7.2 Le proprietà del modello di Rasch: discussione
7.2.5 La logica dell’invarianza nella stima dei soggetti
Il ragionamento appena svolto vale anche, specularmente, per la valutazione dei soggetti rispetto agli item, il che permette di sviluppare la riflessione sul concetto di og-
gettività specifica: le caratteristiche del modello rendono possibile confrontare i soggetti
in modo generalizzabile, indipendentemente dalle condizioni osservative, ossia dallo strumento di rilevazione (gli specifici item utilizzati).
La conseguenza diretta è chiara. Utilizzando i logit come unità di confronto nel modello di Rasch, le persone sono potenzialmente misurate su una scala a intervalli: si possiede un’unità lineare di suddivisione del continuum ed è stabilito uno zero arbitrario cui è ancorata la scala stessa. Date queste condizioni, le differenze tra i punteggi, a pre- scindere dal livello di proprietà espresso, hanno un significato invariante rispetto all’item utilizzato. Questo accade perché, facendo la differenza tra i logit delle abilità di due soggetti, sparisce il parametro dell’item e rimane solo la differenza pura tra i due parametri β sul tratto latente.
La dimostrazione è semplice e immediata. Si diano due soggetti, p e q, e un item j. I rispettivi logit saranno determinati come segue:
𝑙𝑛 [𝑃(𝑋𝑝𝑗=1
117 𝑙𝑛 [𝑃(𝑋𝑞𝑗=1
𝑃(𝑋𝑞𝑗=0] = 𝛽𝑞 − 𝛿𝑗 (eq. 7.37)
Si proceda adesso alla differenza dei due logit:
𝑙𝑛 [𝑃(𝑋𝑝𝑗=1 𝑃(𝑋𝑝𝑗=0] − 𝑙𝑛 [ 𝑃(𝑋𝑞𝑗=1 𝑃(𝑋𝑞𝑗=0] = 𝛽𝑝 − 𝛿𝑗 − (𝛽𝑞− 𝛿𝑗) = (eq. 7.38) 𝛽𝑝− 𝛿𝑗− 𝛽𝑞+ 𝛿𝑗 = 𝛽𝑝− 𝛽𝑞 (eq. 7.39)
La 7.39 mostra che la differenza sulla scala dei logit si riduce effettivamente alla differenza tra le rispettive abilità dei soggetti, senza dover dare conto dell’item. Accade, in via di principio, quella separazione tra misura e strumento invocata da Wright che da- rebbe vita a “una quantità, senza riserve per quanto riguarda quale fosse lo strumento particolare o quale fosse la particolare situazione”, quella distinzione tra “occasione di misurazione” e “misura” che è appunto il cuore del concetto di oggettività.
Il legame di necessità che lega la sufficienza delle stime nel modello di Rasch al concetto di oggettività specifica è ricostruito da Fischer [1995a], il quale in una prospet- tiva assiomatica espone l’insieme di assunti da cui è possibile ricavare una funzione ge- nerale per la famiglia dei modelli di Rasch84. Egli rileva che è possibile arrivare a quello stesso risultato attraverso due set di assiomi. I primi tre sono comuni a entrambi gli in- siemi85:
i) funzione del tratto latente continua nello spazio dei numeri reali e stretta- mente monotona (la IRF);
ii) codominio della funzione (la probabilità di superare l’item) che varia tra 0 e 1 al tendere del dominio (il tratto latente) rispettivamente a -∞ e a +∞; iii) indipendenza locale.
84 Si parla di “famiglia” perché, rispetto a tali assunti, il modello di Rasch rappresenta un caso parti-
colare.
85 Non riteniamo necessario in questo specifico contesto utilizzare la notazione tecnica completa
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Se i primi tre sono considerati “assunti tecnici”, il quarto è “l’assioma fonda- mentale e sostanziale dal quale può essere derivato il modello di Rasch” [ibidem, 461]86:
iv) sufficienza del punteggio grezzo per la stima del tratto latente.
Non ripeteremo qui, ovviamente, i motivi per cui tale assioma costituisca il cuore del modello di Rasch. Ora, però, tenendo fermi gli assiomi i), ii) e iii), è possibile sosti- tuire il iv) con uno che si dimostra del tutto equivalente ai fini della derivazione del mo- dello:
v) oggettività specifica, combinata con il principio di verosimiglianza.
