I numeri complessi - parte II

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Esercizi di riepilogo e complemento 3

I numeri complessi - parte II

1. Porre in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi a. z =
3 − i

1 − 2i

 ₂

− 2 √

3 z = 4(cos

π + i sin

π)

b. z = 1 + i

4 i − 4

√ 3 + i +

√ 3 − 1

4 z =

(cos

π + i sin

π)

c. z = 2 3

1 − i 1 + i

 +

1 + i 2


√ 3 − i 1 − i

 + 2

3 i _{z = cos}

3

+ i sin

d. z = −

√ 2 + 2 i

i − √

2(1 + i) + 2 _{z =} ^√ 2(cos π + i sin π)

2. Calcolare le potenze con la formula di De Moivre [ρ(cos θ + i sin θ)] ⁿ = ρ ⁿ (cos nθ + i sin nθ) a. z = (1 + ¹ _i ) ⁵ ( √

3 + i) ³ ( √

3 + 3 i) ² ( −1 + i) _{z =}

^ _cos ^ ₋

^ _{+ i sin} ^ ₋

^ ₌

^√ _{3 −}

_i

b. z = ( i − 1)( √

3 + 3 i) ² ( √

3 i − 1) ³ _{z =}

^ _cos ^ ₋

_π ^ _{+ i sin
−}

_π ^

c. z =

 ₁

2 − ^√ ₂ ³ i  ₃

(1 − i) ⁸ z =

(cos π + i sin π) = −

d. z = 1 − i ( √

3 − i) ⁴ _{z =}

^ _cos

_{π + i sin}

_π ^

3. Calcolare le seguenti radici complesse a. z ² =

√ 3 − i

√ 3 + i ^z

= ±

( √

3 − i)

b. z ⁴ =

√ 3 − i 3 − i √

3 z

= ±

3

; z

= ±

c. z ⁴ =

1 2 − i

√ 3 2

 ₂

z

= ±

( √

3 − i); z

= ±

(1 + √ 3i)

1

4. Risolvere le seguenti equazioni a. z ⁶ − 126z ³ + 125 = 0

z

= 5; z

= 1; z

= −

(1 ± √

3i); z

= −

(1 ± √ 3i)

b.
z + i z − i

 ₄

= 1

z

= 0; z

= ±1

c.

2 + 2 z 2 − 2z

 ₃

= 1 _z

1

= 0; z

= ±i √ 3

d. z ⁴ + 81 = 0

z

= ±

(1 + i); z

= ±

(1 − i)

e. z ⁸ − 17z ⁴ + 16 = 0 _z

1,2

= ±2; z

= ±2i; z

= ±1; z

= ±i

f. z ³ + (1 − i)z ² + (1 − i)z − i = 0, sapendo che z 0 = i `e una sua soluzione.

z

= i, z

= −

+ i

; z

= −

− i

g. z + 2¯z = 0. _{z = 0}

h. z + |z| = 0. z ∈ R, z
0

i. z · arg z = i. _z

1,2

= ±

i

j. z · arg z = |z| _{z = 0}

k. i|z| ² ( z − 2) = −( √

3 + 2 i)¯z

z

= 0; z

=  1 ±



± i

l. z · arg z = i − π 2 z

z =

m. z ² = i · ¯z _z

1

= 0; z

= −i; z

= ±

+ i

2

n. z + ¯ 2 z = 3 i

z

= −i; z

= −2i

o. |Re(iz)| · ¯z = −1 + i Re(z) _{z − 1 + i}

p. |z| · Re(z) = z · arg z _z

_{= 0; z}

_{= −π}

q. ( z + 1) arg z = 2π non ammette soluzione

r. |z|Re(z) = π − ¯z · arg z _{z =}

2

s. z ⁴ + 3 z ² + 2 = 0 _z

1,2

= ±i √

2; z

= ±i

t. z ⁴ − z ³ + z ² = 0 _z

1,2

= 0; z

=

± i

u. z ² − 3iz − 2 = 0 _z

_{= 2i; z}

_{= i}

v. Fra gli infiniti z che verificano |z + i| = |z − 3|, determinare quello che `e immaginario puro.

z = 4i

w. Determinare il numero complesso z che verifica le condizioni: |z| = 3, |z + i| = 2.

z = −3i

5. Rappresentare, sul piano di Argand-Gauss, i seguenti insiemi:

a. A := 

z ∈ C : 2
|z + 3i|
5  b. B := 

z ∈ C : 3 Re(z) − 2i = |z| − i Im(z) 

z =

+ 2i

c. C := 

z ∈ C : |z − 4i| = ¯z + |z + 2| 

z =

d. C := 

z ∈ C : 0
arg(2z + i)
π 2



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