Alle spalle dei risultati illustrati in modo sintetico in queste pagine, si erge una complessa struttura di teoremi e dimostrazioni algebriche, sviluppate nel tempo e rac- colte in tre volumi sui Foundations of Measurement (Fondamenti della misurazione), opere collettive di Krantz, Luce, Suppes e Tversky, la cui ambizione è affrontare l’assiomatizzazione di tutte le possibili forme di misurazione sulla base della natura de- gli attributi. Il primo volume, Additive and Polynomial Representations, edito nel 1971,
147
riguarda tra le altre cose la misurazione additiva congiunta nella forma da noi analizza- ta. A distanza di quasi venti anni saranno pubblicati, vicini tra loro, il secondo e il terzo volume: Geometrical. Threshold, and Probabilistic Representations [Suppes, Krantz, Luce e Tversky 1989] e Representation, Axiomatization, and Invariance [Luce, Krantz, Suppes e Tversky 1990].
All’indomani della pubblicazione completa dei tre volumi, Cliff [1992] propose un bilancio dell’impatto della teoria assiomatica-rappresentazionale della misurazione, considerata un possibile grande passo avanti nello sviluppo dei modelli di misurazione in ambito psico-sociale. La rassegna di Cliff si conclude con un giudizio abbastanza net- to sul fatto che l’impatto reale di questo promettente filone sarebbe stato molto sotto la sua potenziale portata109, superato dal successo di approcci maggiormente orientati all’adattamento ai dati. La diffusa giustificazione di tipo pragmatico dei livelli di misu- razione delle scale, riservata al solo giudizio dei ricercatori, e la scarsa attenzione data alla rimozione dell’interazione tra gli attributi, per aumentare la possibilità di raggiun- gere risultati migliori, sono due degli esempi che porta per mostrare la scarsa influenza della teoria assiomatica.
Cliff individua ed elenca alcuni nodi critici che avrebbero limitato la diffusione della teoria:
i. l’utilizzo di una matematica complessa e astratta, in buona parte estranea e troppo sofisticata per le conoscenze dei ricercatori e, in generale, di chi non ab- bia competenze specifiche nel campo dell’algebra;
ii. la mancanza di una comprovata efficacia empirica, ossia di esempi di ricerche di successo e grande richiamo, che sarebbero state capaci di attrarre l’attenzione di altri studiosi e di fungere da architrave paradigmatico per successivi passi lungo la strada della misurazione fondamentale assiomatica;
iii. il problema del trattamento degli errori, dato dalla natura deterministica degli assiomi, che non danno soluzioni su come interpretare e inglobare le deviazioni dal perfetto rispetto degli assunti;
109 Cliff annuncia la sua conclusione già nel titolo dell’articolo: la teoria della misurazione astratta e
la rivoluzione che non è mai avvenuta (Abstract Measurement Theory and the Revolution That Never
148
iv. gli stili di ricerca nell’ambito degli studi sugli atteggiamenti, generalmente ri- volti all’analisi della varianza, con variabili multicategoriali anziché continue, alla ricerca delle interazioni tra attributi piuttosto che la loro eliminazione; v. la preferenza per altre strade110, apparentemente foriere di sviluppi promettenti,
con una minore complessità e un minor dispendio di energie, che hanno “distrat- to” attenzione e risorse.
In un campo particolare come quello della ricerca sociale e psicologica, in cui lo sviluppo teorico della definizione di costrutti e concetti riguardanti l’oggetto di ricerca ha difficoltà molto maggiori rispetto ad altri ambiti, data la natura contemporaneamente non estensiva e non manipolabile di molti di essi, non è arduo immaginare il tipo di ostacoli che possa incontrare un approccio come quello assiomatico, per quanto sia po- tente e raffinato nel dimostrare i caratteri profondi della struttura di attributi. Nelle con- dizioni di ricerca date, soprattutto i punti i), iii) e iv) possono costituire problemi di non poca portata.
Individuare in un modello alternativo le caratteristiche della misurazione additiva congiunta, superando magari le difficoltà tecniche e le rigidità del sistema assiomatico, vorrebbe dire accogliere i vantaggi di diversi approcci. Il modello di Rasch ha le caratte- ristiche per candidarsi, in questo senso, a rappresentare un punto d’incontro. La discus- sione che segue è intesa a ricostruire una parte del dibattito su questo tema, provando a fornirne una sistemazione e alcuni contributi.
110 Cliff porta come esempi il lavoro di Sternberg [1969] sul fronte sperimentale e quello di Jöreskog
149
10 Modello di Rasch e ACM: gli elementi di affinità
Ci sono diversi, fondati motivi per cui il modello di Rasch può essere interpretato come un caso di misurazione congiunta additiva: più precisamente, come un’istanza
probabilistica di ACM. Modello di Rasch (in generale la IRT) e ACM hanno cammina-
to su strade parallele, sono cioè frutto di genesi distinte e di approcci tra loro differenti, nati e cresciuti in reciproca autonomia. Ben presto, diversi studiosi hanno cominciato a rilevarne le affinità111. L’interesse principale è presto detto: provare a dimostrare che un modello relativamente ben maneggiabile matematicamente e di facile comprensione, come quello di Rasch, può allo stesso tempo contenere e soddisfare gli assiomi della ACM. Questo punto, quello pratico, ci sembra il più importante di tutti. Del resto, prima ancora di Cliff, Falmagne [1976; cit. in Perline, Wright, Weiner 1979, 237] sottolineava che
nel loro corrente status, le teorie sulla misurazione fondamentale sono algebriche, cioè, deterministiche. Le loro previsioni non si prestano facilmente alla verifica empirica. Qualsiasi allontanamento dei dati dalla teoria comporta un rebus verso il quale non si applicano le co- muni regole di decisione della statistica.
