L’assunto di cancellazione doppia è soddisfatto dalla relazione d’ordine ‘≥’ sopra
A x M se e solo se, per qualsiasi a, b e c in A e qualsiasi m, n e o in M, se (a,n) ≥ (b,o) e (b,m) ≥ (c,n), allora (a,m) ≥ (c,o); e se (a,n) ≥ (b,m) e (b,o) ≥ (c,n), allora (a,o) ≥ (c,m).
Si tratta di un assunto importantissimo, centrale nell’accertamento dell’additività del modello. Esso, infatti, sancisce sostanzialmente che se alcune relazioni d’ordine sus- sistono in una certa direzione, allora è necessario che anche altre relazioni d’ordine sus- sistano, e nella stessa direzione, affinché il modello sia una rappresentazione additiva di quantità continue misurabili su scale a intervalli.
L’assioma è definito di “cancellazione doppia” perché, partendo da due disegua- glianze, due fattori scompaiono risultando in una terza diseguaglianza. Partendo dalla prima fattispecie (che chiameremo “direzione 1”), che riguarda le relazioni d’ordine lungo le diagonali principali (che partono da sinistra), le due diseguaglianze
(a,n) ≥ (b,o) (eq. 9.4)
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sono vere, ipotizzando l’additività, se
a + n ≥ b + o (eq. 9.6)
b + m ≥ c + n (eq. 9.7)
da cui, sommando membro a membro, si ottiene la nuova diseguaglianza
a + n + b + m ≥ b + o + c + n (eq. 9.8)
che si semplifica dai livelli b e n, diventando
a + m ≥ c + o (eq. 9.9)
permettendoci di concludere, come si voleva dimostrare, che
(a,m) ≥ (c,o) (eq. 9.10)
E’ possibile osservare, nella tabella 9.3, la logica dell’argomento, con le due frec- ce continue che rappresentano le relazioni d’ordine antecedenti, che implicano la terza relazione d’ordine (freccia tratteggiata).
M
m n o
A
a (a,m) (a,n) (a,o)
b (b,m) (b,n) (b,o)
c (c,m) (c,n) (c,o)
Tab. 9.3 – Assunto di cancellazione doppia sulla porzione 3x3 di una matrice. Direzione 1 (diago- nali di sinistra). Le frecce con tratto continuo rappresentano le relazioni d’ordine antecedenti (se…), la freccia tratteggiata rappresenta la relazione d’ordine conseguente (allora).
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Per quanto riguarda la seconda direzione (che chiameremo “direzione 2”), quella delle diagonali secondarie (che partono da destra), troviamo le due diseguaglianze an- tecedenti (a,n) ≥ (b,m) (eq. 9.11) (b,o) ≥ (c,n) (eq. 9.12) che implicano a + n ≥ b + m (eq. 9.13) b + o ≥ c + n (eq. 9.14)
Sommando membro a membro, si ottiene
a + n + b + o ≥ b + m + c + n (eq. 9.15)
e semplificando, con la scomparsa ancora di n e b, si arriva a
a + o ≥ c + m (eq. 9.16)
Anche in questo caso si può quindi concludere che
(a,o) ≥ (c,m) (eq. 9.17)
La tabella 9.4 mostra, nel caso delle diagonali di destra, il funzionamento dell’assunto della cancellazione doppia.
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M
m n o
A
a (a,m) (a,n) (a,o)
b (b,m) (b,n) (b,o)
c (c,m) (c,n) (c,o)
Tab. 9.4 – Assunto di cancellazione doppia sulla porzione 3x3 di una matrice. Direzione 2 (diago- nali di destra). Le frecce con tratto continuo rappresentano le relazioni d’ordine antecedenti (se…), la freccia tratteggiata rappresenta la relazione d’ordine conseguente (allora).
Le relazioni d’ordine prescritte dall’assunto di doppia cancellazione debbono va- lere per tutte le possibili sottomatrici di 3x3 elementi.
