La logica enunciativa

La logica enunciativa (o proposizionale) considera gli enunciati come le parti elementari del linguaggio. Pertanto, essa comprende (a) lo studio delle argomentazioni (delle inferenze) basato sulla considerazione della loro struttura enunciativa, cioè della combinazione degli enunciati che le compongono e (b) lo studio del modo in cui la conoscenza può essere rappresentata combinando enunciati. Il linguaggio della logica enunciativa consiste di enunciati e di connettivi logici (simboli che specificano i rapporti tra gli enunciati). La sintassi specifica come combinare enunciati e connettivi per costruire enunciati complessi o molecolari.

Gli enunciati non analizzabili in una combinazione di altri enunciati mediante connettivi logici sono chiamati enunciati atomici. Di fronte a questi enunciati la logica enunciativa si arresta, li considera come unità non ulteriormente analizzabili, le cui caratteristiche non sono rilevanti per l'analisi logica. Infatti, la logica enunciativa si ferma all'esterno degli enunciati e, pertanto, consente solo una rappresentazione superficiale della conoscenza2.

Nella logica enunciativa possiamo rappresentare interi enunciati mediante un'abbreviazione, cioè con una lettera alfabetica, o una breve sequenza di caratteri alfabetici. Ciò è possibile proprio in quanto la struttura interna, il contenuto del singolo enunciato è irrilevante. Possiamo stabilire con un glossario la corrispondenza tra abbreviazione ed enunciato. Ad esempio:

p: Massimo è italiano

q: Ma»«imo risiede in Italia

(f) MENDELSON E., Introduzione alla logica matematica, Boringhieri, Torino, 1972 (traduzione di Introduction to Mathematical Logic, D. Van Noatrand, Princeton (NJ), 1964).

(g) VAN DALEN D., Logic and Structures, Springer, Berlin, 1980.

(h) BELL J.L., MACHOVER M, A Course in Mathematical Logic, North Holland, Amsterdam, 1974.

Gli ultimi tre manuali approfondiscono gli aspetti formali mentre i testi di Quine, Hodges e Kalish-Montague trattano particolarmente il problema del passaggio dal linguaggio naturale ai formalismi logici, un aspetto particolarmente importante per la rappresentazione della conoscenza giuridica. Una introduzione completa alle problematiche della logica moderna può trovarsi nel manuale in 4 volumi (tre dei quali già disponibili) GABBAY D.M., GUENTHNER F. (a cura di), Handbook of Philosophical Logic, Reidei, Dordrecht, 1983-1986.

2Sul concetto di rappresentazione superficiale e profonda, cfr. cap. 6 par. 7.

I connettivi logici più usati corrispondono alle parole italiane non, e, o , se-allora, e sono i seguenti

- n-, rappresenta la negazione (non): n-p significa "Massimo non è italiano".

fi, che rappresenta la congiunzione (e): p 4 q significa "Massimo è italiano o Massimo risiede in Italia,

- v f che rappresenta la disgiunzione debole, cioè il vel latino: p v q significa Massimo è italiano o Massimo risiede in Italia.

->, che rappresenta il condizionale (se-allora): p -> q significa "se Massimo è italiano allora Massimo risiede in Italia".

- <-, che rappresenta il condizionale rovesciato(se): p <- q significa "Massimo è italiano se Massimo risiede in

Italia".

- <-> che rappresenta il doppio condizionale (se e solo se) : p <-> q significa "Massimo è italiano se e solo se Massimo risiede in Italia".

I connettivi logici3 corrispondono a determinate espressioni del linguaggio naturale. Però, mentre le espressioni del linguaggio naturale sono ambigue4, i connettivi logici hanno un unico, preciso significato5.

Sono stati sviluppati numerosi calcoli formali per la dimostrazione logica, sistemi il cui scopo è ridurre il

3Chiamati anche operatori booleani, dal nome di A. Boole, uno degli studiosi che più hanno contribuito allo sviluppo della logica moderna.

4Un connettivo logico può corrispondere a più espressioni del linguaggio naturale (ad esempio, la congiunzione logica fi può tradurre espressioni come "e", "ma", però ecc.), mentre un'unica espressione del linguaggio naturale può corrispondere a diversi connettivi logici (ad esempio, l'espressione "se", può esprimere sia all'implicazione che alla doppia implicazione, l'espressione "o" può avere un senso disgiuntivo o un senso inclusivo ecc.). Il rapporto tra connettivi logici e espressioni del linguaggio naturale è stato approfondito nell'informatica giuridica da L. A. Alien (cfr. i numerosi gli scritti di Alien che affrontano questo problema cfr. ALLEN L.E., Towacds a Normalized Language to Clarify the Structure of Legai Discourse, c i t .).

5Nella logica classica, il significato dei connettivi viene specificato associando ad ogni connettivo una "funzione di verità". Ogni connettivo logico consente di costruire, a partire da uno o più enunciati, un enunciato composto, e una regola determinata, associata al connettivo, determina la verità o la falsità dell'enunciato composto a seconda della verità o della falsità degli enunciati componenti. La congiunzione p & q è vera se e solo se gli enunciati componenti • e b sono entrambi veri; la disgiunzione p ▼ q è vera se e solo se almeno uno degli enunciati componenti è vero; la negazione n - p è vera se e solo se p è falso; il condizionale (materiale) p -> q è vero se e solo se p è falso o q è vero.

ragionamento a precise regole meccaniche. Una volta che la conoscenza sia stata formalizzata nella logica enunciativa, possiamo usare queste regole per dedurre nuovi enunciati.

Tra i diversi calcoli formali, il più intuitivo è probabilmente il c.d. calcolo della deduzione naturale6.

"Una prova nel calcolo della deduzione naturale è un albero di formule con un'unica formula alla radice. Le formule in cima ai reuni sono chiamate gli assunti della prova. Alcune degli assunti possono essere annullati o scaricati mettendole tra parentesi quadre [] . Le premesse della prova sono i suoi assunti non cancellati e la conclusione della prova è la formula alla radice"7. Per ciascun connettivo introduciamo due regole di deduzione, una regola per 1'introduzione e una regola per l'eliminazione del connettivo. Qui ci limitiamo alle regole per i connettivi 6, n- e ->, nella logica classica.

Regola per l'introduzione della congiunzione (61);

A B

A « B

cioè, da due formule A e B si può dedurre A 6 B. Ad esempio da p 6 q ("Massimo risiede in Italia" 6 "Massimo è italiano”), possiamo dedurre p ("Massimo risiede in Italia").

Regola per l'eliminazione della congiunzione (6S);

A « B A 6 B

A B

cioè dalla formula A 6 B possiamo dedurre sia la formula