Scrive Brogden [1977, 632-3] che “se uno è disponibile ad accettare pia [la proba-
bilità di a di superare i, N.d.A.] come una misura ordinale dell’effetto congiunto della difficoltà dell’item e dell’abilità di una persona, può essere mostrato che il modello di Rasch è un caso speciale di misurazione congiunta additiva”. In questo senso, il modello di Rasch si presenta come una “realizzazione pratica” [Perline, Wright e Weiner 1979, 237] di misurazione congiunta112.
111 A titolo riassuntivo, citiamo Keats [1967], Fischer [1968], Brogden [1977], Perline, Wright e
Weiner [1979], Green [1986], Embretson e Reise [2000], Karabatsos [2001], Boorsboom e Mellenbergh [2004], Boorsboom e Zand Scholten [2008], Burro [2009], Zand Scholten [2011].
112 “Poiché i dati educazionali e psicologici non sono generalmente perfettamente affidabili, l’assenza
di una teoria dell’errore ha limitato l’utilità dei modelli di misurazione congiunta. Una forte eccezione è l’utilizzo diffuso dei modelli di Rasch” [Green 1986, 141]; “Solamente il modello di Rasch soddisfa pie-
150
Il grado nel quale i due approcci siano tra loro sovrapponibili è ovviamente sotto- posto a sfumature di giudizio e, anche tra chi riconosce una certa affinità strutturale, al- cuni tengono comunque a individuare punti di distanza formali [es. Karabatsos 2001] o ben più profonde distinzioni strutturali ed epistemologiche [es. Kyngdon 2008a; Michell 2008b].
Andiamo ora a rileggere le caratteristiche del modello di Rasch, attraverso le cate- gorie della ACM.
Le ipotesi del modello, lo ricordiamo, prevedono l’esistenza di dimensioni latenti quantitative e continue, che possono essere costituite da attributi di vario tipo, per esempio atteggiamenti, dimensioni valoriali, abilità ecc.; si suppone, inoltre, che deter- minati soggetti e item possiedano un certo livello dell’attributo in questione e che, sulla base di quello, possano essere ordinati lungo il continuum latente. L’ordinamento av- viene in modo simultaneo, a partire dalle risposte dei soggetti agli item, in modo da sta- bilire congiuntamente il livello di “abilità” dei primi e di “difficoltà” dei secondi. Per stimare le posizioni degli elementi su un’unica scala con un livello di misurazione inter- vallare, si assume che la probabilità dei soggetti (date le proprie abilità) di eguagliare gli
item (date le loro difficoltà), sia definita da una funzione di probabilità parametrica ba-
sata sull’effetto additivo congiunto dell’abilità e della difficoltà. Queste ultime, sotto forma di parametri, sono stimate per ogni individuo e ogni affermazione in modo da massimizzare il più possibile l’adattamento con le effettive risposte registrate.
Ciò che si ottiene è rappresentato nella tabella 10.1: una matrice con i soggetti in riga, gli item in colonna e le rispettive probabilità congiunte nelle celle. Gli assunti di unidimensionalità e monotonicità del modello, garantiscono che i soggetti e gli item possano essere ordinati in modo crescente o decrescente.
namente le condizioni della misurazione congiunta e quindi è spesso preferito nelle applicazioni dove le proprietà della scala di misurazione sono ritenute molto importanti” [Embretson e Reise 2000, 149-50]; “La costruzione di una variabile latente utilizzando l’analisi dell’item di Rasch non è niente di meno che l’esame empirico della struttura quantitativa di quella variabile latente” [Barret 2003, 429].
151 item 1 2 3 … … … n sogge tt i 1 p11 p12 p13 … … … p1n p1. 2 p21 p22 p23 … … … p2n p2. 3 p31 p32 p33 … … … p3n p3. … … … … … … … … … … … … … … … … … … N pN1 pN2 pN3 … … … pNn pN. p.1 p.2 p.3 … … … p.n
Tab. 10.1 – Matrice “soggetti x item” con le relative probabilità nel modello di Rasch
Le funzioni/curve di risposta all’item (vettori-colonna) e di risposta dei soggetti (vettori-riga) sono strettamente crescenti e tra loro parallele, cioè non s’intersecano mai. Ciò si rispecchia nell’invarianza dell’ordine delle probabilità in ogni riga e in ogni co- lonna: l’ordine globale dei soggetti non cambia anche se considerato condizionatamente a ogni singolo livello degli item, e viceversa per gli item condizionatamente ai livelli dei soggetti. In parole povere, l’ordine complessivo dei soggetti e degli item si mantiene in ogni vettore-riga e in ogni vettore-colonna. Questo significa che le colonne e le righe possono essere permutate in modo da ottenere un andamento monotonico in qualsiasi entrata della matrice.