Fischer così definisce l’oggettività specifica87:
- ogni soggetto s è caratterizzato da un parametro di abilità βs;
- ogni item i è caratterizzato da un parametro di difficoltà δi;
- la variabile di risposta bernoulliana (dicotomica) è caratterizzata da un parame- tro di risposta psi determinato da una funzione definita come in i) e ii), F(βs, δi);
- esiste una “funzione di comparazione” U che confronta qualsiasi coppia di sog- getti, p e q, sulla base delle rispettive probabilità di risposta a un qualsiasi item j, tale che l’esito del confronto non dipenderà dal parametro δj ma solo dai para-
metri βp e βq. Tale funzione di comparazione si definisce nella forma
dell’equazione 7.40:
𝑈(𝐹(𝛽𝑝, 𝛿𝑗), 𝐹(𝛽𝑞, 𝛿𝑗)) = 𝑉(𝛽𝑝, 𝛽𝑞) (eq. 7.40)
dove U e V sono funzioni continue nello spazio dei numeri reali. Ora, osservando la struttura della 7.40, si potrà notare come essa descriva quello che accade nelle due equazioni 7.38 e 7.39, dove la scala logit funge da funzione di comparazione che elimi-
86 Fischer rimanda a Rasch [1961], Birnbaum [1968], Andersen [1973], Fischer [1974]. 87 A tal proposito, si richiama esplicitamente a Rasch [1967, 1968, 1972, 1977].
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na l’intervento del parametro dell’item dal calcolo della differenza delle abilità dei sog- getti, rendendola una quantità indipendente dallo strumento88.
Le basi strutturali e matematiche su cui poggia il modello di Rasch creano, quindi, le condizioni per generalizzare i risultati dei confronti tra i soggetti, avvicinandosi all’ideale di una misura come quantità pura e astratta dalle condizioni specifiche del processo89. Quanto affermato va ovviamente interpretato alla luce di quanto già discus- so rispetto al particolare tipo di procedura di “misurazione”, che distingue questo mo- dello dalla forma classica di tipo concatenato.
La potenza delle proprietà del modello di Rasch non deve però essere impropria- mente estesa. Nel testo abbiamo più volte tenuto a porre l’accento che i caratteri analiz- zati appartengono al modello in sé e ai parametri propri delle curve con cui s’ipotizzano siano in relazione il tratto latente negli item e nella popolazione: la nostra disamina si è concentrata su queste caratteristiche formali. Tali parametri sono ovviamente ignoti. Non a caso, il compito dell’indagine empirica è proprio quello di stimarne l’entità sulla base degli assunti del modello. I dati empirici raccolti e il modello astratto non sono ne- cessariamente due specchi che si riflettono: la “realtà” è prima concettualizzata dal ri- cercatore, poi rilevata sulla base di una definizione operativa che struttura e seleziona il dato empirico e, solo alla fine, quest’ultimo può essere confrontato con il modello teori- co, alla ricerca del grado di adattamento agli assunti formali e quindi del grado in cui certi caratteri possano essere estesi al dato empirico. Insomma, la stima dei nostri ormai ben noti parametri si può immaginare come una descrizione più o meno precisa (in pra- tica mai perfettamente esatta) della dimensione denotativa dei concetti con cui andiamo a interpretare la realtà. Il modello sarà più o meno adattato ai dati, il che significa anche che le previsioni del modello stimato avranno sempre un margine di residualità rispetto ai dati empirici. Insomma, la nostra “fotografia della realtà” (se ci è concesso usare que- sta metafora epistemologicamente molto ingenua), per quanto possa essere messa a fuo-
88 Il secondo punto dell’assioma v), il principio di verosimiglianza, richiede che “U dovrebbe essere
una funzione di una non banale (condizionale o incondizionale) verosimiglianza delle risposte” di p e q a
j.
89 A questo proposito, si parla di vere e proprie banche degli item in cui catalogare affermazioni già
calibrate e utilizzabili in modo confrontabile nei più diversi contesti di ricerca. [Wright e Stone 1999; Ba- ker 2001]
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co nitidamente, non eliminerà mai del tutto una certa “sfocatura” rispetto all’immagine “vera” (sempre che ne esista una). Oppure, in altro senso, possiamo anche dire che la rigidità dei modelli astratti formali non riuscirà mai a risolvere ed esaurire completa- mente la variabilità di una realtà (soprattutto quella sociale) che non necessariamente rispetta in tutto e per tutto, anche solo localmente, la logica di assunti e assiomi.
Ecco perché la dimostrazione logico-matematica dell’invarianza dei parametri, della sufficienza dei punteggi, dell’oggettività specifica, non sono generalizzabili auto- maticamente ai dati analizzati sulla base di quel modello. Analizzeremo adesso, in con- clusione, alcuni snodi critici fondamentali90.