LA RAPPRESENTAZIONE DELLA CONOSCENZA NELL'INTELLIGENZA ARTIFICIALE
A, che la formula B.
1.2. La logica dai predicati del primo ordine
A differenza della logica proposizionale, la logica predicativa si occupa anche della struttura interna degli enunciati atomici (o atomi).
Gli enunciati atomici esprimono proprietà di individui o relazioni tra individui.
Chiamiamo predicati i sintagmi che esprimono le proprietà e le relazioni (grosso modo, i predicati corrispondono ai nomi comuni e ai verbi). Megli enunciati seguenti le parole che compongono i predicati sono sottolineate.
Paolo ama Francesca
Socrate è un filosofo
Massimo è italiano
FIAT è una società commerciale
Le espressioni non sottolineate designano invece gli individui. Queste espressioni vengono chiamiate anche termini (e corrispondono, grosso modo, ai nomi propri e ai pronomi). Vi sono tre categorie di termini: costanti, variabili e
funzioni.
Chiauniamo costanti i nomi di individui determinati. Ad esempio :
Giovanni, Socrate, informatica, diritto, Bologna, 2.
Chiamiamo invece variabili le espressioni usate per far riferimento ad un individuo qualsiasi.
Scriviamo le variabili con le lettere alfabetiche (minuscole o maiuscole) oppure con una qualsiasi sequenza di caratteri preceduta da _. Ad esempio:
x, b, y, _oggetto, _chiunque.
Le funzioni consentono di costruire nomi complessi. Ad esempio, il simbolo di funzione mamma consente di costruire il nome complesso (la funzione)
mamma (Massimo)
(la mamma di Massimo),
Mentre il simbolo di funzione frazione consente di costruire la funzione:
frazione(3/4)
(la frazione 3/4).
Di solito nella logica gli enunciati atomici vengono espressi in una forma più lontana dal linguaggio naturale: prima viene il predicato (che può essere composto di una sola parola) poi i termini, racchiusi tra parentesi. Ad esempio anziché
Giovanni risiede a Bologna
scriveremo
risiede(Giovanni,Bologna)
A partire dagli enunciati atomici possiamo costruire enunciati più complessi, grazie ai connettivi della logica enunciativa, e ai quantificatori (il quantificatore universale "per ogni" (V) e il quantificatore esistenziale
"per qualche" o "esiste un" (X)).
Otteniamo le regole di inferenza della logica predicativa aggiungendo le seguenti regole di inferenza a quelle della logica predicativa.
Regola dell'introduzione del quantificatore universale
(VI) che consente di dedurre un enunciato universale dall'enunciato relativo ad un soggetto arbitrario (designato dalla variabile x).
A<x) VI
Vx A(x)
Regola dell'eliminazione del quantificatore universale, consente di possiamo dedurre, da un'enunciato universale, enunciati più specifici (che otteniamo eliminando il
quantificatore e sostituendo la variabile x con il termine t)10.
Vx A(x) VB
A(t)
Vediamo un'applicazione della seconda regola. L'enunciato :
"se una persona ha il padre italiano, allora essa 4 italiana.
può essere rappresentato come segue:
1. V(x, y) ( (padre (y, x) 6 è_italiano (y) ) ->è_italiano (x) .
Da questo enunciato e dai seguenti:
2. è_italiano(Luigi) 3. padre(luigi,Mario),
possiamo dedurre nella logica predicativa l'enunciato
4. è__italiano (Mario) .
La deduzione potrebbe essere la seguente (abbrevio padre con p, è_italiano con i, Luigi con L e Mario con M)
V(x,y) (i (y) 6p(y,x) )->i (x) i(L) i(L,M)
VB «I
(i(L) 4p(L,M) ) ->i (M) i(L) 6 Ì(L,M) - > S
h m )
Se avessimo dovuto rappresentare i medesimi enunciati nella logica enunciativa, ci saremmo dovuti accontentare di una rappresentazione del tipo
10La definizione delle regole di inferenza della logica predicativa andrebbe completata con talune specificazioni. In particolare nella regola VI la variabile x non può comparire libera in alcuna ipotesi dalla quale dipenda A(x) , cioè in un assunto non cancellato della prova di A(x); nella regola. In VE il termine t, che sostituiamo ad x nella formula A deve essere libero per x in A. Una variabile è libera se non è oggetto di quantificazione, se non rientra nel campo d'azione di un quantificatore. Per un approfondimento di queste nozioni, che vanno al di là dei limiti del presente volume, si rinvia ai testi specialistici menzionati nella nota n. 1.