9.3.1 La cancellazione doppia nel rapporto tra ordine e quantità
Notiamo un aspetto molto importante, che ci aiuterà a fare luce sul concetto di quantità continue additive e, contemporaneamente, anche su quello della differenza strutturale tra ordine e quantità [Michell 2008a, 2008b; Kyngdon 2008b]. Come abbia- mo detto, il rispetto dell’assioma d’indipendenza assicura che le righe e le colonne siano permutabili in modo tale che i livelli siano ordinati monotonicamente. Orbene, si può facilmente comprendere che in questo caso le relazioni d’ordine delle diagonali di sini- stra (direzione 1, tab. 9.3) sono automaticamente verificate [Michell 1988]. Poniamo il caso di ordinare gli attributi A e M in modo decrescente, con a ≥ b ≥ c e m ≥ n ≥ o106. In questo caso, spostandosi lungo le diagonali di sinistra si incontrano livelli dell’attributo
Z che sono l’effetto della combinazione di livelli decrescenti sia di A sia di M. Risulta
quindi intuitivo che sia necessario che anche i livelli di Z, lungo quelle direttrici, siano decrescenti, per poter effettivamente riconoscere il principio di additività. La dimostra- zione matematica formale è presto fatta. Se è vero che a ≥ b e che n ≥ o allora, som- mando a membro a membro, sarà del pari vero che a + n ≥ b + o. Quest’ultima espres-
106 Se fossero ordinati in modo crescente, basterebbe invertire il senso delle frecce oppure, che è lo
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sione altro non è se non l’eq. 9.6. Allo stesso modo, poiché b ≥ c e m ≥ n, allora è neces- sario che b + m ≥ c + n, che altro non è se non l’eq. 9.7. Ciò infine vale anche per l’eq. 9.9, che si omette di mostrare per esteso perché dimostrabile esattamente come sopra. Tutte le tre diseguaglianze (le due antecedenti e la conseguente) della direzione 1 dell’assioma di cancellazione doppia seguono direttamente dall’ordinamento dei livelli.
Questo significa che, se vale l’assioma d’indipendenza e gli attributi A e M sono ordinabili indipendentemente l’uno dall’altro, allora è conseguenza necessaria che siano automaticamente verificate le relazioni d’ordine della cancellazione doppia che riguar- dano le diagonali di sinistra (direzione 1) delle matrici 3x3.
Questo automatismo algebrico vale anche per gli antecedenti e i conseguenti delle diagonali in direzione opposta? La risposta è no, e ora vedremo perché. Com’è imme- diato comprendere, ci troviamo di fronte (tab. 9.4) a una situazione nettamente diversa. Infatti, spostandoci lungo le diagonali di destra (che scendono verso il basso a sinistra) incontriamo livelli di Z che sono il frutto della combinazione di livelli decrescenti di A e di livelli crescenti di M. Questa associazione composita di livelli che salgono e altri che scendono non permette, già solo intuitivamente, di avere la certezza che siano rispettate le condizioni che assicurano la presenza di una struttura quantitativa continua e additiva. Infatti, se resta vero che a ≥ b, qui troviamo che n < m, da cui non può direttamente di- scendere che a + n ≥ b + m (eq. 9.13). Lo stesso vale per l’eq. 9.14 (b + o ≥ c + n), poi- ché b ≥ c, ma o < n. Analogamente non si può concludere che a + o ≥ c + m, perché o <
m.
In questo secondo scenario, ci sono in via teorica casi in cui la cancellazione dop- pia sarà verificata e altri in cui non lo sarà. Nel primo caso i nostri attributi saranno quantitativi e continui, nel secondo caso non potremo invece andare al di là della valu- tazione della loro natura ordinale. Di sicuro, la semplice informazione sulle relazioni d’ordine tra i livelli degli attributi non è sufficiente all’accertamento della loro eventua- le natura quantitativa, ma è necessario chiamare in causa le relazioni additive che go- vernano le grandezze quantitative, partendo dalla basilare definizione di Euclide [Mi- chell 2008a; si veda anche la Parte Prima del presente lavoro], per cui date le grandezze
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interi, q e t, per cui valga qx > ty e qw ≤ tz, cioè x/y > t/q ≥ w/z. E non è detto che tali numeri interi esistano.
Per usare le parole di Michell [2008a, 17]
l’insieme di tutte le coppie ordinate di rapporti ricade con nettezza in due classi: quella in cui la relazione d’ordine tra le coppie di rapporti è determinata dall’ordine delle grandezze coinvolte (cioè, la classe 1); e quella in cui la relazione d’ordine tra le coppie di rapporti è determi- nata dalla struttura delle grandezze al di là del semplice ordine, ciò che potremmo chiamare la struttura additiva dell’attributo (cioè, la classe 2).
Pertanto, l’assioma di cancellazione doppia gioca un ruolo importante non solo nell’accertamento del carattere quantitativo continuo nell’ambito della teoria della misu- razione additiva congiunta, ma più in generale nella riflessione sulle caratteristiche degli attributi in un contesto di ricerca come quello delle scienze psicologiche e sociali.
Da un punto di vista pratico, se si dimostra verificato l’assioma d’indipendenza, allora sarà sufficiente controllare le relazioni della sola direzione 2 per accertare il sod- disfacimento della cancellazione doppia. Oppure, detto altrimenti, se si deciderà di ope- rare prima un controllo integrale delle relazioni che soddisfano la doppia cancellazione, allora in caso di successo sarà verificato automaticamente anche l’assioma d’indipendenza: il primo dei due, in parole povere, sussume il secondo. Sulla base delle motivazioni riassunte in questo paragrafo, Michell [2009] dichiara che le relazioni che mostrano una struttura ordinata (direzione 1) rappresentano una metà di ciò che serve a disvelare una struttura quantitativa e che l’ordine è quantità solo a metà.