Compito di Geometria 2
09/07/2019 tempo 2h 30m
Prof. Matteo Penegini, Prof. Arvid Perego
Si risolva l’esercizio 1 su un foglio a protocollo e l’esercizio 2 su un altro foglio.
Esercizio 1. In R3 dotato della topologia euclidea e con riferimento cartesiano xyz, si considerino le 4 sfere di equazioni:
S1 : (x + 3)2+ y2+ z2 = 4 S1 : (x − 3)2+ y2+ z2 = 4 S1 : x2+ (y + 3)2+ z2 = 4 S1 : x2+ (y − 3)2+ z2 = 4.
Si consideri inoltre il toro T ottenuto ruotando la circonferenza contenuta nel piano x = 0 di raggio 1 e centro (0, 3, 0) attorno all’asse z.
Sia
X = S1∪ S2∪ S3∪ S4∪ T (1) Si provi che X `e connesso per archi.
(2) Si calcoli π1(X).
(3) Su X agisce un gruppo finito G di isometrie. Si consideri il seguente sottogruppo di G: H ∼= Z/4 delle rotazioni di π2 attorno all’asse z. Si calcolino: π0(X/H) e π1(X/H).
Esercizio 2. Sia S la superficie parametrizzata da
ϕ : R2 −→ R3, (u, v) 7→ (u, v, u2v2)
(1) Si determinino la prima e la seconda forma fondamentale di S;
(2) Si dica se S ha punti ellittici e si determini il luogo dei punti parabolici.
Si dica in quali punti di S le direzione coordinate sono principali e in tali punti si calcolino le curvature principali.
(3) Si determinino e rette di R3 contenute in S.
(4) Scelta un’orientazione di S e indicata al solito con N la mappa di Rodrigues–
Gauss si determini l’immagine N (S) ⊂ S2.
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