1. "una persona ha il padre italiano" -> "essa è italiana".
2. "Luigi è il padre di Mario" 3. "Luigi è italiano"
dalla quale non avremmo potuto inferire formalmente che Mario è italiamo.
In molti testi di logica si usa un approccio diverso dalla deduzione naturale. Il calcolo logico, anziché con un insieme di regole di inferenza, viene introdotto mediante un insieme di assiomi e con una o due regole di inferenza (di regola si tratta del modus ponens). Gli assiomi sono schemi di formule tautologiche11. Le formule tautologiche possono essere usate in qualsiasi deduzione, in quamto deducibili senza premesse. Questo approccio alla logica è meno intuitivo, ma presenta alcuni vantaggi. In particolare, consente di definire facilmente logiche che rappresentino alternative o estensioni della logica classica (basterà modificare gli assiomi). La logica proposizionale classica può essere introdotta con i seguenti quattro assiomi (e la regola del modus ponens) :
Al ( A V A ) -> A A2 A -> (A v B)
A3 (A v B) -> (B v A)
A4 (B -> C) -> ( (A v B) -> (A v C) )
Alle regole di inferenza della logica predicativa, si possono far corrispondere degli assiomi:
A5. Vx A(x) ->A(t) A6. A(x) ->Vx A(x)
La realizzazione di sistemi che usano l'intera logica dei predicati pone notevoli problemi computazionali12. I tentativi di sviluppare sistemi che siano in grado di combinare l'espressività della logica dei predicati con la possibilità di un uso efficiente di metodi deduttivi
13,Le verità logiche o tautologie (ad esempio, A v n-A, nella logica classica) sono enunciati che sono sempre veri, quale che sia il valore di verità degli enunciati atomici che le compongono. Si suole distinguere tra tautologie ("piove e non piove") e verità fattuali o empiriche ("piove"): le prime sono sempre vere, le seconde sono vere o false a seconda di come stanno le cose.
12A mia conoscenza, il sistema LEX è l'unico sistema informatico giuridico nel quale si è cercato di implementare l'intera logica dei predicati (cfr. cap. 4 par. 3.2).
automatici, ha condotto allo sviluppo dei linguaggi di programmazione logica, che illustreremo nel par. 2.
1.3. Altra logiche
Nel paragrafo precedente ci si è limitati a presentare la logica classica, l'edificio teorico che fu sviluppato tra la fine dell'ottocento e l'inizio del 900 grazie all'opera di studiosi come Frege, Peano, Russel, Tarski ecc, e che per molto tempo fu ritenuto l'unica logica possibile. Nel nostro secolo si è assistito, tuttavia, alla proliferazione di numerose logiche, alcune delle quali rappresentano estensioni, altre alternative della logica classica. Ad alcune estensioni della logica classica si accennerà nel paragrafo seguente. Tra gli approcci alternativi ricordo la logica intuizionista e le logiche rilevanti, la cui applicazione al ragionamento giuridica, anche al fine della realizzazione di sistemi informatico-giuridici intelligenti è stata suggerita rispettivamente da L.T. McCarty13 e L.E. Alien14.
Qui ci si limiterà ad accennare a logiche modali e deontiche che costituiscono estensioni della logica classica15. Si tratta cioè di logiche che si ottengono aggiungendo alla sintassi della logica enunciativa o della logica predicativa (a) i vocaboli che esprimono formalmente i concetti modali o deontici e le regole per usare tali vocaboli nelle formule logiche (b) assiomi o regole di
inferenza per l'uso degli operatori modali o deontici.
1.3.1. Le logiche modali
La logica modale formalizza i concetti di necessità (con l'operatore L, che significa "è necessario che") e di possibilità (con l'operatore M, che significa è possibile che", e introduce speciali assiomi (o regole di inferenza) che consentono di operare inferenze basate sugli operatori modali, inferenze sarebbero impossibili nella logica
13Cfr., cap. 8 par. 2.3.
14Cfr., ALLEN L.E., SAXON C.S., Analysis of the Logical Structure of
Legal Rules by a Modernized and Formalized Version of Hohfeld's Fundamental Legal Conceptions, in MARTINO A.A., SOCCI NATALI F. (a cura
di) Automated Analysis of Legal Texts, cit., pp. 385-450.
