Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 11/06/2010

A.A. 2009/2010

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy ( y ⁰ = −2t tan y,

y(0) = ^π ₄ . e scriverne la soluzione esplicitamente.

Problema 2: Verificare che la superficie (Σ, ~r) di equazione parametrica

~r(u, v) = (cos v, 2u + sin v, 2u), (u, v) ∈ [0, 1] × [0, 2π],

`e regolare.

Calcolare il flusso del campo F = (y ² , z + x cosh y, x cosh y) attraverso Σ.

Problema 3: Calcolare il seguente integrale Z

γ

(z ² + 2)e

dz,

dove γ = {z ∈ C : |z| = 2}.

Problema 4: Sia f il prolungamento periodico su R della funzione (

− ¹ ₂ , −π ≤ x < 0, 1, 0 ≤ x < π.

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scri- vere l’identit`a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

X ∞ n=0

1 (2n + 1) ² ,

X ∞ n=0

(−1) ⁿ 2n + 1 .

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange.

Tema 2: Classificazione delle singolarit`a isolate delle funzioni olomorfe.