 0,35 0,33 0,31 0,29 -0,5 0,50 0,48 0,45 0,43 0,40 0,38 0,35 0,33 0,31 0,29 0,27
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Arriviamo, dunque, alla discussione degli assiomi vera e propria. Si ricordi che ogni punto illustrato nei seguenti paragrafi può essere controllato direttamente anche os- servando la tab. 10.2.
Il primo assioma è quello dell’ordine parziale. Esso è soddisfatto dal modello di Rasch. Infatti, le probabilità stimate dal modello crescono monotonicamente rispetto all’abilità dei soggetti e alla facilità degli item113. A parità di item, la probabilità di supe-
rarlo cresce solamente se aumenta anche l’abilità dei soggetti. Ciò verifica la condizione dell’ordine parziale, secondo la quale dati due soggetti, s1 e s2, e un item, i1, se (s1,i1) ≥ (s2,i1), allora s1 ≥ s2. Inoltre, anche le condizioni di transitività e connessione sono sod-
disfatte, perché se s1 ≥ s2 e s2 ≥ s3, allora anche l’abilità del soggetto s1 sarà maggiore o
uguale a quella di s3 e perché qualsiasi soggetto è confrontabile con qualsiasi afferma-
zione posta in colonna.
Il secondo assioma è quello d’indipendenza, o di cancellazione singola. Anche questo è soddisfatto dal modello di Rasch. Riflettiamo sulle curve di probabilità: esse sono strettamente crescenti e tra loro parallele. Questo vuol dire che un item più difficile avrà sempre una probabilità minore di essere superato rispetto a uno più facile, qualsiasi sia il livello di abilità selezionato; graficamente ciò risulta nel fatto che la curva di ri- sposta al primo item sarà costantemente al di sotto di quella del secondo. Lo stesso ra- gionamento vale per l’abilità: un soggetto con un grado maggiore di proprietà avrà sem- pre una probabilità maggiore di superare qualsivoglia item rispetto a un soggetto con meno proprietà, a prescindere dal livello dell’item. Si noterà che il contenuto di questo assioma trova una corrispondenza nel modello di Rasch nella proprietà dell’oggettività specifica, che afferma appunto che la posizione dei soggetti, come quella degli item, è indipendente, rispettivamente, dagli item o dai soggetti scelti per il confronto.
Passiamo ora all’assioma di cancellazione doppia. In questo caso è utile osservare prima la tabella 10.2 per avere un saggio del fatto che anche questa complessa serie di
113 Il che, si noti, è equivalente a dire che la probabilità cresce monotonicamente rispetto alla diffe-
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relazioni d’ordine è necessariamente soddisfatta dal modello di Rasch114. Anche in que-
sto caso le ragioni del successo risiedono nella natura delle funzioni di probabilità, che descrivono curve continue e costantemente crescenti, tra di loro ordinate e parallele. Questo carattere si rintraccia in matrice, dove i vettori-riga e colonna contengono i valo- ri delle probabilità, che si dispongono in modo da rendere molto bene l’idea di curve pa- rallele e traslate, perché si presentano come il frutto di uno “scorrimento” in diagonale di un medesimo vettore ripetuto: aumentando la densità dei livelli, percorrendo le dia- gonali in direzione 1 e 2 troveremmo comunque rispettati i criteri che costituiscono il principio della doppia cancellazione.
Come si è già segnalato, gli assiomi di risolvibilità e condizione archimedea non sono empiricamente testabili su insiemi finiti di oggetti, elementi, livelli ecc. Un modo di sostituire un test diretto con una prova indiretta è la verifica della gerarchia dei gradi di cancellazione ammessi dalle dimensioni della matrice [Scott 1964]. In una condizione ideale, come quella rappresentata dalle stime delle probabilità del modello di Rasch, an- che la gerarchia completa si dimostra accettata, come la tabella 10.2 mostra in via teori- ca.
Una prova indiretta dell’assioma di risolvibilità è possibile, anche se solo in via di principio, se si è disposti ad accettare quel procedimento che Galileo definì “esperimen- to mentale”. Infatti, data una certa probabilità x che un soggetto s1 superi un item i1, al-
lora dato un soggetto s2 con un’abilità inferiore a s1, è possibile immaginare che possa
esistere sempre un item i2 meno difficile di i1 e tale per cui la probabilità di s2 di supe-
rarlo sia uguale a x. Lo stesso ragionamento vale, mutatis mutandis, per la ricerca di un soggetto s2 dati s1, i1 e i2. In sostanza, l’esperimento mentale si riduce alla possibilità
che tra due qualsiasi soggetti e due qualsiasi item si possa sempre trovare un terzo sog- getto e un terzo item le cui abilità e difficoltà si collochino in un punto intermedio tra le prime due. L’esperimento, nell’ambito di certi limiti, ha una sua applicabilità empirica, ma se portato alle sue conseguenze ultime è solo virtuale perché da un punto di vista pratico e strumentale è ovviamente impossibile procedere all’infinito nella ricerca di soggetti e item con posizioni sempre più ravvicinate tra loro.