15Per un'introduzione alle estensioni della logica classica, cfr. GABBAY D.M., GUENTHNER F. (a cura di), Handbook of Philosophical Logic. Vol. 2.
enunciativa e predicativa16. Sono stati sviluppati numerosi sistemi di logica modale.
Seguendo von Wright17, per logiche modali normali
possiamo intendere i sistemi logici che si ottengono aggiungendo alle regole di inferenza della logica enunciativa classica almeno gli assiomi e le regole seguenti :
Al. L(A & B) <•> L A £ L B
(E' necessario che A e B se e solo se, è necessario che
A ed è necessario che B). A2. LA->A
(Se A è necessario allora A è vero)
A3. Lt
Sono necessarie tutte le tautologie (della logica proposizionale).
In aggiunta alle regole di inferenza del calcolo proposizionale serve la c.d. regola di estensionalità, che consente lo scambio di proposizioni logicamente equivalenti nelle formule della logica modale18.
Il concetto di possibilità può introdotto con una definizione:
MA *df n-L n-A
16Per un'introduzione alla logica modale, cfr. HUGHES G.E., CRESSWELL M.J., An Introduction to Modal Logic, Methuen, London, 1968, pp. 388 (ristampa con correzioni 1972, ristampa 1982); CHELLAS B.F., Modal
Logic. An Introduction, Cambridge University Press, London, pp. 295,
1980; BULL R.A., SEGERBERG K., Basic Modal Logics, in GABBAY D.M., GUENTHNER F. (a cura di), Handbook of Philosophical Logic. Vol. 2. Extensions of Classical Logic, Reidel, Dordrecht, 1984, pp. 1-88.
17Von WRIGHT H., Problemi e prospettive della logica deontica. Una panoramica, 1969, p. 385 s.
10La regola di estensionalità e l'assioma A3, consentono di dimostrare la c.d. regola di necessitazione che stabilisce che, se un enunciato A è una tesi (è deducibile senza premessa) allora anche LA è una tesi (cioè che un enunciato logicamente vero è anche necessario) . In alcune introduzioni alla logica modale si introduce direttamente questa regola di inferenza.
("è possibile che A" significa per definizione "non è necessario che non A") .
Il sistema che comprende solo gli assiomi e le regole di inferenza appena indicati è il c.d. sistema T, sviluppato da Godei e Feys negli anni 3019. Aggiungendo ulteriori assiomi al sistema T, si ottengono altri sistemi modali20.
La logica modale consente di compiere inferenze che non sarebbero possibili nella logica enunciativa o predicativa Ad esempio, l'enunciato seguente:
"non è possibile che Massimo sia colpevole"
può essere espresso come segue:
n-M (colpevole (Massimo) ),
dal quale possiamo inferire, ad esempio
L n-(colpevole(Massimo))
("necessario che Massimo non sia colpevole")e quindi
n-(colpevole(Massimo))
("Massimo non è colpevole").
Sono stati sviluppati alcuni sistemi informatici in grado di trattare aspetti della logica modale, ma per ora senza risultati operativi.
19GÖDEL K., Collected Works, Oxford University Press, New York, 1986, pp. 301-302 (già pubblicato come Eine Interpretation des Intuitionistischen Aussagenkalkulus, in "Ergebnisse eines Mathematischen
Kolloquiums", 4, 1933, pp. 34-38); FEYS R., Les logiques nouvelles des
modalités, in "Revue Néoscholastique de Philosophie", vol. 40, 1937, pp. 517-553.
20Tra i più noti, sistemi S4 e S5, che si ottengono aggiungendo a T rispettivamente gli assiomi
L A->LL A
(se è necessario che A allora è necessario che sia necessario che A) e
M A->LM A
1.3.2. Le logiche deontiche
La logica deontica21 presenta particolare interesse per gli studi informatico-giuridici, poiché tratta i concetti normativi: il dovere, il permesso22 e talvolta anche il potere (o l'autorizzazione)23. Come è noto, la logica deontica è un settore controverso e ancor oggi, a quarant'anni dalla nascita di questa disciplina24, mancano risultati consolidati. Molte logiche deontiche conducono a paradossi, cioè a conclusioni controintuitive e nessuna delle logiche deontiche sinora sviluppate sembra completamente soddisfacente. Le ricerche informatico giuridiche hanno dato nuovo impulso agli studi di logica deontica, e, in particolare, hanno condotto allo sviluppo di logiche deontiche ispirate a considerazioni di efficienza computazionale25. Qui non sarà approfondito il tema della logica deontica nell'intelligenza artificiale ma ci si limiterà a presentare il sistema che, secondo von Wright26, rappresenta la logica deontica standard.
21Per una rassegna aggiornata degli studi di logica deontica, cfr. AQUIST L., Deontic Logic, in GABBAY D.M., GUENTHNER F. (a cura di),
Handbook of Philosophical Logic. Vol. 2 . Extensions of Classical Logic, Reidel, Dordrecht, 1984, pp. 605-714.
22Ai quali si limitano le logiche deontiche standard.
23Come nelle logiche che si ispirano ai concetti hohfeldiani.
24Benché importanti predecessori della moderna logica deontica si possano ravvisare in filosofi o teorici del diritto come Leibniz, Bentham, Hohfeld, Mally, la nascita di questa disciplina può essere fatta risalire all'inizio degli anni 50, quando furono pubblicati tre fondamentali lavori, elaborati indipendentemente: von WRIGHT, Deontic
Logic, in "Mind", 60, 1951, pp. 1-15 (traduzione italiana Logica deontica, appendice di DI BERNARDO, Logica, norme, azione, 1969, pp.
119-148)); BECKER 0., Unt ersuchungen ilber den Modalkalkùl, A. Hain,
Maisenheim am Glam, 1952; e KALINOWSKI G., Théorie des propositions
normatives in Logique déontique. I (1953-1969), pp. 147-182 (già in "Studia logica", 1953).
25Tra gli studiosi che si sono occupati del problema vanno menzionati soprattutto ALLEN L.E., SAXON C.S., Analysis of the Logical Structure of
Legal Rules by a Modernized and Foirmalized Version of Hohfeldf s Fundamental Legal Conceptions, cit.; MCCARTY T., Permission and Obligation: an Informal Intruduction, cit.
26Von WRIGHT H., Problemi e prospettive della logica deontica. Una panoreunica, 1969, p. 385 s.
La logica deontica proposizionale standard si ottiene aggiungendo alla logica proposizionale i seguenti assiomi:
Al. 0(A 6 B) <-> OA & OB
A2. n-0 n-t
e inoltre la regola di estensionalità (che consente lo scambio di proposizioni logicamente equivalenti nelle formule deontiche) e la seguente definizione:
PA =df n-0 n-A
La logica deontica consente operare inferenze che non sarebbero possibili nella sola logica proposizionale o predicativa27. Ad esempio si può esprimere formalmente l'enunciato "Giuseppe deve pagare 500.000 a Mario", con l'enunciato seguente:
0 (paga(Giuseppe, Mario, 500.000)),
dal quale possiamo inferire, in molte logiche deontiche28:
P(paga(Giuseppe, Mario, 500.000))
(è permesso che Giuseppe paghi 500.000 lire a Mario).
Anche altre logiche, che ci si limita ad elencare, presentano un interesse per le applicazioni giuridiche intelligenza artificiale, come le logiche temporali (che trattano il tempo, formalizzando i concetti di futuro, passato, prima, dopo ecc.), le logiche dinamiche (che si occupano del problema della trasformazione di stati di cose e di valori di verità), le logiche epistemiche (che formalizzano i significati espressi da espressioni come "credo che" o "so che"), le logiche condizionali (che si approfondiscono il problema della rappresentazione delle
27Resta dubbia, allo stato del dibattito logico filosofico e delle realizzazioni informatiche, la reale utilità di un'implementazione informatica della una logica deontica.
28Questa deduzione non è possibile in tutte le logiche deontiche. Ad esempio, non vale nel sistema proposto da MCCARTY T . f Permission and
Obligation: an Informal Intruduction, in MARTINO A.A., SOCCI NATALI F., Automated Analysis of Legal Texts, cit., pp. 307-337 (cfr. JONES A.J., On the Relationship between Permission and Obligation, in Proceedings of the First International Conference on Artificial Intelligence and Law
implicazioni), le logiche erotetiche (che hanno per oggetto le domande), le logiche fuzzy (che trattano l'incertezza). Spesso, per il trattamento di questioni dell'intelligenza artificiale, è preferibile o necessario il ricorso a logiche di ordine superiore, cioè a logiche che consentono di trattare anche predicati o proposizioni come individui (e quindi di farli oggetto di quantificazione).