114 Questo, in realtà, vale per l’intera gerarchia di cancellazioni, come si può facilmente controllare
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Per quanto riguarda la condizione archimedea, il modello di Rasch rispetta il re- quisito formale per cui se un primo soggetto, con una certa abilità, ha una probabilità data di superare un item, allora un soggetto con un’abilità maggiore avrà la stessa pro- babilità di superare un item più difficile (cioè, con una “facilità” minore).
Quanto fin qui esposto, giustificherebbe la legittimità dell’ipotesi che il modello di Rasch sia un caso di misurazione congiunta additiva di abilità e difficoltà attraverso le relazioni d’ordine tra le probabilità.
Un altro modo di interpretare tale affinità è quello dell’analogia con la misurazio- ne derivata in fisica [Rasch 1960; Andrich 1988; Fischer 1995b; per una visione critica, Kyngdon 2008a]. Luce [1987] mostra che alcune istanze di misurazione derivata sono esempi di misurazione congiunta, caratterizzate da regole di combinazione di tipo mol- tiplicativo. E’ il caso della seconda legge del moto di Newton, per la quale l’accelerazione è il rapporto tra forza e massa di un corpo (𝐴 = 𝐹/𝑀). A parità di forza, il rapporto delle accelerazioni di due corpi si risolve nel rapporto inverso tra le masse: tale rapporto è quindi indipendente dalla forza, che sparisce dall’equazione. Una tra- sformazione logaritmica muta il rapporto tra le masse in differenza tra i loro logaritmi.
𝐴1 𝐴2
=
𝐹 𝑀1 𝐹 𝑀2=
𝑀2 𝑀1= ln(𝑀
2) − ln (𝑀
1)
(eq. 10.2)Riprendiamo ora la derivazione del modello di Rasch, illustrata nel secondo capi- tolo. Come si ricorderà, in quel caso il rapporto tra abilità e difficoltà è trasformato in differenza tra i loro logaritmi. La proprietà di oggettività specifica comporta che, par- tendo dai logit delle probabilità, il rapporto tra le abilità dei soggetti (o la differenza tra i loro logaritmi) siano indipendenti dalle difficoltà degli item. Viceversa per quanto ri- guarda le difficoltà degli item rispetto alle abilità dei soggetti.
[𝑃(𝑋𝑝𝑗=1
𝑃(𝑋𝑝𝑗=0]
[𝑃(𝑋𝑞𝑗=1
𝑃(𝑋𝑞𝑗=0]
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Su questa base, Fischer [1995b, 31] conclude che “sebbene le scale originali B e D (abilità e difficoltà, N.d.A.) sono solamente ordinali per la natura della nozione psico- logica di “abilità” e “difficoltà”, le trasformazioni sono altamente specifiche e uniche rispetto a trasformazioni lineari” e questo renderebbe il caso della misurazione derivata in fisica e quello, sotto nostro esame, del modello di Rasch, tra loro analoghi. Attraverso questo parallelo, si potrebbe giustificare in altro modo il fatto che il modello di Rasch sia un caso di misurazione moltiplicativa congiunta, con una struttura additiva dopo una trasformazione logaritmica.
Nel prosieguo del testo, analizzando le critiche all’ipotesi che il modello di Rasch sia un caso di ACM, lasceremo da parte quest’ultima interpretazione, seppur formal- mente molto interessante: poiché la discussione si concentrerà sulla condizione prelimi- nare della natura quantitativa degli attributi e sul fatto che il modello di Rasch possa aiutare o no a indagarla, l’ipotesi di una misurazione derivata risulterà necessariamente secondaria se prima non troverà risposta la questione dello status degli attributi da cui discenderebbe.
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11 Modello di Rasch e ACM: gli elementi di differenza
Nel precedente capitolo abbiamo cercato di raccogliere gli elementi formali che suffragano l’ipotesi di una stretta parentela tra il modello di Rasch e la ACM; ora è però necessario analizzare, al contrario, le ragioni strutturali ed epistemologiche che spingo- no un altro schieramento di studiosi di scienze psicologiche e sociali a rifiutare tale ac- costamento. Prima di entrare nel dibattito e provare a darne una ricostruzione tematica, è utile affrontare alcune differenze relativamente più intuitive che distinguono le due famiglie di modelli.